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Mathematik » Stochastik und Statistik » Absolutes erstes Moment des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses
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Universität/Hochschule Absolutes erstes Moment des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses
Rentlos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-10


Guten Tag,

betrachten wir einen OU-Prozess X definiert als
\( dX_t = \mu X_t dt + \sigma dW_t\) (ohne Driftterm), dann ist die explizite Form wohlbekannt und lautet

\(
X_t = X_0 e^{-\mu t} + \sigma \int_{0}^{t} e^{\mu(s-t)}dW_s
\).
Da der Erwartungswert des stochastischen Integrals 0 ist (da es von einer Brownian Motion getrieben wird), lautet der Erwartungswert, oder erstes Moment des OU-Prozesses also

\(E[X_t] =X_0 e^{-\mu t} \).

Nun meine Frage: Wie lautet das absolute erste Moment \(E[|X_t|]\)? Der Grund meiner Frage ist natuerlich, dass ich nicht weiss wie man den absoluten Erwartungswert des stochastischen Integrals ausrechnet. Der erste Term ist natuerlich konstant und kann aus dem Erwartungswert herausgenommen werden.

Ueber Tips\Hilfe wie man das stochastische Integral ausrechnet wuerde ich mich sehr freuen. Vielen Dank.



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Rentlos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-11


Kann mir keiner helfen? Mein Gedankengang ist bisher der Folgende, allerdings klappt es damit leider immer noch nicht ganz. Entschuldigt bitte das Englisch, habe bereits auf stackexchange nachgefragt und kopiere daher.

Lets define the OU-process X as
\(
X_t = X_0 e^{-\mu t} + \sigma \int_{0}^{t} e^{\mu(s-t)}dW_s
\) which has the expectation \( E[X_t]  = \mu = X_0 e^{-\mu t}.\) I would like to know \(E[|X_t|] \).

Here is what I have come up so far, but I don't know whether it is the right approach nor does it give me the final result:

Since X_t is the sum of a deterministic term and a stochastic integral w.r.t. a Brownian Motion, we know that X_t is Gaussian. Its expectation is written above, and the variance of the OU-process is well known to be
\(
Var(X_t)  =  \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{2\mu}(1-e^{-2\mu t})
\)
Thus, we could write
\(
E[|X_t|] = \int_{0}^{\infty} 2x \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{ -\frac{x-\mu}{2\sigma^2}}dx
\)
where \(\mu\) and \(\sigma\) are as above.

IF \(\mu = 0\), meaning the mean was 0 then I think we could use the fact that \( Y_t = |X_t| \) is half-Normal () and use the fact that the expectation of a half normal variable is
\(
\frac{\sqrt{2\sigma^2}}{\sqrt{\pi}}
\)
but the problem is that it does have a mean of \(\mu =  X_0 e^{-\mu t}\). If we do the substitution in the integration \(y = x - X_0 e^{-\mu t}\), we will no longer integrate from 0 to \(\infty\), given that our start point \(X_0\) is not null which I wish to be so.

Any ideas on how to proceed? Or is there another obvious way to know \(E[|X_t|]\) that I am not seeing?
Cheers



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Cruiser223
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-15


Hi, ich kann dir leider nicht wirklich mit deiner Aufgabe helfen.
Die absolute Verteilung von stochastischen Prozessen ist wie du siehst sehr schwer zu  Berechnen.
Ich wollte nur fragen ob du vielleicht auch ohne auskommst. Wenn du z.B. einfach nur eine obere Schranke benötigst, kannst du mittels Jensen zeigen dass du mit dem zweiten Moment beschränken kannst. Das zweite Moment ist Einach auszurechen mit Itô's Isometrie.



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