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Mathematik » Zahlentheorie » Anzahl bestimmter Primzahlen in Collatzfolgen
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Kein bestimmter Bereich Anzahl bestimmter Primzahlen in Collatzfolgen
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-09


Untersucht man die Anzahl bestimmter Primzahlen in Collatzfolgen beliebiger Startzahlen, so scheint der Anstieg der Anzahl dieser Primzahlen bei immer größer werdenden Startzahlen zu stagnieren.
Aufgrund der mir zur Verfügung stehenden doch recht begrenzten Computer-Rechenleistung, finde ich auch nach mehreren Tagen keine Collatz-Folge, die eine höhere Anzahl als $n(p^*)=24$ der nachfolgend definierten Primzahlen $p^*$ besitzt. 🤔

Mit $k \in \mathbb{N_G}$

$$p^*:=4k+1,\;\;p^*\in \mathbb{P^*}=\lbrace17, 41, 73, 89, 97, 113, 137,\dots\rbrace$$
Zwei Zahlenbeispiele
27 und 408879
41 := 10
137 := 34
233 := 58
593 := 148
577 := 144
433 := 108
1   m= 27  n(p*) =  6
 
1379969 := 344992
776233 := 194058
699401 := 174850
1180241 := 295060
746873 := 186718
4037681 := 1009420
479081 := 119770
227377 := 56844
1801 := 450
3041 := 760
2281 := 570
41 := 10
137 := 34
233 := 58
593 := 148
577 := 144
433 := 108
1   m= 408879  n(p*) =  17


Ein Gegenbeispiel das eine höhere Anzahl als  $n(p^*)=24$ hat würde mich freuen und zeigen dass die Anzahl nicht völlig stagniert 🙂.


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Gruß haegar



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-09


Solche Untersuchungen kann man zum Spaß an der Freude machen. Primzahlen spielen aber keine besondere Rolle beim Collatz-Problem.


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-09


Für N=156159 ist p=25 ?



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-09


Sporatisch gefunden:

1. Fall für 4k+1=prime in der Anzahl i

Startzahl, i
129           10
171           11
417           12
811           13
1071          14
1263          15
3567          16
6171          17
10971         18
17647         19
23529         20
35655         21
52527         22
146599        23
156159        24
234239        25
481959        26
1460679       27
2139627       28
3123615       29
6933535       30
32870091      31

Kommt das hin ?

Für den Fall 31 lautet die Primzahlen 4k+1

36978853 26325769 33318553 37483373 8894981 1219961 2473217 880361 2228417 1784753 70589 59561 508841 2898017 2173513 2063141 348553 248141 93053 117773 2621 2213 1777 137 233 593 577 433 61 53 5


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


@Slash, ja klar, nur zum Spaß 😃. Das gilt wohl für alle Collatz-Spielereien hier und fast überall anderswo auf der Welt.

@pzktupel
2020-04-09 20:17 - pzktupel in Beitrag No. 2 schreibt:
Für N=156159 ist p=25 ?
Nicht so ganz, alle $k$ sind gerade Zahlen.🙃
4002209 := 1000552
3001657 := 750414
4056817 := 1014204
101537 := 25384
1172393 := 293098
4753561 := 1188390
1504057 := 376014
1269049 := 317262
1427681 := 356920
1070761 := 267690
195809 := 48952
146857 := 36714
1657 := 414
281 := 70
17 := 4

1   m= 156159  n(p*) =  15


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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-09


Umschreibe mal n(p*) einfacher. Mach mal ein Bsp. mit den Zahlen


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Steht eigentlich schon in #0, auch Zahlenbeispiele. $n(p^*)$ ist hier einfach nur die Anzahl der Primzahlen der Form $4k+1$, die in einer beliebigen Collatzfolge auftauchen, wobei $k$ immer eine gerade Zahl ist.😎  


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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-09


Okay, verstehe, 8k+1 ist ungültig.
Alle Primzahlen sind wirklich nur aus 4k+1.
Das k demnach  gerade ist, steht so nicht da.

Bis zu welcher Zahl wurde geprüft ?


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-09


Also Startzahl 23001739 liefert 17 ?

...Okay, k wäre immer ungerade...

Also für N=10969503 ist n(p*)=21, stimmt das nun ?



