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Analysis » Integration » Riemann-Integrierbarkeit?
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Universität/Hochschule Riemann-Integrierbarkeit?
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-10


Hallo,
Funktionen wie $f(x)=x^{-1/2}$ oder $f(x)=\log x$ divergieren bei $x=0$ sind aber "integrierbar" im Sinne dessen dass $\int_0^1 f(x) < \infty$. Meine Frage zielt darauf ab von welcher "Integrierbarkeit" hier eigentlich gesprochen wird. Riemann Integrierbarkeit würde ja implizieren, dass Ober- und Untersumme existieren. Die Obersumme für die Stützstellen $x_n=k/n$ mit $k=0,1,...,n-1$ existiert aber nicht. Warum spricht man hier trotzdem von integrierbar bzw. wenn dann in welchem Sinne? Reicht es tatsächlich zu argumentieren, dass die Stammfunktion von z.B. $f(x)=x^{-1/2}$ für $x>0$ gegeben ist durch $2x^{1/2}$ und diese bei $x=0$ verschwindet. Irgendwie vermute ich, dass das nicht ausreicht um von einem "integrierbaren" Integranden zu sprechen, oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-10


$\longrightarrow$ Uneigentliches Integral



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

zu deinen Beispielen: wieso divergiert denn die Wurzelfunktion angeblich bei \(x=0\)?

Das war ein Lesefehler, sorry dafür.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Sprich, ich betrachte einfach nur $$\int_\epsilon^1 \frac{{\rm d}x}{x^{1/2}}$$ für $\epsilon>0$. Den Wert kann man ausrechnen und er ist auch entsprechend als Riemann-Integral definiert. Wenn dann der Grenzwert $\epsilon \rightarrow 0$ existiert, dann spricht man weiterhin von Riemann integrierbar?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-04-10 07:19 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

zu deinen Beispielen: wieso divergiert denn die Wurzelfunktion angeblich bei \(x=0\)? 😉


Gruß, Diophant

Es ging mir nicht darum, dass die Wurzelfunktion bei $x=0$ verschwindet. Es ging darum ob solche Integrale Riemann-Integrierbar im klassischen Sinne sind. Sprich Ober- und Untersumme existieren (und stimmen überein).
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 08:24 - digerdiga in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn dann der Grenzwert $\epsilon \rightarrow 0$ existiert, dann spricht man weiterhin von Riemann integrierbar?

Nein, dann spricht man von uneigentlich Riemann-integrierbar.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-04-10 07:19 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
wieso divergiert denn die Wurzelfunktion angeblich bei \(x=0\)? 😉

Es geht um diese Funktion:

2020-04-10 03:22 - digerdiga im Themenstart schreibt:
Funktionen wie $\color{red}{f(x)=x^{-1/2}}$ oder $f(x)=\log x$ divergieren bei $x=0$

Und die divergiert nicht nur angeblich bei $x=0$.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-10


@digerdiga:
Sorry, ich hatte das Minus im Exponenten übersehen. Vergiss meine Antwort also.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-10


Interessante Nebenbemerkung: Es gibt es sogar uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen, welche nicht mal (eigentlich) Lebesgue-integrierbar sind.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 09:04 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-04-10 08:24 - digerdiga in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn dann der Grenzwert $\epsilon \rightarrow 0$ existiert, dann spricht man weiterhin von Riemann integrierbar?

Nein, dann spricht man von uneigentlich Riemann-integrierbar.

Gilt für uneigentlich Riemann integrierbar genauso, dass
$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \int_0^x \frac{{\rm d}t}{t^{1/2}}=x^{-1/2}$$ für alle $x>0$ und im Grenzübergang? Ist also z.B. hier
$$\frac{\int_0^x \frac{{\rm d}t}{t^{1/2}}}{\sqrt{x}}$$ L'Hospital anwendbar? Und wenn ja, warum genau?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 09:51 - traveller in Beitrag No. 8 schreibt:
Interessante Nebenbemerkung: Es gibt es sogar uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen, welche nicht mal (eigentlich) Lebesgue-integrierbar sind.

Wie z.B. $\frac{\sin x}{x}$ ? ;-)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 09:51 - traveller in Beitrag No. 8 schreibt:
Interessante Nebenbemerkung: Es gibt es sogar uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen, welche nicht mal (eigentlich) Lebesgue-integrierbar sind.

Ja, das findest du auch in dem von mir verlinkten Wikipedia-Artikel im Abschnitt Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann- und Lebesgue-Integralen.



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digerdiga
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2020-04-10 09:52 - digerdiga in Beitrag No. 9 schreibt:
2020-04-10 09:04 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-04-10 08:24 - digerdiga in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn dann der Grenzwert $\epsilon \rightarrow 0$ existiert, dann spricht man weiterhin von Riemann integrierbar?

Nein, dann spricht man von uneigentlich Riemann-integrierbar.

Gilt für uneigentlich Riemann integrierbar genauso, dass
$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \int_0^x \frac{{\rm d}t}{t^{1/2}}=x^{-1/2}$$ für alle $x>0$ und im Grenzübergang? Ist also z.B. hier
$$\frac{\int_0^x \frac{{\rm d}t}{t^{1/2}}}{\sqrt{x}}$$ L'Hospital anwendbar? Und wenn ja, warum genau?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]





Ich zitier mich mal selber, nachdem ich mir die Beweise angeschaut habe.
$t^{-1/2}$ ist uneigentlich Riemann-integrierbar auf $[0,x]$. Für alle $x>0$ existiert die Ableitung von $f(x)=\int_0^x \frac{{\rm d}t}{t^{1/2}}$ und ebenso die Ableitung von $g(x)=x^{1/2}$. Es gilt $f(0)=g(0)=0$. Definiert man $$h(t)=f(t)-\frac{f(x)}{g(x)}\,g(t)$$ für alle $t\in [0,x]$, so gilt per Konstruktion $h(0)=h(x)=0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es also ein $t_0\in (0,x)$, so dass $h'(t_0)=0$ bzw. $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(t_0)}{g'(t_0)} \, .$$
Für $x\rightarrow 0$ geht auch $t_0 \rightarrow 0$ und man ist fertig. Entscheidend ist hierbei, dass der Punkt $t_0$ im offenen Intervall $(0,x)$ liegt.



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