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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Äquivalente Formulierung eines erzeugten Ideals
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Autor
Universität/Hochschule J Äquivalente Formulierung eines erzeugten Ideals
kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 506
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-26


Liebe Mitglieder,

im Lehrbuch der Algebra von Fischer steht folgendes zu erzeugten Idealen:



Ich vermute dass dies aber nur stimmt, wenn $R$ das Einselement enthält, denn sonst wüsste ich nicht wie man zeigt, dass $A$ in der rechten Menge der Linearkombinationen enthalten ist. Probleme bereitet mir die Gleichung, welche ich dick schwarz unterstrichen habe. Könntet ihr diese Vermutung bestätigen bzw. zeigen, weshalb diese Gleichheit auch ohne Einselement im Ring $R$ gilt?

Liebe Grüße
kingdingeling



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26


Ringe haben in dem Buch eine Eins.

Hier habe ich mich wohl geirrt (siehe Folgebeitrag).



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kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 506
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


Hi Triceratops,

das erleichtert mir das Leben... ich vermute das auch, aber hier findet sich das nicht so wieder. Manchmal sagt er auch "Sei der Ring $R$ mit $1\neq 0)$. Aber ja, wenn das stimmt und ich meine Bosch z.B. definiert den Ring auch mit einem multiplikativen neutralen Element, dann ist ja alles gut :)



Danke dir




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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2982
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-26


2020-01-26 19:31 - kingdingeling in Beitrag No. 2 schreibt:
Manchmal sagt er auch "Sei der Ring $R$ mit $1\neq 0)$.
Damit ist nur gemeint, dass $R$ nicht der Nullring ist -- das ist auch ein Ring mit Einselement, und dort gilt $0=1$.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-26


Für Rnge (nicht-unitale Ringe) gilt

$\langle A \rangle = \{z a_0 + x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n : z \in \IZ,\, n \in \IN,\, a_i \in A, \, x_i \in R\}.$

Autoren sind in der Regel für Fehlerhinweise sehr dankbar. Im Vorwort schreibt Fischer:

Trotz sorgfältiger Suche nach Druckfehlern und mathematischen Irrtümern werden wohl einige verblieben sein. Daher möchte ich alle Leser bitten, mir Fundstellen mitzuteilen, am einfachsten an
gfischer@ma.tum.de

Ich habe aber online noch keine Fehlerliste gefunden, vielleicht werden diese einfach jeweils in der folgenden Auflage korrigiert.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-26


Noch ein Hinweis, warum man die Notation $(a_1,\dotsc,a_n)$ für das erzeugte Ideal vermeiden sollte: Einfach weil sie bereits für das $n$-Tupel belegt ist, und es durchaus Situationen gibt, wo beide Ausdrücke vorkommen können. Zahlentheoretiker machen es sogar noch schlimmer, indem sie $(a,b)$ für den ggT von $a,b$ schreiben, welcher also ein Erzeuger des Ideals (so wie ich es schreiben würde) $\langle a,b \rangle$ ist, sofern das denn ein Hauptideal ist. Zudem ist die Notation $\langle \dotsc \rangle$ auch für die entsprechenden Erzeugnisse bei Gruppen, Vektorräumen, Moduln usw. geläufig (und tatsächlich geht es bei Idealen ja um Untermoduln), insofern bietet sich eine extra Notation schon gar nicht an.



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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-26


2020-01-26 20:14 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Zahlentheoretiker machen es sogar noch schlimmer, indem sie $(a,b)$ für den ggT von $a,b$ schreiben, welcher also ein Erzeuger des Ideals (so wie ich es schreiben würde) $\langle a,b \rangle$ ist.

Ich hatte vermutet, dass Zahlentheoretiker es sogar genau deswegen so schreiben, da $(a,b) = (\operatorname{ggT}(a,b))$ in PIDs. Aber ich weiß nicht, ob das der Hintergrund ist, und gebe dir natürlich recht, dass die Notation große Verwechslungsgefahr mit Tupeln hat.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-26


Ja, das ist der Hintergrund, womit wir dann die <irony>sehr nützliche Gleichung</irony> $(a,b)=((a,b))$ haben.



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kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.09.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


Ich danke euch allen für eure Hilfe. Da ich im Moment das Buch komplett einmal von vorne bis hinten einfach durcharbeite, sind mir schon ein zwei kleinere Fehler aufgefallen bei den Notationen, vllt schreibe ich da mal ne mail :) danke euch und noch einen schönen Sonntag abend.

PS.: Ein ansonsten super empfehlenswertes Buch, ziemlich umfangreich aber so gut geschrieben mit vielen eleganten Beweisen wie ich finde, obwohl ich mich da aber nicht so gut auskenne wie so viele andere hier.



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