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Mathematik » Geometrie » Spiegelung an einer Geraden algebraisch nachvollziehen
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Universität/Hochschule J Spiegelung an einer Geraden algebraisch nachvollziehen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-10


Hallo alle zusammen,

ich bin gerade dabei, folgenden Auszug aus dem Artin nachzuvollziehen: ,,Im ersten Schritt betrachten wir die Bewegung $d_{\theta}s$. Es ist nicht schwierig, geometrisch oder algebraisch einzusehen, dass diese Bewegung eine Spiegelung $s'$ an der Geraden durch den Nullpunkt ist, die mit der $x_1$-Achse den Winkel $\frac{1}{2}\theta$ bildet."

Okay, also mal ein bisschen zum Kontext: Artin versucht zu beweisen (und ich versuche den Beweis mehr oder weniger zu verstehen), dass eine Klassifikation der (ebenen) Bewegungen wie folgt aussieht:

orientierungserhaltende Bewegung:
- Translation
- Drehung

orientierungsumkehrende Bewegung:
- Spiegelung
- Gleitspiegelung

Zur Notation:

\[d_{\theta} = \begin{pmatrix} cos\theta & -\sin \theta \\ \cos \theta & \sin\theta.\end{pmatrix}, \quad s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1.\end{pmatrix} \] $s$ beschreibt also die Spiegelung an der $x_1$-Achse (bzw. $x$-Achse, wir sind ja im $\mathbb R^2$).

Den ersten Teil vestehe ich wie folgt: Sei $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in \mathbb R^2$ beliebig. Dann:
\[d_{\theta}s\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \dots = \begin{pmatrix} \cos\theta x_1-\sin\theta x_2 \\ \sin\theta x_1-\cos\theta x_2 \end{pmatrix}\]
Eine durch den Nullpunkt (i.e., Ursprung) gehende Gerade kann in der Form $f(x)=mx$ geschrieben werden. Da der Winkel $\frac{\theta}{2}$ sein soll, wissen wir sogar: $f(x)=\tan\frac{\theta}{2}\cdot x$.

Nun heißt es aber, dass $d_{\theta}s\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}=s' \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}$ gilt.

Ich scheitere aber gerade daran, die Spiegelung an der beschriebenen Achse irgendwie algebraisch aufzuschreiben. Hier mal meine bisherigen Überlegungen:



Der Punkt $P$ liege nicht auf der Spiegelungsgeraden $f$ und habe die allgemeinen Koordinaten $P=(x_1 \ x_2)$. Die Spiegelungsgerade ist die (überalzahlbare) Menge $ \left\{ \begin{pmatrix} x \\ \tan\frac{\theta}{2}x \mid x\in\mathbb R. \end{pmatrix}\mid x\in \mathbb R \right\}$. Der Abstand vom Punkt $P$ zu einem beliebigen Punkt $(x \ \tan\frac{\theta}{2}\cdot x)$ berechnet sich zu: $d_{\text{Eukl.}}=\sqrt{(x-x_1)^2+(\tan\frac{\theta}{2}x-x_2)^2}$. So, ich habe dann die Ableitung nach $x$ berechnet und diese gleich $0$ gesetzt (damit berechne ich ja im Grunde ja nur den Punkt auf der Spiegelungsgeraden, der den geringsten Abstand zum Punkt $P$ besitzt). Für den $x$-Wert des Minimus habe ich erhalten: \[x_{\text{min.}}=\frac{x_1+\tan\theta/2}{1+\left(\tan \theta/2\right)^2}.\] Diesen Wert könnte ich theoretisch in die Abstandsfunktion zurückeinsetzen und erhalte dann den Abstand von $P$ zur Spiegelungsgerade.

Meine ursprüngliche Hoffnungs bzw. Idee war gewesen, dass ich durch den Abstand den neuen Punkt $P'$ erhalte, den man nach der Spiegelung erhält. Mittlerweile bin ich da skeptisch, umso mehr, als das ja mit
\[d_{\theta}s\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \dots = \begin{pmatrix} \cos\theta x_1-\sin\theta x_2 \\ \sin\theta x_1-\cos\theta x_2 \end{pmatrix}\] eigentlich etwas Schönes bzw. Kurzes rauskommen soll ...

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

-- Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


Ähm, doesn't anybody have an idea? If more context is required, I can most certainly provide it! As I had written, I tried to understand what M. Artin wrote in his book "Algebra" on page 179.


-- Neymar




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Neymar,

ich verstehe dein Anliegen nicht wirklich, um ehrlich zu sein. Die vorgelegte Bewegung \(d_{\theta}\) ist jedenfalls die Spiegelung im \(\IR^2\) an der Geraden mit der Gleichung \(y=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)x\), wie du ja selbst festgestellt hast.