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


...nur diese Zahlen, ja die stimmt.
...mit k als gerade Zahl
 
 Mit 4 PrimZahl = 17
 
 Mit 10 PrimZahl = 41
 
 Mit 18 PrimZahl = 73
 
 Mit 22 PrimZahl = 89
 
 Mit 24 PrimZahl = 97
 
 Mit 28 PrimZahl = 113
 
 Mit 34 PrimZahl = 137
 
 Mit 48 PrimZahl = 193
 
 Mit 58 PrimZahl = 233
 
 Mit 60 PrimZahl = 241
 
 Mit 64 PrimZahl = 257
 
 Mit 70 PrimZahl = 281
 
 Mit 78 PrimZahl = 313
 
 Mit 84 PrimZahl = 337
 
 Mit 88 PrimZahl = 353
 
 Mit 100 PrimZahl = 401
 
 Mit 102 PrimZahl = 409
 
 Mit 108 PrimZahl = 433
 
 Mit 112 PrimZahl = 449
 
 Mit 114 PrimZahl = 457
 
 Mit 130 PrimZahl = 521
 
 Mit 142 PrimZahl = 569
 
 Mit 144 PrimZahl = 577
 
 Mit 148 PrimZahl = 593
 
 Mit 150 PrimZahl = 601
 
 Mit 154 PrimZahl = 617
 
 Mit 160 PrimZahl = 641
 
 Mit 168 PrimZahl = 673
 
 Mit 190 PrimZahl = 761
 
 Mit 192 .....usw.
 

Ja, die stimmt.
55533113 := 13883278
35142049 := 8785512
42218081 := 10554520
31663561 := 7915890
2113289 := 528322
3566177 := 891544
6426377 := 1606594
10293817 := 2573454
8685409 := 2171352
10992473 := 2748118
434761 := 108690
29017 := 7254
6121 := 1530
15497 := 3874
26153 := 6538
715817 := 178954
2717873 := 679468
3833 := 958
769 := 192
577 := 144
433 := 108

1   m= 10969503  n(p*) =  21


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-04-09


Dann schreib mal in Post #0 p*=8k+1


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-04-09


Okay, fand eben
N=147779355 mit n(p*)=25


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😃 ..sehr gut 👍, mein Rechner hätte die bestimmt bis kurz nach Weihnachten auch gefunden. Mit der Jahreszahl will ich mich nicht festlegen.


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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-04-09


Hatte eigentlich nur 1min gedauert auf einem Kern, der nebenbei sich reingemogelt hat, da sowieso 100% Last dauerhaft.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-04-09


2020-04-09 20:31 - haegar90 in Beitrag No. 4 schreibt:
@Slash, ja klar, nur zum Spaß 😃. Das gilt wohl für alle Collatz-Spielereien hier und fast überall anderswo auf der Welt.

Es gab auch schon hier auf dem MP ernste Untersuchungen und Projekte, die auch ernsthaftes Interesse bei den Profis erweckt haben.

Mein erster Kommentar hat den folenden Hintergrund: In der mir bekannten Collatz-Literatur (und das sind schon sehr viele Artikel) ist eben nichts von Primzahlen zu lesen. Ernst wird deine/eure Untersuchung, oder jede andere mit Primzahlen, wenn man damit ein bestimmtes Ziel verfolgt, also etwas zeigen will, was die Vermutung weiterbringen könnte. Aber wer weiß, vielleicht entdeckt ihr ja etwas Interssantes.

Gruß, Slash


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-04-09


Ich werde das nicht weiter verfolgen, aber versuche noch ein Exemplar für n>=26 zu finden. Dabei speiße ich die Primzahlen bis 10^10 ein.

Melde mich....

309700987     26
2034586159    27

28 ist offen : Stand 5.27 Mrd


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


@pzktupel
Klasse, noch zwei höhere Ergebnisse 🙂. Es steigt also vermutlich schwerfällig immer weiter. Nimmt man nur ungerade $k$ scheint der Anstieg nochmal etwa zehnfach langsamer zu sein.
Habe mal für mich erreichbare Zahlendimensionen in gleicher Weise alle Primzahlen zugelassen.
Verlauf
für alle Primzahlen
 
1   m= 9  n(p*) =  6
 
1   m= 27  n(p*) =  25
 
1   m= 129  n(p*) =  26
 
1   m= 171  n(p*) =  28
 
1   m= 231  n(p*) =  29
 
1   m= 1017  n(p*) =  32
 
1   m= 1071  n(p*) =  36
 
1   m= 4011  n(p*) =  37
 
1   m= 6171  n(p*) =  43
 
1   m= 10971  n(p*) =  44
 
1   m= 23529  n(p*) =  48
 
1   m= 49575  n(p*) =  50


Der Verlauf ist erwartungsgemäß sehr ähnlich.
Zu begründen wäre das vielleicht damit, dass eben die Primzahllücken mit höheren Startzahlen auch immer größer werden können.
@Slash
Auch ich sehe mit meiner bescheidenen Erfahrung bezüglich der Collatz-Vermutung keinen irgendwie gearteten auffälligen Zusammenhang mit Primzahlen. Überdies strebe ich auch keine nach eigenem Empfinden "ernsthaften Untersuchungen" mehr an. Aber wer weiß, sag' niemals nie... 😎    

 


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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-04-10


Ich habe mein Programm langsamer und genauer mal gemacht.

