Die Mathe-Redaktion - 27.01.2020 20:50 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktZur Award-Gala
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 668 Gäste und 20 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-13


Es soll die Gleichgewichtslösung des autonomen nichtlinearen DGL-Systems gelöst werden.

$$y_1'=(9y_1+9y_2)^3$$ $$y_2'=-4y_1-3y_2-1$$ $$\begin{pmatrix} y_{1_{GG}}\\y_{2_{GG}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ?\\? \end{pmatrix}$$
Und anschließend soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist.

Im Skript finde ich folgenden Ansatz:

1) Bestimmen der Gleichgewichtslösung durch:
\(\vec{y'}=\vec{0}\)
Bestimme \(\vec{y_0}\) mit \(A(\vec{y_0})=\begin{pmatrix} f_1(y_1,y_2)\\f_2(y_1,y_2) \end{pmatrix}=\vec{0}\)

2) Linearisierung der Matrix in der Umgebung der Gleichgewichtslösung:
\(A(\vec{y})\approx A_1(\vec{y_0})\cdot (\vec{y}-\vec{y_0})+A_2(\vec{y})\)

3) Jacobi-Matrix:
\(A_1=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{y_1} & \frac{\partial f_1}{y_2} \\ \frac{\partial f_2}{y_1} & \frac{\partial f_2}{y_2} \end{pmatrix}
\)

4) Eigenwerte \(\lambda_i\) zur Matrix \(A_1\) finden.

5) \(Re\cdotλ_i<0\rightarrow \text{ stabile Lösung }\)
\(Re\cdotλ_i=0\rightarrow \text{ meist stabile Lösung }\)


Nun habe ich allerdings Probleme zu verstehen, wie man mit Schritt 1 schon anfängt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1578
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13


Hallo,

der erste Schritt bedeutet, dass die rechte Seite gleich Null gesetzt wird und man die Lösungen dieser (nicht)linearen Gleichung bestimmt.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


Aus \(y_1'=0\) folgt:
$$(9y_1+9y_2)^3=0$$ $$9y_1+9y_2=0$$ $$y_1=-y_2$$
Aus \(y_2'=0\) und \(y_1=-y_2\) folgt:
$$-4y_1-3y_2-1=0$$ $$-4y_1+3y_1-1=0$$ $$-1y_1=1$$ $$y_1=-1$$
Und somit:
$$y_2=1$$
Somit folgt dies:
$$\vec{y}=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$$
Wie sieht der nächste Schritt aus um die Stabilität zu bestimmen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1578
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-13


Hallo,
wie Du selbst geschrieben hast: Die Jacobi-Matrix an der Stelle (-1,1) auswerten und schauen, wo die Eigenwerte liegen.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14


Was sind denn in meiner Aufgabe die Funktionen \(f_1\) und \(f_2\) die ich nach \(y_1\) und \(y_2\) jeweils ableiten muss?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1578
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-15


Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15


2019-12-15 00:23 - haerter in Beitrag No. 5 schreibt:
Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Die \(y_1'\)-Gleichung nach \(y_1\) abgeleitet ergibt:

\(((9y_1+9y_2)^{3})'=3\cdot(9y_1+9y_2)^2\cdot9=27\cdot(9y_1+9y_2)^2
\)

Die \(y_1'\)-Gleichung nach \(y_2\) abgeleitet ergibt:

\(((9y_1+9y_2)^{3})'=3\cdot(9y_1+9y_2)^2\cdot9=27\cdot(9y_1+9y_2)^2
\)


Die \(y_2'\)-Gleichung nach \(y_1\) abgeleitet ergibt:

\((-4y_1-3y_2-1)'=-4\)


Die \(y_2'\)-Gleichung nach \(y_2\) abgeleitet ergibt:

\((-4y_1-3y_2-1)'=-3\)


Folgt für die Jacobi-Matrix:

$$A_1=\begin{pmatrix} 27\cdot(9y_1+9y_2)^2 & 27\cdot(9y_1+9y_2)^2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$$

War das so gemeint oder habe ich hier einen Denkfehler?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1578
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-16


Hallo,

ja, das Ergebnis passt, jetzt müsstest Du noch <math>(y_1,y_2)=(-1,1)</math> einsetzen und dann stellt sich leider heraus, dass die Stabilität sich mit der Jacobimatrix alleine hier nicht bestimmen lässt.

Wenn die Aufgabe so gestellt war, wie im Anfangspost dargestellt ("soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist"), dann führt das zu keiner Entscheidung.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]