Möchtest du das nachrechnen?

Dann würde ich eher (aber ich habe es jetzt selbst nicht probiert, wie ich gestehen muss), das ganze als folgende Komposition durchrechnen: eine Drehung um \(-\frac{\theta}{2}\) um den Ursprung, anschließend eine Spiegelung an der x-Achse und zum Schluss wieder eine Drehung zurück um den Winkel \(\frac{\theta}{2}\) und selbstverständlich wieder um den Ursprung.

Das wäre ein Produkt aus drei Matrizen, was nach Anwendung der passenden trigonometrischen Identitäten auf das gewünschte führen sollte.

Sorry für den Fall, dass ich dein Anliegen falsch verstanden habe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


Hello Diophant,

thanks a lot for your reply. If it is okay, I will write in English, though of course I don't mind if you reply back in German.

Actually, you have understood what I meant (I am sorry if I was a bit vague about my specific question). :-) We have a movement $d_{\theta}s$ and I now want to show that this a reflection on a certain axis.

Maybe we can do the calculation together? But why do I first rotate about $-\theta/2$ and then I rotate back again with an angle $\theta/2$?

Let us from now on take the point $X=\begin{pmatrix} X_1\\ X_2\end{pmatrix}$. Then we surely know that \[d_{\theta}s\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \dots = \begin{pmatrix} \cos\theta x_1-\sin\theta x_2 \\ \sin\theta x_1-\cos\theta x_2 \end{pmatrix}.\]
How can we continue?


-- Neymar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Neymar,

meine Grundidee:

- durch Drehen der gesamten Ebene um den Ursprung um den Winkel \(-\frac{\theta}{2}\) wird ja die eigentliche Spiegelachse mitgedreht und liegt jetzt auf der x-Achse. Diese Drehung wird durch folgende Drehmatrix repräsentiert:

\[r_1=\bpm \cos\left(-\frac{\theta}{2}\right)&-\sin\left(-\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(-\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(-\frac{\theta}{2}\right)\epm=\bpm \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\epm\]
- dann folgt die Spiegelung an der x-Achse:

\[s=\bpm 1&0\\ 0&-1\epm\]
- Und zu guter letzt wird die gespiegelte Ebene wieder 'zurückgedreht', so dass die Spiegelachse die gewünschte Gerade ist:

\[r_2=\bpm \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\epm\]
Wenn wir diese drei Bewegungen hintereinander ausführen, dann wird daraus:

\[d_{\theta}=r_2\cdot s\cdot r_1=\bpm \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\epm\cdot\bpm 1&0\\ 0&-1\epm\cdot\bpm \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\epm\]
Wenn du dieses Produkt ausrechnest und noch geeignete trigonometrische Identitäten darauf loslässt, dann sollte daraus die (allgemein bekannte) Darstellung der Spiegelung an einer Ursprungsgeraden (mit dem Winkel \(\theta/2\) zur x-Achse) wie bei Artin resultieren.

Sorry, mehr Zeit, das vorzurechnen habe ich momentan leider nicht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


Hello Diophant,

please do not apologise, you wrote more than I hoped for. :-)

Okay, then let's start the calculations:
\[... = \begin{pmatrix} cos \theta/2&-sin\theta/2 \\ sin\theta/2&cos\theta/2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} cos\theta/2&sin\theta/2 \\ sin\theta/2&-cos\theta/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos^2\theta/2-sin^2\theta/2&2\sin\theta/2cos\theta/2 \\2\sin\theta/2\cos\theta/2 & -cos^2\theta/2+sin^2\theta/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta&sin\theta\\ sin\theta & -cos\theta\end{pmatrix}\]
However, \[\begin{pmatrix}cos\theta&sin\theta\\ sin\theta & -cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_1\\X_2\end{pmatrix}\] does not yield the same as $d_{\theta}(s(X))$ ... It is actually just about the signs, and I am sure that your idea is correct.

PS: en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
Therefore, \[\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}-\frac{1}{2}+\frac{\cos\theta}{2}=\cos\theta.\]
-- Neymar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Neymar,

jep, es passt nicht. Ich habe es jetzt auch durchgerechnet und komme auf das gleiche Resultat wie du.

Aber, schau mal hier. Dort, auf Wikipedia, ist die korrekte Matrix für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden* angegeben, und genau die haben wir ja herausbekommen!

