Die Mathe-Redaktion - 07.04.2020 01:28 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 239 Gäste und 13 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Legendre-Polynome Beweis
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Legendre-Polynome Beweis
Benni97
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2018
Mitteilungen: 68
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-21


So, da melde ich mich nach einer ganzen Weile auch mal wieder  :-)


Ich  möchte folgende Aufgabe als kleine Übung lösen:




Aufgabe
_______


Zeigen Sie:


$(i)$ Die Polynome $p_{k}(x) := \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{d x^{k}} \left ( x^{2}- 1 \right )^{k}$, $k = 0, 1, \ldots, n$ sind bezüglich des Skalarprodukts $(f, g):= \int_{- 1}^{1} f(x) g(x) dx$ orthogonal.


$(ii)$ Es gilt $\vert \vert p_{k} \vert \vert = \frac{k!^{2}}{(2k)!} \sqrt{\frac{2^{2k + 1}}{2k + 1}}$

$(iii)$ Es gilt $p_{k}(1) = \frac{2^{k} k!^{2}}{(2k)!}$





Bei der $(i)$ habe ich eine Idee. Da probiere ich noch herum. Aber bei $(ii)$ und $(iii)$ habe ich keinen wirklich guten Ansatz.



Zu (ii)
________


$\vert \vert p_{k} \vert \vert =  \vert \vert  \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k}  \vert \vert = \frac{k!}{(2k)!} \cdot \vert \vert   \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k}  \vert \vert = \frac{k!}{(2k)!}  \cdot \sqrt{\int_{- 1}^{1}   \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot  \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} dx} $



Betrachten wir das Integral $\int_{- 1}^{1}   \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot  \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} dx$

Ab hier nutze ich die partielle Integration und erhalte:

$\int_{- 1}^{1}   \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot  \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} dx  = \left [ \frac{d^{k - 1}}{dx^{k - 1}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot  \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k}  \right ]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \frac{d^{k - 1}}{dx^{k - 1}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k} dx$


Ab da komme ich nicht weiter.

Ich habe auch schon versucht, eine Formel zur Berechnung von $\frac{d^{k }}{dx^{k }} \left (  x^{2} - 1 \right )^{k}$ zu finden, aber ab einer gewissen Stelle kommen zu viele Summanden vor, so dass ich keine vernünftige Formel dafür finde, da ich keine Struktur erkenne.



Zu (iii)
________


 Und um die Gleichung $p_{k}(1) = \frac{2^{k} k!^{2}}{(2k)!}$ zu zeigen, muss ich spätestens jetzt eine Formel finden. Aber das gelingt mir seit Stunden nicht...




Ich hoffe, dass jemand hier weiter weiß und mir helfen kann.

Ich bedanke mich im Voraus.


Mit freundlichen Grüßen,

Benni97



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 493
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-21


Hallo,

Bei der iii) würde ich induktion verwenden, eine Formel für p(x) ist nicht notwendig hier.

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 493
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-22


Hallo erneut,

Hat das bereits für iii) geholfen?
Jetzt mit wenigen Minuten mehr Zeit zu ii) ich würde versuchen zu zeigen, das wenn a eine k-fache nullstelle eines Polynoms ist (also wir betrachten  q(x)*(x-a)^k an) dann ist für alle $0\leq m < k $ auch a eine nullstelle von der m-ten Ableitung.
Damit fällt bei deinem letzten Term der erste Summand weg. Induktiv machst du dann mit den integral weiter (partielle Integration) bis du die 2k+1-te Ableitung im integral stehen hast. Diese ist nämlich 0, der erste Summand dann ist aber nicht mehr 0.

Hoffe es ist verständlich, habe keinen Stift zu meiner Hilfe und tippe vom Handy :(.

Beste Grüße
Creasy



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 493
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-23


Hallo erneut,

Hat das bereits für iii) geholfen?

Das unten stehende muss ich korrigieren. Das funktioniert so nämlich nicht, have nicht bemerkt dass bereits ein Fehler in der partiellen Integration bei dir aufgetaucht ist. Die Stammfunktion von <math>d^k/dx^k (x^2-1)^k</math> ist nicht $d^{k-1}/dx^{k-1}(x^2-1)^k$

Kannst du die partielle Integration hier richtig durchführen und den term erneut hinschreiben?


Jetzt mit wenigen Minuten mehr Zeit zu ii) ich würde versuchen zu zeigen, das wenn a eine k-fache nullstelle eines Polynoms ist (also wir betrachten  q(x)*(x-a)^k an) dann ist für alle <math>0\leq m < k </math> auch a eine nullstelle von der m-ten Ableitung.
Damit fällt bei deinem letzten Term der erste Summand weg. Induktiv machst du dann mit den integral weiter (partielle Integration) bis du die 2k+1-te Ableitung im integral stehen hast. Diese ist nämlich 0, der erste Summand dann ist aber nicht mehr 0.

Hoffe es ist verständlich, habe keinen Stift zu meiner Hilfe und tippe vom Handy :(.



Beste Grüße
Creasy



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Benni97
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2018
Mitteilungen: 68
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-23


Hallo! Es tut mir Leid, dass ich so lange nicht geantwortet habe. Ich war 2 Tage unterwegs und hatte keine Zeit, mir richtig darüber Gedanken zu machen.

Ich freue mich sehr über deine Antworten und werde mich morgen damit befassen!
Falls ich an irgend einer Stelle Fragen habe, melde ich mich bei dir! :-)


Lg, Benni



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Benni97 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Benni97 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]