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Universität/Hochschule Umfanggleiche Dreiecke
Alea_Aquarius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-28



ursprünglicher Beitrag schreibt:
Folgendes Problem:
Es gibt ein beliebiges Dreieck ABC mit der Basis AB.
Nun verschiebt man den Punkt C so, dass der Umfang des Dreiecks gleich bleibt.
Frage:
Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden des Winkels bei C
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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28


Hi Alea_Aquarius

Willkommen auf dem Planeten

Aus welchem Wettbewerb stammt diese Aufgabe?

Gruß vom ¼


-----------------
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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-29


Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe (?),
sieht es nicht so aus:

<math>\pgfmathsetlengthmacro{\v}{-3cm} %
% Dreieck 0
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\u}{\a+\b+\c} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\m}{\b*\c/(\a+\b)} %


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
% Dreieck 0
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck 0 zeichnen

\coordinate[Punkt={below}{W}] (W) at (\m,0);
\draw[red, shorten <=\v] (W) -- (C);

% Dreieck 1
\pgfmathsetmacro{\x}{\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\xMax}{1-\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\y}{1+(1-\x)*\a/\b} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{\x*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\y*\b} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaI}{acos((\bI^2+\c^2-\aI^2)/(2*\bI*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\uI}{\aI+\bI+\c} %

\pgfmathsetmacro{\mI}{\bI*\c/(\aI+\bI)} %
\coordinate[Punkt={above}{C_1}] (C1) at (\AlphaI:\bI);
\draw[] (A) -- (B) -- (C1) --cycle; % Dreieck 1 zeichnen

\coordinate[Punkt={below}{W_1}] (W1) at (\mI,0);
\draw[red, shorten <=\v] (W1) -- (C1);

% Dreieck 2
\pgfmathsetmacro{\x}{1.3*\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\xMax}{1-\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\y}{1+(1-\x)*\a/\b} %
\pgfmathsetmacro{\aII}{\x*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\y*\b} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaII}{acos((\bII^2+\c^2-\aII^2)/(2*\bII*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\uII}{\aII+\bII+\c} %

\pgfmathsetmacro{\mII}{\bII*\c/(\aII+\bII)} %
\coordinate[Punkt={above}{C_2}] (C2) at (\AlphaII:\bII);
\draw[] (A) -- (B) -- (C2) --cycle; % Dreieck 1 zeichnen

\coordinate[Punkt={below}{W_2}] (W2) at (\mII,0);
\draw[red, shorten <=\v] (W2) -- (C2);








%% Punkte
\foreach \P in {W, W1,W2} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{min(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-5mm,0)$)}]
%% Strecken
%\tikzset{YShift/.style={yshift=-1 cm}}
%\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*6mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm
%};
%}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};


% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=33mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  & \\
u = \u \text{ cm}  & \\ \hline
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
a_1 = \aI \text{ cm}  &  \\
b_1 = \bI \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  & \\
u_1 = \uI \text{ cm}  & \\ \hline
% \alpha_1 = \AlphaI^\circ    &  \\
a_2 = \aII \text{ cm}  &  \\
b_2 = \bII \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  & \\
u_2 = \uII \text{ cm}  & \\
%\y, \xMax
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};


\end{tikzpicture}
</math>

Aber das beweise ich jetzt nicht.


PS: Ich finde die Formulierung
2020-01-28 17:35 - Alea_Aquarius im Themenstart schreibt:
Folgendes Problem:
Es gibt ein beliebiges Dreieck ABC mit der Basis AB.
Nun verschiebt man den Punkt C so, dass der Umfang des Dreiecks gleich bleibt.
Frage:
Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden des Winkels bei C
unklar; m.E. müsste es heißen:
Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden der Winkel bei (den verschobenen Punkten) C?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1198
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-29


Wenn es einen solchen Punkt gäbe, so müsste es der Mittelpunkt von AB sein, denn offensichtlich liegt der Punkt auf AB (Dreieck mit Flächeninhalt 0) als auch im selben Abstand zwischen A und B (gleichschenkliges Dreieck). Jetzt braucht man nur noch ein drittes Dreieck dessen Winkelhalbierende nicht durch den Mittelpunkt von AB geht XD Ich würde ein rechtwinkliges vorschlagen... deren Winkelhalbierende geht nur selten durch den umkreismittelpunkt...



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