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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Nicht stetig diff'bar => nicht diff'bar?
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Universität/Hochschule Nicht stetig diff'bar => nicht diff'bar?
traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-09


Hallo,

Ich wollte gescheit auf diesen Thread antworten, hab jetzt aber selber eine Frage. Nehmen wir gleich
$$f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \arcsin(\sqrt{1-x^2})\enspace.$$ Wir wollen zeigen, dass diese Funktion in $0$ nicht differenzierbar ist. Jetzt könnte man ja die Ableitungen für die Teilintervalle $(-1,0)$ und $(0,1)$ berechnen und zeigen, dass
$$\lim_{x\nearrow 0}f'(x)\neq\lim_{x\searrow 0}f'(x)\enspace.$$ Meiner Meinung nach zeigt man damit aber nur, dass $f$ in $0$ nicht stetig diff'bar ist.
Wir müssen also direkt zeigen, dass der Differentialquotient
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$ nicht existiert. Hier könnte man nun zeigen, dass
$$\lim_{x\nearrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\neq \lim_{x\searrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\enspace.$$ Nun könnte man doch hier L'Hospital anwenden, was dies wieder auf stetige Diff'barkeit zurückführen würde:
$$\lim_{x\nearrow 0}f'(x)\neq\lim_{x\searrow 0}f'(x)$$
Folgt also aus nicht stetiger Differenzierbarkeit bereits die Nicht-Differenzierbarkeit? Oder funktioniert das hier nur, weil in $0$ wenigstens die einseitigen Grenzwerte von $f'$ existieren?

Oder übersehe ich eine Voraussetzung für L'Hospital?



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-09


Moin, ohne deine Gedanken nachvollzogen zu haben, siehe:




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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Dass aus zweimaliger Differenzierbarkeit die Stetigkeit der ersten Ableitung folgen würde ist mir bekannt, sehe aber nicht, wo dies hier relevant wäre.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-09


2020-04-09 22:23 - traveller im Themenstart schreibt:

Folgt also aus nicht stetiger Differenzierbarkeit bereits die Nicht-Differenzierbarkeit?

Nein.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,

de l'Hospital sagt, dass wenn der Grenzwert $\lim_{ x\to 0} f'(x)$ existiert, dann existiert auch der Grenzwert $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} $ und die beiden Grenzwerte sind gleich. Die Umkehrung gilt aber nicht, man kann also aus der Nichtexistenz des ersten Grenzwertes nicht die Nichtexistenz des zweiten folgern.

In diesem speziellen Fall könnte man aber mit dem Satz von Darboux (= Ableitungen erfüllen den Zwischenwertsatz) argumentieren um zu zeigen, dass $f$ in Null nicht differenzierbar ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


Folgt also aus nicht stetiger Differenzierbarkeit bereits die Nicht-Differenzierbarkeit?
$g(x)=x^2\sin(1/x)$ für $x\not=0$ und $g(0)=0$ ist ein Gegenbeispiel.
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-09


2020-04-09 22:48 - helmetzer in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-04-09 22:23 - traveller im Themenstart schreibt:

Folgt also aus nicht stetiger Differenzierbarkeit bereits die Nicht-Differenzierbarkeit?

Nein.

Hallo, ein Beispiel wäre $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit
\[f(x)=
\begin{cases}
x^{3/2}\sin(\frac 1x), & x\neq 0\\
0,&x=0
\end{cases}.
\] Diese Funktion ist überall differenzierbar, insbesondere gilt
\[f'(0)=\lim_{x\to 0}x^{1/2}\sin(1/x)=0,\] aber für $(x_n)_n$ mit $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ gilt
\[\lim_{n\to \infty}f'(x_n)= \frac{3 x_n \sin(1/x_n) - 2 \cos(1/x_n))}{2 \sqrt{x_n}}=\lim_{n\to \infty}-\sqrt{2n\pi}=-\infty.\] Die Ableitung in $x=0$ ist also nicht stetig.

Edit: Nuramons Beispiel ist schöner :)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-09


2020-04-09 23:07 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Edit: Nuramons Beispiel ist schöner :)
So sehr unterscheiden sich unsere Gegenbeispiele ja auch nicht. Und Helmetzer war sowieso schneller, denn in dem Wikipediaartikel steht das gleiche Gegenbeispiel mit Kosinus statt Sinus.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo traveller,

das wichtigste wurde ja schon alles gesagt. Ich will aber nochmal kurz auf deine Idee eingehen, dass es was mit der Existenz der links-/rechtsseitigen Grenzwerte zu tun hat. Da liegst du nämlich ganz richtig. Ist $f:(a,b)\to\R$ stetig und in jedem Punkt außer $x_0$ differenzierbar, und existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte $\lim_{x\uparrow x_0}f'(x)$ und $\lim_{x\downarrow x_0}f'(x)$, und sind die beiden Grenzwerte gleich, dann folgt mit l'Hospital die stetige Differenzierbarkeit in $x_0$.
Existieren beide Grenzwerte, sind aber verschieden, dann hat Nuramon ja angemerkt, dass l'Hospital nicht anwendbar ist, dass aber trotzdem folgt, dass $f$ in $x_0$ nicht differenzierbar ist.
Existieren die Grenzwerte jedoch nicht, dann lässt sich keine Aussage treffen. Ein Beispiel, bei dem die Grenzwerte nicht existierten aber trotzdem Differenzierbarkeit, aber keine stetige, gegeben ist, wurde ja schon mit der stetigen Fortsetzung von $\x^2\sin(1/x)$ gegeben. Ein umgekehrtes Beispiel, das nicht differenzierbar ist, wäre $\sqrt{\vert x\vert}$. Die Ableitung divergiert für $x\to0$, und dort ist die Funktion auch nicht differenzierbar.

Die Gleichheit des links- und rechtsseitigen Grenzwertes ist also eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-17


Hallo,

Danke für die Antworten und bitte entschuldigt meine späte Reaktion.

Ich glaube, meine Argumentation wurde nicht ganz wie von mir beabsichtigt verstanden: Ich versuche nicht, L'Hospital auf ganz $(-1,1)$ anzuwenden, sondern einzeln auf die auf $(-1,0)$ und $(0,1)$ eingeschränkten Funktionen, wo dies meiner Meinung nach möglich ist.

Mein Überlegungsfehler lag darin, dass ich unter "nicht stetig" lediglich den Fall betrachtet habe, wo die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind, und vergessen habe, dass bereits die einseitigen Grenzwerte nicht existieren müssen.

Ich glaube aber, meine Argumentation hält stand, wenn man folgendes zeigen will: Existieren die beiden einseitigen Grenzwerte und sind sie verschieden, so ist $f$ in $0$ nicht differenzierbar. Was man auch aus dem Satz von Darboux (bzw. dessen Negation) hätte folgern können, wenn dieser zur Verfügung steht.



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