1. Fall 25 - 83125887

Ich lasse mal bissel was laufen.

Programm ist optimiert, alle Primzahlen werden bis 10^18 berücksichtigt, aber keine Verfolgung der Glieder, die über 10^18 sind.

für n=25 (geändert)
117722271

für n=26
309700987 , wie gestern
412934649
..

für n=27
434117991


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Komme da nur auf 25 statt 26 🤔.                                                                                                                    
595969001 := 148992250
1508546537 := 377136634
16310699081 := 4077674770
5033316257 := 1258329064
3774987193 := 943746798
239155649 := 59788912
215483129 := 53870782
3595441 := 898860
853217 := 213304
3644513 := 911128
5259977 := 1314994
1442873 := 360718
1623233 := 405808
256801 := 64200
192601 := 48150
3617 := 904
2713 := 678
1289 := 322
97 := 24
73 := 18
137 := 34
233 := 58
593 := 148
577 := 144
433 := 108

1   m= 117722271  n(p*) =  25



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pzktupel
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Ja, stimmt, hatte ich falsch "abgeschrieben"

134000000     26<---- neue Grenze zum Vergleich bei 134 Mio
done...
Start in Mio? 115

117722271     25 <----
_________________________
Update

für n=26
309700987 , wie gestern
412934649
626542439
825869299


für n=27
434117991
651176987
732574111
868235983
976765481
1029020423
1157647977
1302353975
1543530635
1626106347
1736471965
1829369641
2034586159
2315295953


Anmerkung, sollte einmal n=x gefunden sein, werden keine anderen in einem laufenden Suchinterval mehr gesammelt, nur x+1 dann.



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haegar90
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...es scheint zumindest für die Zahlen in deinem #19 mit n(p*)=27 genau dieser, immer gleiche Verlauf zu sein.
 
3129178873 := 782294718
2506169753 := 626542438
752699881 := 188174970
1508546537 := 377136634
16310699081 := 4077674770
5033316257 := 1258329064
3774987193 := 943746798
239155649 := 59788912
215483129 := 53870782
3595441 := 898860
853217 := 213304
3644513 := 911128
5259977 := 1314994
1442873 := 360718
1623233 := 405808
256801 := 64200
192601 := 48150
3617 := 904
2713 := 678
1289 := 322
97 := 24
73 := 18
137 := 34
233 := 58
593 := 148
577 := 144
433 := 108





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Eine Collatz-Folge einer Zahl der Größenordnung n hat im Erwartungswert eine Länge von O(log n). Eine Zahl der Größenordnung n ist mit einer a-priori-Wahrscheinlichkeit von O(1/log n) prim. Also erwarten wir bei O(log n) solchen Zahlen im Mitel O(1) Primzahlen in Collatz-Folgen.

Man könnte also die Vermutung aufstellen, dass für die Anzahl p(n) der in der Collatz-Folge mit Startzahl n auftretenden Primzahlen der Grenzwert <math>\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \sum\limits_{n=1}^x p(n)</math> existiert.

Das sagt aber natürlich nichts über die Beschränktheit von p(n) aus...



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pzktupel
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Stimmt heagar90, ist mir so garnicht aufgefallen. Nach der Logik kann man nun beliebig lange Ketten erzwingen.
Einfach Rückrechnung von 3129178873 beginnen und viele Pfade einschlagen und schaunen, ob ein Primzahl MOD 8=1 dabei ist. Somit sind endlos lange Ketten möglich.


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


@pzktupel,@Ixx

Sehe mir beides noch mal genauer an. 🤔
Melde mich 🙃.





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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-04-10


Also ich habe mal was zusammengezimmert.

Quasi würde N=2592538758269505 einen Run von 28 liefern, wobei die Zahl aus
3129178873 erzeugt wurde.
Die Primzahl 1944404068702129 ist in der Kette neu.

Im Ganzen haben die Untersuchungen keinen Wert, meine Meinung.


