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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Korrekte Darstellung von kartesischen Produkten
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Universität/Hochschule Korrekte Darstellung von kartesischen Produkten
luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-23


Hallöchen.
Ich sitze zurzeit noch an einer meiner Übungsaufgaben werde aber aus dem zweiten Teil der Aufgabenstellung nicht schlau und verstehe nicht wie ich das Problem angehen soll.

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: "3. Gegeben seien Mengen $X$ und $Y$ mit Teilmengen $M \subset X$ und $N \subset Y .$ Das kartesische
Produkt $M \times N$ fassen wir als Teilmenge der Grundmenge $X \times Y$ aut. Zeigen Sie, dass im
allgemeinen
$$
(M \times N)^{c} \neq M^{c} \times N^{c} \text { . }
$$
Finden Sie eine korrekte Darstellung von $(M \times N)^{c}$ als Vereinigung von kartesischen
Produkten von $M, N$ sowie inren Komplementen, und beweisen Sie diese."

Und der Teil mit dem ich nicht klar komme ist folgender:
"Finden Sie eine korrekte Darstellung von $(M \times N)^{c}$ als Vereinigung von kartesischen
Produkten von $M, N$ sowie inren Komplementen, und beweisen Sie diese."

Wäre nett wenn mir einer zeigen könnte was ich tun muss.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-23


Tipp: Die Situation lässt sich geometrisch veranschaulichen. Angenommen $X=Y=\IR$ und $M=N=[0,1]$. $M\times N$ ist also ein Rechteck (bzw. Quadrat in dem Fall) in $\IR^2$. $(M\times N)^c$ ist dann das außerhalb dieses Rechteckes. Lässt sich diese Menge irgendwie aus Rechtecken (bzw. Produkten) zusammensetzen?

Das nur, um die Idee zu bekommen. Der eigentliche Beweis ist natürlich nicht geometrisch.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23


2019-10-23 18:54 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Tipp: Die Situation lässt sich geometrisch veranschaulichen. Angenommen $X=Y=\IR$ und $M=N=[0,1]$. $M\times N$ ist also ein Rechteck (bzw. Quadrat in dem Fall) in $\IR^2$. $(M\times N)^c$ ist dann das außerhalb dieses Rechteckes. Lässt sich diese Menge irgendwie aus Rechtecken (bzw. Produkten) zusammensetzen?

Das nur, um die Idee zu bekommen. Der eigentliche Beweis ist natürlich nicht geometrisch.

Das hab ich soweit ja auch verstanden. Ich weiß ja das das Komplement des Kartesisches Produkts alle Elemente enthält die im kartesischen Produkt der Originalmenge enthalten sind aber nicht im Kartesischen Produkt der Teilmengen.

Leider hat mir das soweit irgendwie noch nicht geholfen in Richtung Beweis.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

versuchen wir es einmal mit etwas Logik.

Die Elemente von \(M^c\times N^c\) bestehen ja aus allen Paaren \((x,y)\), so dass \(x\in M^c\wedge y\in N^c\) gilt.

Wie sähe das denn für die Menge \(\left(M\times N\right)^c\) aus?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-23 19:20 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

versuchen wir es einmal mit etwas Logik.

Die Elemente von \(M^c\times N^c\) bestehen ja aus allen Paaren \((x,y)\), so dass \(x\in M^c\wedge y\in N^c\) gilt.

Wie sähe das denn für die Menge \(\left(M\times N\right)^c\) aus?


Gruß, Diophant

Würde das nicht genauso aussehen?  confused
Ich bin zurzeit echt ziemlich überfragt was das angeht aber das müsste doch eigentlich dasselbe sein oder nicht?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

überlege mal: damit ein Paar \((x,y)\) in \(M\times N\) liegt, muss ja wiederum \(x\in M \wedge y\in N\) gelten. Damit ein weiteres Paar nicht in \(M\times N\) und somit im Komplement \(\left(M\times N\right)^c\) liegt, darf da weder \(x\in M \) noch \(y\in N\) gelten oder reicht eines von beiden?


