Die Mathe-Redaktion - 12.12.2019 12:10 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 720 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Äquivalenz von Bijektivität von linearen Abbildungen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Äquivalenz von Bijektivität von linearen Abbildungen
Manuel01
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2019
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-14 21:43


Ich soll folgendes beweisen (die andere Richtung hab ich schon):

Sei V ein Vektorraum mit dim(V)<\(\infty\). Sei W ein weiterer Vektorraum und \(T:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
(Es existiert ein Unterraum \(U\subset V\), so dass \(V=ker(T)+U\), \( \{0\}=ker(T)\cap U\) und dim(U)=dim(V)) \(\Rightarrow\) (T ist bijektiv)

Ich hab leider nicht den Hauch einer Ahnung wie man da vorgehen soll. Kann mir jemand da helfen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1161
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14 22:39


Hier stand Unsinn.


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2424
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-14 22:39


Hallo,

du hast also eine lineare Abbildung

$T: V\to W$ mit der Eigenschaft, dass ein Unterraum $U\subseteq V$ existiert, sodass $V=\operatorname{ker}(T)+U$, $\{0\}=\operatorname{ker}(T)\cap U$ und $\operatorname{dim}(U)=\operatorname{dim}(V)$ gilt.

Zeigen möchtest du, dass $T$ bijektiv ist.

Du kannst zeigen, dass $T$ injektiv und surjektiv ist.

$T$ ist injektiv, wenn ...

Beachte auch, dass wir hier eine innere direkte Summe von $V$ vorliegen haben. Warum?

Wann ist $T$ surjektiv?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Manuel01
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.11.2019
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 23:15


Hallo,
danke erstmal für die Antworten. Ich habe zwar das Gefühl, zu verstehen, wie die innere direkte Summe funktioniert, aber ich glaube nicht das dem so ist, denn das Beispiel wirkt eher wie ein Gegenbeispiel, denn (0,1) und (0,2) werden auf das selbe Element abgebildet und die Abbildung ist folglich nicht bijektiv, oder? Und gleichzeitig werden die drei Bedingungen aus der Vorraussetzung erfüllt.

Edit: Und die Abbildung ist - wenn ich mich nicht vertue - ein Homomorphismus.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1161
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-14 23:17


Auch hier stand Unsinn.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4144
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-15 11:45


Die Behauptung ist falsch.

Die Existenz von $U$ mit den Eigenschaften ist äquivalent zur Injektivität (das ergibt sich sofort aus der Dimensionsformel für direkte Summen), nichr zur Bijektivität von $T$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Manuel01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]