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Lineare Algebra » Eigenwerte » Schur-Faktorisierung
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Universität/Hochschule J Schur-Faktorisierung
UsernameTaken
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-10


Hallo zusammen.

Als Übungsaufgabe sollen wir beweisen, dass es für eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Faktorisierung \( A = Q^T R Q \) gibt, wobei die Matrix \( Q\) orthogonal und \( R \) eine obere Quasidreiecksmatrix ist (d.h. auf der Diagonalen können \( 2 \times 2\) Matritzen auftreten).

Als Vorbereitung dazu soll ein echt komplexer Eigenwert \( \lambda \) mit zugehörigem Eigenvektor \( z \in \mathbb{C}^n \) betrachtet werden. Ferner sollen Real- und Imaginärteil von \( z \)  bzgl. der 2-Norm normiert sein.

Setzt man \( x := Re(z), y := Im(z) \) und \( Q := (x|y) \) so sind \( Q^TQ \) und \( Q^TAQ \) zu bestimmen.
Für \( Q^TQ \) habe ich bisher

\( Q^TQ = \begin{bmatrix} 1 & x^T y \\ x^T y & 1 \end{bmatrix} \) .

Nun ist die Namensgebung sicher nicht willkürlich und man soll wohl irgendwie \( x^T y = 0 \) zeigen. Aber wie ? Mir ist es bislang lediglich geglückt, die lineare Unabhängigkeit von \( x \) und \( y \) zu zeigen.

Für \( Q^T A Q \) ergibt sich (falls \( x^Ty = 0 \) )

\( Q^T A Q =
\begin{bmatrix} Re(\lambda)  & Im(\lambda) \\ -Im(\lambda) & Re(\lambda) \end{bmatrix} \).

Unter Nutzung des obigen, dürfte der Rest des Beweises dann per Induktion gehen, jedoch ist noch unklar, wieso man überhaupt zu einem echt komplexen Eigenwert einen Eigenvektor mit den obigen Eigenschaften finden kann.

Danke im Voraus
UsernameTaken



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-11


Die Orthogonalität von <math>x</math> und <math>y</math> läßt sich durch Multiplikation von <math>z</math> mit einem geeigneten Skalar erreichen.



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UsernameTaken
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-11


Danke hippias für deine Antwort.

Skalieren mit \(a \in \mathbb{C} \) sodass \( |Re(a)| = |Im(a)| \) dürfte klappen.
Normiert man anschließend \( x\) und \(y \) , ist \( x + yi \) zwar i.A. kein Eigenvektor mehr,
aber man erhält \( Q^TAQ = \begin{bmatrix} a & -cb \\ b/c & a \end{bmatrix}\) für geeignetes \( c \neq 0 \).

Ich denke damit komme ich hin.



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