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-23 19:37 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

überlege mal: damit ein Paar \((x,y)\) in \(M\times N\) liegt, muss ja wiederum \(x\in M \wedge y\in N\) gelten. Damit ein weiteres Paar nicht in \(M\times N\) und somit im Komplement \(\left(M\times N\right)^c\) liegt, darf da weder \(x\in M \) noch \(y\in N\) gelten oder reicht eines von beiden?


Gruß, Diophant  

Dann darf es doch theoretisch in keiner der beiden Mengen liegen da doch es doch sonst nicht im Komplement liegt oder?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ok, noch ein Versuch.

Gib uns mal ein Paar \((x,y)\), so dass \(x\in M\wedge y\in N^c\) und gleichzeitig \((x,y)\in M\times N\) gilt.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-23 19:50 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo,

ok, noch ein Versuch.

Gib uns mal ein Paar \((x,y)\), so dass \(x\in M\wedge y\in N^c\) und gleichzeitig \((x,y)\in M\times N\) gilt.  smile


Gruß, Diophant

Hab das ganze gerade anhand von einem Beispiel mit 2 selbstdefinierten Mengen probiert aber das geht bei mir nicht? Ist das der sinn dahinter?

Mein Beispiel auf das ich das versucht habe anzuwenden ist folgendes:


X={1,2,3,4}
Y={1,2,3}

X x Y = {(1,1),(1,2),(1,3),
(2,1),(2,2),(2,3),
(3,1),(3,2),(3,3),
(4,1),(4,2),(4,3)}

M von X :={1,2,3}

N von Y :={1,2}

Mk = {4}
Nk = {3}

M x N = {(1,1),(1,2)
(2,1),(2,2)
(3,1),(3,2)}
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-10-23 20:03 - luca3546 in Beitrag No. 8 schreibt:
2019-10-23 19:50 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
ok, noch ein Versuch.

Gib uns mal ein Paar \((x,y)\), so dass \(x\in M\wedge y\in N^c\) und gleichzeitig \((x,y)\in M\times N\) gilt.  :-)

Hab das ganze gerade anhand von einem Beispiel mit 2 selbstdefinierten Mengen probiert aber das geht bei mir nicht? Ist das der sinn dahinter?

Ja. Und was lernen wir jetzt daraus? In welcher Menge liegt wohl jedes Paar \((x,y)\), dass nicht Element von \(M\times N\) ist?

Und welche logische Verknüpfung könnte man dann anstelle des 'und' zwischen \(x\in M^c\) und \(y\in N^c\) setzen, damit man \((x,y)\in\left(M\times N\right)^c\) hat?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-23 20:09 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo,

2019-10-23 20:03 - luca3546 in Beitrag No. 8 schreibt:
2019-10-23 19:50 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
ok, noch ein Versuch.

Gib uns mal ein Paar \((x,y)\), so dass \(x\in M\wedge y\in N^c\) und gleichzeitig \((x,y)\in M\times N\) gilt.  :-)

Hab das ganze gerade anhand von einem Beispiel mit 2 selbstdefinierten Mengen probiert aber das geht bei mir nicht? Ist das der sinn dahinter?

Ja. Und was lernen wir jetzt daraus? In welcher Menge liegt wohl jedes Paar \((x,y)\), dass nicht Element von \(M\times N\) ist?

Und welche logische Verknüpfung könnte man dann anstelle des 'und' zwischen \(x\in M^c\) und \(y\in N^c\) setzen, damit man \((x,y)\in\left(M\times N\right)^c\) hat?


Gruß, Diophant

Theoretisch muss doch jedes Paar das nicht Element von M x N ist ein Element von X x Y sein richtig?

Und wahrscheinlich können wir wenn du so fragst da ein 'oder' zwischen packen aber da versteh ich die ganze Logik noch nicht hinter.
\(\endgroup\)


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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-23 20:09 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo,

2019-10-23 20:03 - luca3546 in Beitrag No. 8 schreibt:
2019-10-23 19:50 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
ok, noch ein Versuch.

