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Mathematik » Stochastik und Statistik » Konvergenz Münzwurf
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Kein bestimmter Bereich Konvergenz Münzwurf
Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-18




Wir werfen wiederholt eine Münze (0/1) und berechnen den Durchschnitt aller Münzwürfe.

Im Limes wird der Durchschnitt gegen 0.5 konvergieren.

Nach einigen Würfen könnte der Durchschnitt oberhalb von 0.5 liegen.


Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Durchschnitt danach irgendwann einmal den Wert von 0.5 unterschreitet ?




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-18


Hallo,

ich vermute sehr stark, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass der Durchschnitt auch irgendwann mal kleiner als 0.5 ist.

Kannst du das beweisen?



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Eckeneckepen
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Dabei seit: 04.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 10:59 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

ich vermute sehr stark, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass der Durchschnitt auch irgendwann mal kleiner als 0.5 ist.

Kannst du das beweisen?


Ich denke ich habe einen Beweis, jedoch ist mein Studium (inf.) schon lange her und ich kann den Beweis nur noch in Worten beschreiben.

Wenn die Wk wirklich 1 ist, so würde dies bedeuten, daß jede (ich sag mal normale) Folge von Zufallszahlen unendlich oft um den Grenzwert pendelt.
Selbst dann - wenn im Beispiel des Münzwurfs -  per Zufall die ersten 1000 Münzwürfe eine 1 ergeben.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-18


Hallo Eckeneckepen und ochen,

2020-02-18 17:09 - Eckeneckepen in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-02-18 10:59 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
ich vermute sehr stark, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass der Durchschnitt auch irgendwann mal kleiner als 0.5 ist.

Kannst du das beweisen?

Ich denke ich habe einen Beweis, jedoch ist mein Studium (inf.) schon lange her und ich kann den Beweis nur noch in Worten beschreiben.

Ich bin mir sicher, dass das gilt. Jedoch sehe ich noch nicht, wie das einfach (etwa mit dem starken Gesetz der großen Zahlen) zu beweisen ist. Wie sieht denn deine Beweisidee aus, Eckeneckepen?



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Eckeneckepen
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Dabei seit: 04.05.2017
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 22:04 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Eckeneckepen und ochen,

2020-02-18 17:09 - Eckeneckepen in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-02-18 10:59 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
ich vermute sehr stark, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist, dass der Durchschnitt auch irgendwann mal kleiner als 0.5 ist.

Kannst du das beweisen?

Ich denke ich habe einen Beweis, jedoch ist mein Studium (inf.) schon lange her und ich kann den Beweis nur noch in Worten beschreiben.

Ich bin mir sicher, dass das gilt. Jedoch sehe ich noch nicht, wie das einfach (etwa mit dem starken Gesetz der großen Zahlen) zu beweisen ist. Wie sieht denn deine Beweisidee aus, Eckeneckepen?





Die Konvergenzrate der Münzwurffolge gegen den Grenzwert beträgt 1/wurzel(n).
D.h. wenn sich z.B. nach einiger Zeit k Nachkommastellen fixiert haben, so benötigt man 10*10 = 100 mal so viel Münzwürfe
damit sich eine weitere Nachkommastelle fixiert.

Nun zum Beweis:

Sei n eine beliebige Zahl und sei der Durchschnitt der ersten n Münzwurffolgen  größer als 0,5.

Wir wollen nun zeigen daß jenseits von n mit wk=1 der Gesamtdurchschnitt auch einmal  kleiner als 0,5 wird.

Wir betrachten dazu  nun weitere 1000.000 x n  Münzwürfe.  Die Zahl 1000.000 ist willkürlich und soll den Beweis intuitiv verständlich machen


Die Wk,daß die folgenden 1000.000 x n Münzwürfe für sich allein Betrachtet (also ohne die ersten n) im Schnitt  zu einem Schnitt von größer als 0,5 führen beträgt 1/2.

Diese Prozedur mit der Multiplikation mit 1000.000 (also beim nächsten mal n* 10^12) setzen wir solange fort bis wir eines Tages unterhalb von 0,5 landen, dies passiert irgendwann mit wk = 1.

Nehmen wir einfachheitshalber an, bereits nach n*10^6 weiteren Versuchen sind wir unterhalb von 0,5. ( Im Schnitt sind es wohl n*10^12 weitere Versuche)

Jetzt müssen wir  die n ersten Folgeglieder noch dazunehmen (deren Schnitt größer ist als 0.5) , und argumentieren daß der Durchschnitt aller n+ n* 1Mio Münzwürfe mit "sehr" hoher Wahrscheinlichkeit
 immer noch kleiner ist als 0,5.

Aber das Resultiert aus folgender Beobachtung: Der Abstand der ersten n Folgeglieder zu 0,5 fließt im Gesamtdurchschnitt aller Münzwürfe nur zu einem millionstel ein und wird sehr klein (wir nennen diesen kleinen Abstand x),
während der Abstand der n*1Mio darauffolgenden Folgeglieder in der Größenordnung von 1/1000 unterhalb von 0,5 liegt und im Durschschnitt 1000 mal größer ist als x.
 



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-19


Man kann das ganze als symmetrische Irrfahrt auffassen, wobei wir einen Schritt nach rechts gehen ($X_i=1$), wenn wir Kopf werfen und einen Schritt nach links, wenn wir Zahl werfen ($X_i=-1$).
Nach den ersten Zügen, die uns aber nicht weiter interessieren, haben wir $k$ mal häufiger Zahl geworfen als Kopf.
Nun setzen wir mit unserer symmetrischen Irrfahrt bei Null an. Die Frage ist nun, ob wir irgendwann $k+1$ erreichen, denn dann hätten wir häufiger Kopf als Zahl geworfen, obwohl wir ursprünglich $k$ mal häufiger Zahl als Kopf geworfen haben. Die Antwort ist positiv, wie hier www2.math.uu.se/~sea/kurser/stokprocmn1/slumpvandring_eng.pdf auf Seite 4 Theorem 1 oder Remark 2 gezeigt wird.



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