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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Cartier divisors
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Universität/Hochschule J Cartier divisors
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-05


Hallo,

ich möchte wissen, wie die folgenden beiden Definitionen von Cartier divisor (im Kontext von komm. Alg. und alg. Geom.) zusammenhängen.

Def. 1. Sei $A$ ein Integritätsbereich, $K=Frac(A)$ der Quotientenkörper (vielleicht kann man das für bel. Ring definieren und ersetze $K$ durch den totalen Quotientenring). Dann heißt ein Paar/Datum (modulo Äquivalenzrelation, s.u.) $(M,\iota_M: M\to K)$ Cartier divisor auf $A$, falls $M$ ein invertierbarer $A$-Modul (bzgl. Tensorprodukt) und $\iota_M$ eine $A$-lineare Injektion ist. Zwei solche Paare $(M,\iota_M), (N,\iota_N)$ gebe denselben Divisor, wenn ein $A$-Isomorphismus $\phi: M\to N$ existiert, sodass $\iota_N\circ\phi=\iota_M$.

Def. 2. Sei $X$ ein Schema (man darf ein paar Regularitäten von $X$ verlangen). Ein Cartier divisor auf $X$ ist ein globaler Schnitt $s\in \Gamma(X, M_X^\times/O_X^\times)$, wobei $O_X$ die Strukturgarbe und $M_X$ die Garbe der meromorphen Funktionen auf $X$ sind.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11 12:03


Sei $X$ ein Schema. Ein Cartier-Divisor gemäß Definition 1 (verallgemeinert vom affinen auf den allgemeinen Fall) ist eine Isomorphieklasse eines invertierbaren $\mathcal{O}_X$-Moduls zusammen mit einer Einbettung in den $\mathcal{O}_X$-Modul der meromorphen Funktionen $\mathcal{M}_X$. Hierbei heißen zwei Einbettungen $L \to \mathcal{M}_X$ und $L' \to \mathcal{M}_X$ isomorph, wenn es einen Isomorphismus $L \to L'$ gibt, sodass das evidente Dreieck kommutiert. Wenn $L \to \mathcal{M}_X$ eine Einbettung ist und $L'$ das Bild bezeichnet, so ist sie zur Inklusion $L' \to \mathcal{M}_X$ isomorph. Wir können also stets annehmen, dass $L$ ein invertierbarer $\mathcal{O}_X$-Untermodul von $\mathcal{M}_X$ ist. Man spricht auch von gebrochenen Idealen (engl. fractional ideals) auf $X$.

Die Invertierbarkeit von $L \subseteq \mathcal{M}_X$ bedingt, dass eine offene Überdeckung $(U_i)_{i \in I}$ von $X$ gibt, sodass $L|_{U_i}$ frei vom Rang $1$ ist, etwa erzeugt von $f_i \in \Gamma(U_i,\mathcal{M}_X)$. Weil (lokal) der Zähler von $f_i$ kein Nullteiler ist (hier geht die Freiheit ein), ist $f_i$ eine Einheit. Diese lokalen Schnitte sind zwar auf den Durchschnitten $U_i \cap U_j$ nicht miteinander kompatibel, aber sie sind es bis auf Einheiten in $\mathcal{O}_{U_i \cap U_j}$. Denn sowohl $f_i|_{U_i \cap U_j}$ als auch $f_j |_{U_i \cap U_j}$ erzeugen den Modul $L|_{U_i \cap U_j}$. Die Bilder im Quotienten $[f_i] \in \Gamma(U_i,\mathcal{M}_X^{\times} / \mathcal{O}_X^{\times})$ sind daher kompatibel auf den Durchschnitten. Sie verkleben daher zu eienm globalen Schnitt $s \in \Gamma(X,\mathcal{M}_X^{\times} / \mathcal{O}_X^{\times})$.

Wenn wir $L$ durch eine isomorphe Einbettung $L' \subseteq \mathcal{M}_X$ abändern, erhalten wir denselben globalen Schnitt, was im Wesentlichen wieder daran liegt, dass wir $\mathcal{O}_X^{\times}$ herausteilen.

So gelangt man also zu einem Cartier-Divisor wie in Definition 2. Wie Umkehrung verläuft ähnlich: Hier konstruiert man anhand eines globalen Schnitts $s \in \Gamma(X,\mathcal{M}_X^{\times} / \mathcal{O}_X^{\times})$, der durch lokale Schnitte $f_i \in \Gamma(U_i,\mathcal{M}_X^{\times})$ induziert ist, durch Verkleben einen invertierbaren Untermodul $L \subseteq \mathcal{M}_X$ mit $L|_{U_i} = \langle f_i \rangle$.



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