Gib uns mal ein Paar \((x,y)\), so dass \(x\in M\wedge y\in N^c\) und gleichzeitig \((x,y)\in M\times N\) gilt.  :-)

Hab das ganze gerade anhand von einem Beispiel mit 2 selbstdefinierten Mengen probiert aber das geht bei mir nicht? Ist das der sinn dahinter?

Ja. Und was lernen wir jetzt daraus? In welcher Menge liegt wohl jedes Paar \((x,y)\), dass nicht Element von \(M\times N\) ist?

Und welche logische Verknüpfung könnte man dann anstelle des 'und' zwischen \(x\in M^c\) und \(y\in N^c\) setzen, damit man \((x,y)\in\left(M\times N\right)^c\) hat?


Gruß, Diophant

Wäre es möglich einen Logikausdruck zu bekommen der mir zeigt was ich in erster Linie beweisen soll? Vielleicht erschließt sich mir der Rest dann ja doch selbst.
Würde mich freuen falls ja.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

wir haben jetzt:

- \(M^c\times N^c\ :\Leftrightarrow\ x\in M^c\wedge y\in N^c\)

- \(\left(M\times N\right)^c\ :\Leftrightarrow\ x\in M^c \vee y\in N^c\)

Welche Relation muss somit zwischen den Mengen bestehen, bzw.: welche der beiden Mengen ist i.a. die größere?


Gruß, Diophant

PS: die 'Logik dahinter' kannst du deinem eigenen Beispiel entnehmen. smile
\(\endgroup\)


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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-23 21:29 - Diophant in Beitrag No. 12 schreibt:
Hallo,

wir haben jetzt:

- \(M^c\times N^c\ :\Leftrightarrow\ x\in M^c\wedge y\in N^c\)

- \(\left(M\times N\right)^c\ :\Leftrightarrow\ x\in M^c \vee y\in N^c\)

Welche Relation muss somit zwischen den Mengen bestehen, bzw.: welche der beiden Mengen ist i.a. die größere?


Gruß, Diophant

PS: die 'Logik dahinter' kannst du deinem eigenen Beispiel entnehmen. smile

In meinem Beispiel ist wahrscheinlich folgende Menge größer:
$$
(M \times N)^{c}: \Leftrightarrow x \in M^{c} \vee y \in N^{c}
$$

Da wie z.B. in meinem Beispiel die andere Menge nur aus einem Element besteht.

Wie gehe ich das ganze nun weiter an?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-10-23


Hallo,

du musst jetzt über das bisher geschriebene einmal gründlich nachdenken. Ich habe dir oben bereits gefühlte 99% der Lösung hingeschrieben (entgegen der hier sonst üblichen Vorgehensweise).

Betrachten wir mal Mengen mit Alltagsbezug:
- A: die Menge aller weiblichen Einwohner von, sagen wir mal, Hamburg.
- B: die Menge aller Personen, die weiblich sind oder in Hamburg wohnen.

Preisfrage: welche Menge ist wohl größer? ...


Gruß, Diophant



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23


Definitiv die Zweite Menge da sie sowohl die Anzahl aller weiblichen Personen als auch die Anzahl aller Personen die in Hamburg umfasst.

Ich hab auch gerade einen gewissen Ansatz im Kopf um das ganze anzugehen aber schaffe es nicht einen klaren Gedanken zu fassen um das zu verschriftlichen



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23


Kann man das ganze so auffassen das: $(M \times N)^{c}$
Die Vereinigung von X und Y ist und auf diese dann die Differenz der Vereinigung von M und N anwendet?
Das ist gerade so ein Ansatz den ich im Kopf habe.



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23


Okay habe gerade selber gemerkt das der Ansatz glaube ich nicht so richtig ist.
Was mich verwirrt ist der Ausdruck "als Vereinigung von kartesischen Produkten von M,N"




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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-23


Könnte es so richtig sein?
Das ist mein jetziger Ansatz?

