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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Von bestimmten Matrizen erzeugte Untergruppen bestimmen
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Universität/Hochschule J Von bestimmten Matrizen erzeugte Untergruppen bestimmen
Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 636
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-20 19:48


Abend alle zusammen,

gegeben sei folgende Menge von Matrizen:

$E_2 := \{I_n+e_{ij}+e_{ji}-e_{ii}-e_{jj} \ | \ 1\leq i, j\leq n\}$.  

Dabei ist $n\geq 2$ und $e_{ij}$ die reelle $n\times n$-Matrix mit Eintrag $1$ an der Stelle $(i,j)$ und allen anderen Einträgen $0$. Außerdem bezeichnet $I_n$ die Einheitsmatrix.

Wir sollen nun u.a. die Untergruppe $\langle E_2\rangle$ von $\text{GL}(n,\mathbb R)$ bestimmen.

So, mein Problem mit $E_2$ ist nun Folgendes: Es gibt Matrizen, die nicht invertierbar sind. Dies passiert etwa, wenn wir $n=3, i=1$ und $j=2$ wählen.
Ist das ein Problem oder nicht? Denn beim Überlegen, welche Mengen denn erst einmal überhaupt existieren, die $E_2$ enthalten, komme ich nur auf $\text{GL}(n, \mathbb R)$. Aber das geht dann ja auch nicht, weil diese Menge nur nicht-invertierbare Matrizen enthalten darf.  


-- Neymar



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 413
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20 19:53


Hey Neymar,

ja das wäre ein Problem. Kannst du die Matrix explizit hinschreiben, von der du behauptest, sie wäre nicht invertierbar,  und begründen, warum sie das deiner Meinung nach nicht ist?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-20 19:54


2019-10-20 19:48 - Neymar im Themenstart schreibt:
Dies passiert etwa, wenn wir $n=3, i=1$ und $j=2$ wählen.

Bist du dir sicher? Zeige einmal deine Rechnung.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4028
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-20 19:55


Die Matrizen sind übrigens Permutationsmatrizen (und damit sicherlich invertierbar), in diesem Fall gehören sie sogar zu $2$-Zykeln. Bekanntlich erzeugen die $2$-Zykel aber alle Permutationen. Also ...



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Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-21 22:30


Hallo Creasy und Triceratops,

danke für eure Nachrichten. Ich habe mir meine eigene Matrix angeschaut, die ich aufgeschrieben hatte, und muss wohl einen Denkfehler gehabt haben. :-)

ad Triceratops: Was bedeutet eine Permutationsmatrix? Also ich kenne z.B. die Gruppe $S_3$, dessen Identität man praktischerweise als $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\1&2&3\end{pmatrix}$ schreiben kann.

-- Neymar

PS: Ich schaue mir mal morgen hier Permutationsmatrizen genauer an. Aber es gilt dann meiner Meinung nach: $\langle E_2\rangle=E_2$.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-21 23:05


Was ist $E_3$?



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-22 20:58


Ich mag dein Argument, dass die Invertierbarkeit daraus folgt, dass wir Permutationen vorliegen haben. Ich habe zuerst versucht, direkt nachzuweisen, dass $I_n+\dots$ das Inverse zu $I_n+\dots$ ist, indem ich das Distributivgesetz benutze. Da habe ich gemerkt, dass ich diesen Weg nicht mehr weiterverfolgen will. :-)



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23 12:50


Ich wurde heute von einem Kommilitionen darauf hingewiesen, dass $\langle E_2\rangle=E_2$ nicht stimmt.

Ein Gegenbeispiel werde ich später nachliefern.



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-23 13:44


2019-10-23 12:50 - Neymar in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich wurde heute von einem Kommilitionen darauf hingewiesen, dass $\langle E_2\rangle=E_2$ nicht stimmt.

Ein Gegenbeispiel werde ich später nachliefern.

Darauf hat auch schon Triceratops hingewiesen.

Für $n=3$ ist \[\begin{bmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\1&0&0
\end{bmatrix}\in\langle E_2\rangle
\]



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Theodore_97
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Dabei seit: 04.10.2019
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-23 17:59


Hallo. Schau dir die Elemente mal genau an. Letztlich sind sie einfach die Einheitsmatrix $I_n$, bei der die Zeilen (oder gleichbedeutend die Spalten) $i$ und $j$ getauscht wurden (dabei ist $i=j$ möglich, wodurch man einfach $I_n$ wieder erhält). Insbesondere gilt für diese Matrizen dann $g^2=1=I_n$, da zweimaliges Vertauschen zweier Zeilen "nichts" bewirkt (und mithin invertierbar). Die davon erzeugte Untergruppe besteht dann eben aus jenen Matrizen, bei denen beliebige Zeilen vertauscht wurden. Das sind also die Permutationsmatrizen, die Triceratops schon erwähnt hat: en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix.



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