Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeit
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Differenzierbarkeit
MaxIMP2415
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.01.2020
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-09


Kurze Frage:
Um Differenzierbarkeit zu zeigen, kann man einfach zeigen, dass die Ableitung stetig ist?
LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2505
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-09


Gegenfrage: Wie willst du eine Funktion ableiten, die nicht differenzierbar ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MaxIMP2415
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.01.2020
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Ich hätte gedacht, dass man die über den Differnzialquotienten hergeleitete Regeln auch auf nicht differenziertere Funktionen anwenden kann und dann halt an den nicht differenzierbaren Stellen eine nicht stetige (oder nicht definierte) Ableitungen erhält.
Mich stört es irgendwie nur auf Differenzierbarkeit von Komposition,  Linearkombination oder Umkehrfunktionen zu verweisen.

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2505
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-09


Diese Regeln werden aber unter der Voraussetzung hergeleitet, dass die Funktionen differenzierbar sind. Grundsätzlich dürfen in der Mathematik Sätze nur verwendet werden, wenn die entsprechenden Voraussetzungen auch erfüllt sind.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MaxIMP2415
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.01.2020
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Ich fühle mich da irgendwie ganz unsicher.
Wie sieht es z.B. mit
$f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto arcsin(\sqrt{1-x^2}) $ aus?
Wie würde man da die Differenzierbarkeit zeigen oder verneinen.
Als Ableitung würde man kriegen
$$(arcsin(\sqrt{1-x^2}))' = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}*\frac{1}{2}*(-2x)(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}
= -\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)}*|x|}$$ aber die ist ja bei 0, 1 und -1 nicht definiert... ebenso wie die Ableitung von arcsin(x) und $\sqrt{1-x^2}$ an den Stellen -1 und 1.

Wie geht man bei sowas vor?
Vielen Dank




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2505
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-09


2020-04-09 21:29 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie sieht es z.B. mit
$f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto arcsin(\sqrt{1-x^2}) $ aus?

Üblicherweise betrachtet man für die Differenzierbarkeit offene Intervalle, aber das nur so am Rande (welch Wortspiel!).

Überall ausser bei $\{-1,0,1\}$ ist Differenzierbarkeit klar wegen der Komposition diff'barer Funktionen. Dass $f$ in $\{-1,0,1\}$ nicht diff'bar ist, muss man aber separat zeigen, dies folgt nicht daraus, dass eine Teilfunktion der Komposition dort nicht diff'bar ist!

Ein Gegenbeispiel wäre etwa $g(x)=|x|^2$, welche auf ganz $\mathbb{R}$ diff'bar ist, obwohl $|x|$ es in $0$ nicht ist.

Mir ist in dem Zusammenhang selbst eine Frage aufgekommen, die ich hier gestellt habe und für dich vielleicht ebenfalls von Interesse sein könnte.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MaxIMP2415
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.01.2020
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Also ich habe jetzt gelernt, dass die Stetigkeit der Ableitungsfunktion nicht notwendig für die Differnzierbarkeit ist. Danke!
Ist es vllt nowendige Bedingung, dass die Ableitungsfunktion an den Stellen definiert ist? (ich würde sagen Nein, aber ich komme sonst nicht weiter)

Mir ist nämlich immer noch nicht klar, wie ich zeigen kann, dass die Funktion den Stellen -1, 0 und 1 nicht differenzierbar ist:
Darf man denn L'Hopital verwenden, wenn man den Differentialquotienten betrachtet?
$$ \lim\limits_{x \rightarrow -1} \frac{arcsin(\sqrt{1-x^2})-arcsin(\sqrt{1-(-1)^2})}{x-(-1)}$$ $$ =\lim\limits_{x \rightarrow -1} \frac{arcsin(\sqrt{1-x^2})}{x+1} \stackrel{L'Hopital \frac{0}{0}}{=} ? $$ Weil da setzen wir ja dann schon voraus, dass die Funktion differenzierbar ist..?




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2505
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 12:13 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 6 schreibt:
Also ich habe jetzt gelernt, dass die Stetigkeit der Ableitungsfunktion nicht notwendig für die Differnzierbarkeit ist. Danke!
Richtig!

2020-04-10 12:13 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist es vllt nowendige Bedingung, dass die Ableitungsfunktion an den Stellen definiert ist? (ich würde sagen Nein, aber ich komme sonst nicht weiter)
Ich bin mir nicht sicher, was du damit meinst. "Definiertheit" der Ableitungsfunktion an den "Stellen" ist doch dasselbe wie Differenzierbarkeit.

Ich vermute, du meinst, ob du
$$(\arcsin(\sqrt{1-x^2}))' = -\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)}*|x|}$$ an den Stellen $\{-1,0,1\}$ betrachten darfst? Die Antwort ist nein, da diese Ableitungsfunktion nur auf $(-1,0)\cup (0,1)$ gültig ist.

2020-04-10 12:13 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 6 schreibt:
Darf man denn L'Hopital verwenden, wenn man den Differentialquotienten betrachtet?
$$ \lim\limits_{x \rightarrow -1} \frac{arcsin(\sqrt{1-x^2})-arcsin(\sqrt{1-(-1)^2})}{x-(-1)}$$ $$ =\lim\limits_{x \rightarrow -1} \frac{arcsin(\sqrt{1-x^2})}{x+1} \stackrel{L'Hopital \frac{0}{0}}{=} ? $$ Weil da setzen wir ja dann schon voraus, dass die Funktion differenzierbar ist..?
Am saubersten wird wohl sein, eine konkrete Folge zu betrachten und zu zeigen, dass diese nicht konvergiert.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MaxIMP2415 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]