$(M \times N)^{\mathrm{C}} =\{(x, y) \in X \times Y | x \notin M \vee y \notin N\}$

Und weiter vereinfacht wäre das ganze doch:

$(M \times N)^{\mathrm{C} }=\left(M^{\mathrm{C} } \times Y\right) \cup\left(X \times N^{\mathrm{C}}\right)$

Hab ich das soweit richtig?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-10-24


2019-10-23 23:26 - luca3546 in Beitrag No. 18 schreibt:
$(M \times N)^{\mathrm{C} }=\left(M^{\mathrm{C} } \times Y\right) \cup\left(X \times N^{\mathrm{C}}\right)$

Hab ich das soweit richtig?

Ja, das ist richtig.



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luca3546
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-24


2019-10-24 00:38 - Triceratops in Beitrag No. 19 schreibt:
2019-10-23 23:26 - luca3546 in Beitrag No. 18 schreibt:
$(M \times N)^{\mathrm{C} }=\left(M^{\mathrm{C} } \times Y\right) \cup\left(X \times N^{\mathrm{C}}\right)$

Hab ich das soweit richtig?

Ja, das ist richtig.

Wie geh ich den Beweis dann nun an?
Also welchen Ansatz wähle ich am besten?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-10-24

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-10-24 00:46 - luca3546 in Beitrag No. 20 schreibt:
2019-10-24 00:38 - Triceratops in Beitrag No. 19 schreibt:
2019-10-23 23:26 - luca3546 in Beitrag No. 18 schreibt:
$(M \times N)^{\mathrm{C} }=\left(M^{\mathrm{C} } \times Y\right) \cup\left(X \times N^{\mathrm{C}}\right)$

Hab ich das soweit richtig?

Ja, das ist richtig.

Wie geh ich den Beweis dann nun an?
Also welchen Ansatz wähle ich am besten?

Ich denke, man könnte in der Definition \(\left(M\times N\right)^c\ :\Leftrightarrow\ x\in M^c \vee y\in N^c\) den Ausdruck auf der rechten Seite so umformen, dass die obige Darstellung ersichtlich wird. Dieser ist nämlich äquivalent zu deiner Mengendefinition in #18. Meiner Meinung nach braucht es da auch keinen Zwischenschritt, sondern man kann diese Äqivalenz direkt hinschreiben. Falls ich irre, bitte ich um Korrektur.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-10-24

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Hi Luca.
Ich hab gestern abend noch etwas mit dem neuen Paint rumgemalt.
Vielleicht erleichtert dir dieses Bild das Verständnis?


$(M\tm N)^c=(M^c\tm Y)\cup (X\tm N^c)$ ist bereits eine Vereinigung von Kartesischen Produkten. Du musst nur zeigen, dass diese Mengen gleich sind.

Weißt du wie man das macht?

An dem Bild das ich dir geschickt habe siehst du den Grund warum $(M\tm N)^c$ und $N^c\tm M^c$ im allgemeinen nicht gleich sind.

Viel Erfolg noch
XST



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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luca3546
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2019-10-24 11:11 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 22 schreibt:
Hi Luca.
Ich hab gestern abend noch etwas mit dem neuen Paint rumgemalt.
Vielleicht erleichtert dir dieses Bild das Verständnis?


$(M\tm N)^c=(M^c\tm Y)\cup (X\tm N^c)$ ist bereits eine Vereinigung von Kartesischen Produkten. Du musst nur zeigen, dass diese Mengen gleich sind.

Weißt du wie man das macht?

An dem Bild das ich dir geschickt habe siehst du den Grund warum $(M\tm N)^c$ und $N^c\tm M^c$ im allgemeinen nicht gleich sind.

Viel Erfolg noch
XST


Das die beiden nicht gleich sind war mir ja vorher schon klar.
Ich muss ja quasi auch nur noch beweisen das $(M \times N)^{c}=\left(M^{c} \times Y\right) \cup\left(X \times N^{c}\right)$ gilt und nicht das die beiden Mengen nicht gleich sind.



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luca3546
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Würde das hier als Beweis durchgehen?

