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Analysis » Integration » Probleme beim Lösen eines Integrals
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Universität/Hochschule Probleme beim Lösen eines Integrals
maxxam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-09


Hallo zusammen,

ich habe ein Problem bei dem Lösen eines Integrals bzw. ich komme nicht auf die vom Skript vorgegebene Aussage.

Zu lösen ist das Integral
\(\int_{r=0}^{R} \int_{\phi = 0}^{2 \pi} \int_{\theta = 0}^{\pi}
\frac{1}{r} \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} f(t+\frac{r}{c})  
 r^2 sin(\theta)
d\theta d\phi dr \)
um r = 0 herum, wobei \(R \rightarrow 0\) gelten soll.
Das Ergebnis dieses Integrals soll proportional zu \(R^2\) sein und da \(R \rightarrow 0\) gilt, auch verschwinden.

Nach den Integrationen über die Winkel wollte ich die r-Integration eigentlich über eine partielle Integration lösen, nur komme ich nicht auf die vorgegebene Lösung und wollte euch daher um Hilfe bitten.

LG
maxxam



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-09


Hallo maxxam,
man kann das Integral berechnen, aber warum? Das äußere Integral läuft von $r=0$ bis $r=R$. Wenn $R\rightarrow0$ geht, dann läuft das Integral von null bis null, und damit ist das Integral auf jeden Fall auch null. Und nein, das Integral ist nicht proportional zu $R^2$.

Ciao,

Thomas



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maxxam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Naja dann habe ich mich wohl zu sehr auf den Satz "ist proportional zu \(R^2\)" versteift.
Vielen Dank!



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-10


Hallo maxxam,
wenn Du alle Integrale ausrechnest, kommt
$$4\pi c\left(\frac Rcf'\left(t+\frac Rc\right)-f\left(t+\frac Rc\right)+f\left(t\right)\right)$$heraus. Wie man sieht, ist für $R=0$ das Ergebnis tatsächlich auch null.

Ciao,

Thomas



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-10


2020-04-09 22:22 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
Das äußere Integral läuft von $r=0$ bis $r=R$. Wenn $R\rightarrow0$ geht, dann läuft das Integral von null bis null, und damit ist das Integral auf jeden Fall auch null.

Ganz so einfach kann man es sich wohl nicht machen, es soll wohl gezeigt werden, dass der Ausdruck in $R=0$ stetig ist bzw. darauf stetig fortgesetzt werden kann. Wegen dem $\frac{1}{r}$ ist das a priori nicht klar, und man wird wohl auch Forderungen an $f$ stellen müssen.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-10


Hallo traveller,
das $\frac1r$ ist hinfällig, weil weiter hinten noch mal $r^2$ kommt, also nur $r$ übrig bleibt. Es wurde noch nicht vollständig gekürzt.

Ciao,

Thomas



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-10


Ja, tatsächlich. Jetzt sollten sich nur noch $f$ und $f'$ einigermassen lieblich bei $R=0$ verhalten.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-10


Hi traveller,
die Funktion $f$ hat nur ein Argument, in das hier die Summe $t+\frac Rc$ eingesetzt wird. Es gibt also eigentlich gar keinen Funktionswert für $R=0$, weil ja immer noch das $t$ eine Rolle spielt, denn abhängig von $R$ kann ich immer ein passendes $t$ wählen, um jedes beliebige Funktionsargument zu erzeugen.

Ciao,

Thomas



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-10


Naja inwiefern dieses $t$ "wählbar" ist, ist ja fraglich. Für konkrete $t$ könnte es ja durchaus Probleme geben, wenn etwa
$$f'\left(t+\frac{R}{c}\right)=\frac{1}{\left(5-\left(t+\frac{R}{c}\right)\right)^2}\enspace,$$ wo der Ausdruck dann für $t=5$ divergieren würde. Aber davon ist wohl kaum auszugehen, denn $f$ soll ja sogar zweifach differenzierbar sein.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-04-10


Klar. Jetzt gehen wir noch einen Trick weiter und wenden die Reihenentwicklung um $t+\frac Rc$ mit Lagrange-Restglied an:
$$f\left(t\right)=f\left(t+\frac Rc\right)+f'\left(t+\frac Rc\right)\cdot\left(-\frac Rc\right)+\frac12f''\left(t+\mu\frac Rc\right)\frac{R^2}{c^2}\qquad 0\leq\mu\leq1$$Dann bleibt nur übrig:
$$2\pi \frac{R^2}cf''\left(t+\mu\frac Rc\right)$$So habe ich jetzt doch die Proportionalität zu $R^2$ gebastelt. Natürlich könnte auch hier in Einzelfällen etwas schiefgehen mit der zweiten Ableitung...

Ciao,

Thomas



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