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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » DGL: exakt und/oder lineare Substitution möglich?
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Autor
Universität/Hochschule J DGL: exakt und/oder lineare Substitution möglich?
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-15


Gegeben ist folgende DGL:
fed-Code einblenden

Diese Fragen sollen mit ja oder nein beantwortet werden.

a) Seperation der Variablen möglich?
b) Lineare DGL 1. Ordnung?
c) Substitution (homogene DGL ( fed-Code einblenden )?
d) Substitution (Bernoulli DGL)?
e) Substitution (lineare Substitution)?
f) Ist es eine exakte DGL?

Fragen a) bis d) habe ich mit nein beantwortet, falls das inkorrekt sein sollte, werde ich meinen Weg hier posten, um den Fehler zu finden.

Ich komme allerdings bei der e) und f) nicht weiter, diese Fragestellungen bereiten mir immer noch Probleme.
Wäre um einen Ansatz dankbar.



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2379
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

was ist denn dein Problem bei e) und f)? Das sind doch beides Fragen, die unmittelbar mit der Form der DGL zusammenhängen.

Kann man also (für die Frage e) die DGL auf folgende Form bringen:

\[y'=f(ax+by+c)\]
Und für f): was versteht man unter einer exakten DGL? Schlage das einmal nach, bringe die DGL wieder auf eine entsprechende Form und dann entscheide, ob sie die Kriterien dafür (exakt zu sein) erfüllt.

PS: a) bis d) mit nein zu beantworten war nicht ganz richtig. Siehe dazu den nächsten Beitrag.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-15


Huhu,

2019-11-15 15:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
PS: a) bis d) mit nein zu beantworten war richtig.

für mich sieht die DGL ziemlich linear aus.

Gruß,

Küstenkind



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-15


Hallo Kuestenkind,

2019-11-15 15:42 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
2019-11-15 15:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
PS: a) bis d) mit nein zu beantworten war richtig.
für mich sieht die DGL ziemlich linear aus.

da hast du natürlich recht, da hatte ich mich irgendwie vertan. Danke für den Hinweis!


Gruß, Diophant



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Kuestenkind
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Mitteilungen: 1462
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Huhu,

2019-11-15 15:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
\[y'=f(ax+by+c\]

ergänzend dazu findest du noch ein Beispiel in diesem Artikel (Oldie, but Goldie):

article.php?sid=525

Ich wünsche ein schönes Wochenende!

Küstenkind
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Mitteilungen: 210
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15


2019-11-15 15:42 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
für mich sieht die DGL ziemlich linear aus.

Die allgemeine Form einer linearen DGL lautet doch wie folgt:
fed-Code einblenden

Wenn ich versuche, sie in diese Form zu bringen, erhalte ich das.

fed-Code einblenden
Sieht für mich jetzt auch linear aus.  biggrin  biggrin

2019-11-15 15:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Kann man also (für die Frage e) die DGL auf folgende Form bringen:

\[y'=f(ax+by+c)\]

fed-Code einblenden
Also kann man sie nicht linear substituieren. Da ich rechts noch die -5y stehen habe und keine Konstante.


Und für f): was versteht man unter einer exakten DGL? Schlage das einmal nach, bringe die DGL wieder auf eine entsprechende Form und dann entscheide, ob sie die Kriterien dafür (exakt zu sein) erfüllt.

fed-Code einblenden



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-11-15 16:23 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-11-15 15:42 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
für mich sieht die DGL ziemlich linear aus.

Die allgemeine Form einer linearen DGL lautet doch wie folgt:
fed-Code einblenden

Wenn ich versuche, sie in diese Form zu bringen, erhalte ich das.

fed-Code einblenden
Sieht für mich jetzt auch linear aus.  :-D  :-D
fed-Code einblenden

Ja, das ist richtig.

2019-11-15 16:23 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-11-15 15:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Kann man also (für die Frage e) die DGL auf folgende Form bringen:

\[y'=f(ax+by+c)\]

fed-Code einblenden
Also kann man sie nicht linear substituieren. Da ich rechts noch die -5y stehen habe und keine Konstante.

Deine Begründung hier ist noch völlig falsch. Die \(-5y\) sind doch der einzige lineare Ausdruck in dem Term, die beiden anderen sind nichtlinear und lassen sich auch nicht als Funktion eines linearen Terms auffassen.

2019-11-15 16:23 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 5 schreibt:

Und für f): was versteht man unter einer exakten DGL? Schlage das einmal nach, bringe die DGL wieder auf eine entsprechende Form und dann entscheide, ob sie die Kriterien dafür (exakt zu sein) erfüllt.

fed-Code einblenden

Auch das ist völlig falsch. Bringen wir die DGL mal in die passende Form:

\[\underbrace{14e^{-x}+2y-5xy}_{p(x,y(x))}-\underbrace{x}_{q(x,y(x))}\cdot y'=0\]
Wäre die DGL exakt, dann müsste es eine Funktion \(F(x,y)\) geben mit \(F_x=p(x,y(x))\) und \(F_y=q(x,y(x))\). Prüfe das nach!


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-15 16:49 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Auch das ist völlig falsch. Bringen wir die DGL mal in die passende Form:

\[\underbrace{14e^{-x}+2y-5xy}_{p(x,y(x))}-\underbrace{x}_{q(x,y(x))}\cdot y'=0\]
Wäre die DGL exakt, dann müsste es eine Funktion \(F(x,y)\) geben mit \(F_x=p(x,y(x))\) und \(F_y=q(x,y(x))\). Prüfe das nach!

Jetzt musst du mir aber sagen, weshalb mein Ansatz bzw. meine Rechnung falsch gewesen sein sollte?!
Ich bin nur nach Schema F gegangen, wie es auch im Skript steht.

Ich bringe die DGL in diese Form (wie sie auch bei dir steht):

fed-Code einblenden

Und prüfe dann, ob Folgendes gilt, damit die DGL eine exakte ist.

fed-Code einblenden
\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-15


Hallo,

entweder habe ich es vorhin beim Lesen falsch erfasst oder du hast noch etwas geändert, während ich meinen Beitrag verfasst habe (eher ersteres).

Jedenfalls ist mir jetzt deine Vorgehensweise klar: und ja, jetzt passt es.


Gruß, Diophant



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15


Puh, ich war schon gerade an mir selbst am zweifeln, wieso ich das nicht korrekt hinbekommen habe, aber dann ist ja alles gut!
Vielen Dank nochmal! :-)



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maxmustermann9991 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
maxmustermann9991 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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