Beweis:
Sei $a \in(M \times N)^{\mathrm{C}}$
Esgibt ein $x \in X$ und $y \in Y$ mit $a=(x, y)$ und $(x \notin M \text { oder } y \notin N)$
Daraus folgt: $x \in M^{c}$ oder $y \in N^{c}$
Hieraus folgt wiederum gilt: $a \in M^{c} \times Y$ oder $a \in X \times N^{c}$
Damit ist $a \in\left(X \times N^{c}\right) \cup\left(M^{c} \times Y\right)$

Das wäre mein derzeitiger Ansatz für den Beweis



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luca3546
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Falls das nicht richtig sein sollte wäre Nett wenn mir einer einen neuen Ansatz sagen könnte für den Teil der falsch ist.



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xiao_shi_tou_
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2019-10-24 11:39 - luca3546 in Beitrag No. 24 schreibt:
Würde das hier als Beweis durchgehen?

Beweis:
Sei $a \in(M \times N)^{\mathrm{C}}$
Esgibt ein $x \in X$ und $y \in Y$ mit $a=(x, y)$ und $(x \notin M \text { oder } y \notin N)$
Daraus folgt: $x \in M^{c}$ oder $y \in N^{c}$
Hieraus folgt wiederum gilt: $a \in M^{c} \times Y$ oder $a \in X \times N^{c}$
Damit ist $a \in\left(X \times N^{c}\right) \cup\left(M^{c} \times Y\right)$

Das wäre mein derzeitiger Ansatz für den Beweis
Hi Luca.
Du hast jetzt $(M\tm N)^c\sube (M^c\tm Y)\cup(X\tm N^c)$ gezeigt. Um Gleichheit zu bekommen musst du noch die andere Inklusion zeigen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.24 begonnen.]
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luca3546
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2019-10-24 11:44 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
2019-10-24 11:39 - luca3546 in Beitrag No. 24 schreibt:
Würde das hier als Beweis durchgehen?

Beweis:
Sei $a \in(M \times N)^{\mathrm{C}}$
Esgibt ein $x \in X$ und $y \in Y$ mit $a=(x, y)$ und $(x \notin M \text { oder } y \notin N)$
Daraus folgt: $x \in M^{c}$ oder $y \in N^{c}$
Hieraus folgt wiederum gilt: $a \in M^{c} \times Y$ oder $a \in X \times N^{c}$
Damit ist $a \in\left(X \times N^{c}\right) \cup\left(M^{c} \times Y\right)$

Das wäre mein derzeitiger Ansatz für den Beweis
Hi Luca.
Du hast jetzt $(M\tm N)^c\sube (M^c\tm Y)\cup(X\tm N^c)$ gezeigt. Um Gleichheit zu bekommen musst du noch die andere Inklusion zeigen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.24 begonnen.]

Was meinst du mit Inklusion?
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Diophant
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2019-10-24 12:40 - luca3546 in Beitrag No. 27 schreibt:
Was meinst du mit Inklusion?

Damit ist nur die Mengenrelation '\(\subseteq\)' gemeint. Was du jetzt noch zeigen musst ist die andere Richtung '\(\supseteq\)'.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luca3546
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Okay ich hab verstanden was ich machen soll.
Wie ich das ganze erreiche jedoch nicht.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2019-10-25

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich mach jetzt mal noch einen Versuch, hier irgendwie Struktur reinzubringen.

Die Mengengleichheit \(\left(M\times N\right)^c=\left(M^c\times Y\right)\cup\left(X\times N^c\right)\) hast du in #18 gezeigt und Triceratops hat dir das im darauffolgenden Beitrag bestätigt.

xiao_shi_tou hatte das bei seiner Antwort übersehen, und ich dann auch, sorry.

Das einzige was jetzt noch fehlt ist eine Begründung, weshalb

\[\left(M\times N\right)^c\supseteq M^c\times N^c\]
gilt.

Und da wäre es jetzt endgültig an dir, mit einer Überlegung zu kommen, diese vorzustellen und dann besprechen wir das.

Im Prinzip steht übrigens alles notwendige dazu hier im Thread verstreut schon irgendwo da, du kannst also einfach versuchen, die essentiellen Dinge hier nochmal geeignet zusammenzufassen (es ist ein Einzeiler...).

Generell ist es hier vorgesehen, dass solche Fragestellungen im Dialog geklärt werden, also unter aktiver Einbeziehung des Fragestellers.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luca3546 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
luca3546 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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