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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-04-10


2020-04-09 19:23 - haegar90 im Themenstart schreibt:

Mit $k \in \mathbb{N_G}$

$$p^*:=4k+1,\;\;p^*\in \mathbb{P^*}=\lbrace17, 41, 73, 89, 97, 113, 137,\dots\rbrace$$


was mir auffaellt das die wenigen Primzahlen die du nennst reguläre Primzahlen sind.  (Folge A007703 in OEIS).
Sicher hat das Collatz vermutung etwas in irgendeiner Weise mit Primzahlen zu tun. Mehr kann ich dazu nicht sagen. Und das bestimmte Zahlen signifikant gehäuft also bei 24 mal und mehr in Collatzfolgen vorkommen, sogar wenn ich nur anfangszahlen bis 1000 betrachte, und manche nur 1 mal.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-11


2020-04-10 15:02 - Ixx in Beitrag No. 21 schreibt:
Eine Collatz-Folge einer Zahl der Größenordnung n hat im Erwartungswert eine Länge von O(log n).

Ist das so zu verstehen ?
Sei $\mathbb{T}$ die Menge aller Glieder (Zahlen) einer Collatzfolge mit der Startzahl $t$ dann ist der Erwartungswert für die Mächtigkeit von $\mathbb{T}$ gemeint und $O(|\mathbb{T}|)\equiv O(\log t)$ ?

2020-04-10 15:02 - Ixx in Beitrag No. 21 schreibt:
Eine Zahl der Größenordnung n ist mit einer a-priori-Wahrscheinlichkeit von O(1/log n) prim.
Dafür dass $n$ eine Primzahl ist, ist der Erwartungswert $O\left(\frac{1}{\log n}\right)$

2020-04-10 15:02 - Ixx in Beitrag No. 21 schreibt:
Also erwarten wir bei O(log n) solchen Zahlen im Mitel O(1) Primzahlen in Collatz-Folgen.

Und dann so $O\left(\frac{|\mathbb{T}|}{\log n}\right)$ ?????

Wäre das dann nicht der Erwartungswert dafür dass der Betrag der Anzahl der Glieder einer Collatzfolge eine Primzahl ist 🤔

Bitte noch mal erklären.


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Gruß haegar



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haegar90
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2020-04-10 20:14 - pzktupel in Beitrag No. 24 schreibt:
Also ich habe mal was zusammengezimmert.

Quasi würde N=2592538758269505 einen Run von 28 liefern, wobei die Zahl aus
3129178873 erzeugt wurde.
Die Primzahl 1944404068702129 ist in der Kette neu.

Im Ganzen haben die Untersuchungen keinen Wert, meine Meinung.

Nein, denke auch dass es nichts Verwertbares hervorbringen wird.
Allerdings bleibt da doch die Frage ob es tatsächlich nur diesen einen immer gleichen Verlauf mit genau $n(p^*)=27$ gibt der mit 27 dieser $p^*$ Primzahlen zum Zykel führt oder ob es noch einen oder unendlich viele andere Verläufe mit genau 27 solcher $p^*$, welche aber alle davon verschieden sind, gibt, die auch damit im Zykel enden. 😮🤔


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Gruß haegar



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Slash
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2020-04-10 20:48 - juergenX in Beitrag No. 25 schreibt:
Sicher hat das Collatz vermutung etwas in irgendeiner Weise mit Primzahlen zu tun.

Das ist doch Quatsch, sowas einfach so zu behaupten.


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-04-11


@haegar90
Nein, das ist unwahrscheinlich (nahm eben das Gegenteil an), weil man
in der Rückwärtsrechnung beliebige Pfade einschlagen kann. So folgt zwar 433 auf 577, wegen  (433*4-1)/3 , aber man könnte auch (433*2^(2+2k)-1)/3 nehmen und auf eine andere Primzahl stoßen. usw usf

Aber Zahlen , die dicht beieinander liegen , werden denselben Pfad nehmen, dann wird er irgendwann von einem anderen abgelöst oder wenn es soweit ist, durch eine neue Zahl erweitert.


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haegar90
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@pzktupel
Man könnte aber doch z.B. einfach mit der 23 beginnen und immer weiter zurückrechnen bis man 27 dieser Primzahlen $p^*$ gefunden hat, die alle zu denen in der bekannten Folge verschieden sind.🙂




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pzktupel
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Ja, das ginge...würde aber soweit vom Trend auseinanderliegen, das vielleicht die Oberste Zahl weit über 2^100 hätte.


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