Bleiben zwei Möglichkeiten:

- Die Bewegung \(d_{\theta}\) ist eine andere als angenommen (eher wahrscheinlich)
- Im Artin ist ein Druckfehler (eher unwahrscheinlich)

Könntest du das mal noch klären? Heute komme ich nicht mehr dazu, weiterzumachen. Morgen hätte ich wieder das eine oder andere Zeitfenster frei. smile


Gruß, Diophant

*Ich hatte mich da vorhin zu auch zu sehr auf meine Erinnerung verlassen...
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 13:17


Hello Diophant,

I realized that we do indeed obtain the same result! :-) It turns out that I had made a stupid mistake when calculating $d_{\theta}s$. It actually does not take long, so maybe you can do it as well just to make sure ... ;-)

I am terribly sorry for the mistake ...


--Neymar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-15 13:28

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Neymar,

hm. Soll also \(d_{\theta}s\) jetzt eine Spiegelung an der x-Achse und anschließender Drehung um den Winkel \(\theta\) sein? Das wäre dann etwas anderes als das bisher besprochene. Die Multiplikation sähe so aus:

\[d_{\theta}s=\bpm \cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\epm\cdot\bpm 1&0\\0&-1\epm=\bpm \cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta \epm\]
EDIT: und das Resultat ist dann natürlich das gleiche wie oben, siehe dazu Beitrag #12.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 13:37


Ähm, yes, I suppose so. Is this a problem or is it then just geometrically trivial? (I wanted an algebraic proof...)

--Neymar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-15 14:08


Hallo Neymar,

du sprichst in Rätseln (und das auch noch auf Englisch  cool ). Für was willst du denn einen Beweis haben, bisher haben wir doch einfach ein paar Fingerübungen in Sachen Multiplikation von Bewegungsmatrizen gemacht?


Gruß, Diophant



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 16:23


Hallo Diophant,

ich wollte Folgendes beweisen:
[...] $d_{\theta}s$. Es ist nicht schwierig, geometrisch oder algebraisch einzusehen, dass diese Bewegung eine Spiegelung $s'$ an der Geraden durch den Nullpunkt ist, die mit der $x_1$-Achse den Winkel $\frac{1}{2}\theta$ bildet.

$>$ So, und ich behaupte, dass wir das auch gezeigt haben (siehe Beitrag 5 und 8). Man sieht sofort, dass die erhaltenen Ausdrücke aus Beitrag 5 und 8 gleich sind. Also das hatte ich erst einmal nicht hinbekommen, nur mit deiner Idee. :-)

Ich hoffe, dies entwirrt das Rätsel ein bisschen ... ;-)

PS: Die Fingerübungen hatte ich nicht hinbekommen.

PPS: Du hast ja in Beitrag 5 schön beschrieben gehabt, was wir machen (Koordinatensystem drehen, dann Spiegelung ausführen und wieder zurückdrehen). Wie man leicht nachprüft, sind die verwendeten Matrizen zur Drehung des Koordinatensystems invers zueinander, sodass wir im Grund genommen eine Konjugation vorgenommen haben. ... Just an afterthought ...

Es wäre jetzt natürlich noch interessant, kurz durchzurechnen, wie denn Spiegelung entlang einer $beliebigen$ Geraden aussehen würde. Ich glaube, dies ist gar nicht so schwer, man muss einfach noch das Koordinatensystem zurück in den Ursprung translatieren und dann wieder zurücktranslatieren.
Ob es sich aber auch dabei um Konjugation handelt, kann ich gerade nicht beurteilen.

--Neymar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-15 16:34

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Neymar,

ja, jetzt verstehe ich dein Problem erst wirklich. Es ist in der Tat nicht so leicht, sich vorzustellen, dass

- Spiegeln an der x-Achse mit anschließender Drehung um den Ursprung mit dem Winkel \(\theta\) und
- Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit dem Winkel \(\frac{\theta}{2}\) zur x-Achse ein und dieselbe Bewegung sind.

Mit einer Skizze im xy-Koordinatensystem kann man sich das geometrisch klarmachen.

Dann ist ja jetzt alles gut, und im Artin ist kein Druckfehler.  wink

Nachtrag (zu deiner Frage bezüglich der Spiegelung an einer beliebigen Geraden und der Frage, ob es sich um eine Konjugation handelt): hier ist mir nicht so ganz klar, auf was für eine Struktur sich das bezieht. Du hast es ja auf die Matrizenmultiplikation bezogen, aber es geht doch um die ebene Bewegungsgruppe (ich glaube, man kürzt sie mit \(ISO(2)\) ab)? Das sind aber zwei paar Stiefel, denn mit der Matrizenmultiplikation erfasst man ja nur Spiegelungen und Drehungen (und deren Kompositionen), aber eben keine Translationen.


Gruß, Diophant

Ich denke ernstaft darüber nach, mir dieses Buch zu kaufen. Ich kenne bzw. besitze kein anderes Algebra-Lehrbuch mit solch interessanten Bezügen zur Geometrie.
\(\endgroup\)


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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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