Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Inverse symmetrische Rang-2-Updateformel
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Inverse symmetrische Rang-2-Updateformel
dubidu
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.05.2020
Mitteilungen: 4
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Ich soll beweisen, dass die inverse Update-Formel:

\(B_{n+1} = B_n + \frac{(s_n - B_ny_n)(s_n)^T + s_n(s_n - B_ny_n)^T}{(y_n)^Ts_n} - \frac{(s_n - B_ny_n)^Ty_ns_n(s_n)^T}{((y_n)^Ts_n)^2}\)

tatsächlich die Inverse zu diesem symmetrischen Rang-2-Update:

\(A_{n+1} = A_n - \frac{A_ns_n(A_ns_n)^T}{(s_n)^TA_ns_n} + \frac{y_n(y_n)^T}{(y_n)^Ts_n} \)

ist. D.h. \(B_{n+1}\cdot A_{n+1}\) müsste \(I\) ergeben. Meine Idee war, alle \(B\) durch \(A^{-1}\) zu ersetzen. Das führt einem dann zu diesem Ansatz:

\( \left( A^{-1} + \frac{(s - A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T}{y^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^T}{(y^Ts)^2} \right)\cdot \left( A - \frac{As(As)^T}{s^TAs} + \frac{yy^T}{y^Ts} \right) \)

Stimmt diese Richtung?

Edit: Hab nun mal etwas angefangen mit Rechnen aber komme auf keinen grünen Zweig:

1 mal 2

\( -\frac{A^{-1}As(As)^T}{s^TAs} = -\frac{ss^TA}{s^TAs} = -\frac{s(As)^T}{(As)^Ts} \)

1 mal 3

\( \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} \)

2 mal 1

\( \frac{ \left((s - A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T \right)A }{y^Ts} = \frac{(s - A^{-1}y)s^TA + s(s - A^{-1}y)^TA}{y^Ts} = \frac{(ss^T - A^{-1}ys^T)A + s(s^T - y^TA^{-1})A}{y^Ts} = \frac{2ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T}{y^Ts} = \frac{2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T}{y^Ts} \)

2 mal 2

\( \frac{\left((s - A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T \right)As(As)^T}{y^Tss^TAs} = \frac{\left( ss^T - A^{-1}ys^T + s(s^T - y^TA^{-1})\right)Ass^TA}{y^Tss^TAs} = \frac{ss^TAss^TA - A^{-1}ys^TAss^TA + s(s^T - y^TA^{-1})Ass^TA}{y^Tss^TAs} = \frac{\left(ss^TA + ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T\right) ss^TA}{y^Tss^TAs}
 = \frac{\left( s(As)^T + s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)s(As)^T}{y^Ts(As)^Ts}\)

2 mal 3

\( \frac{\left((s-A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T\right)yy^T}{(y^Ts)^2} = \frac{\left(ss^T - A^{-1}ys^T + ss^T - sy^TA^{-1}\right)yy^T}{(y^Ts)^2} = \frac{ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T + ss^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2} = \frac{2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2} = \frac{2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - s(A^{-1}y)^Tyy^T}{(y^Ts)^2} \)

3 mal 1

\( -\frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^TA}{(y^Ts)^2} = -\frac{(s - A^{-1}y)^Tys(As)^T}{(y^Ts)^2} \)

3 mal 2

\( \frac{(s-A^{-1}y)^Tyss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} = \frac{(s - A^{-1}y)^Tys(As)^Ts(As)^T}{(y^Ts)^2(As)^Ts} \)

3 mal 3

\( \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Ergibt:

\( I -\frac{ss^TA}{s^TAs} + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{2ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T}{y^Ts} - \frac{\left(ss^TA + ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T\right) ss^TA}{y^Tss^TAs} + \frac{2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2} -\frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tyss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Die Terme mit den gleichen Nennern zusammen gefasst:

\( I -\frac{ss^TA}{s^TAs} + \frac{A^{-1}yy^T + 2ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T}{y^Ts} - \frac{\left(ss^TA + ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T\right) ss^TA}{y^Tss^TAs} + \frac{2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tyss^TA + y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tyss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Nenner erweitert:

\( I - \frac{y^Tss(As)^T}{y^Tss^TAs} + \frac{\left( A^{-1}yy^T + 2ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T\right)s^TAs}{y^Tss^TAs} - \frac{\left(ss^TA + ss^TA - A^{-1}ys^TA - sy^T\right) ss^TA}{y^Tss^TAs} + \frac{\left(2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tyss^TA + y^TA^{-1}yss^TA\right)s^TAs}{(y^Ts)^2s^TAs} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tyss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Nochmal kurz das \(s^TA\) vereinheitlicht:

\( I - \frac{y^Tss(As)^T}{y^Ts(As)^Ts} + \frac{\left( A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Ts(As)^Ts} - \frac{\left(s(As)^T + s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right) s(As)^T}{y^Ts(As)^Ts} + \frac{\left(2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tys(As)^T + y^TA^{-1}ys(As)^T\right)(As)^Ts}{(y^Ts)^2(As)^Ts} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tys(As)^Ts(As)^T}{(y^Ts)^2(As)^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Erneut Nenner vereinheitlichen:

\( I - \frac{y^Tss(As)^T}{y^Ts(As)^Ts} + \frac{\left( A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Ts(As)^Ts} - \frac{\left(s(As)^T + s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right) s(As)^T}{y^Ts(As)^Ts} + \frac{\left(2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tys(As)^T + y^TA^{-1}ys(As)^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tys(As)^Ts(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

\( I - \frac{y^Tsy^Tss(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{y^Ts\left(A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{y^Ts\left( s(As)^T + s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)s(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{\left(2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tys(As)^T + y^TA^{-1}ys(As)^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tys(As)^Ts(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Ich hab das Gefühl der Ansatz war falsch weil jetzt kommt nur noch Unsinn:

\( - \frac{y^Tsy^Tss(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{y^Ts\left(A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} = \frac{-(y^Ts)^2s(As)^T + \left(y^TsA^{-1}yy^T + 2y^Tss(As)^T - y^TsA^{-1}y(As)^T - y^Tssy^T\right)(As)^Ts}{(y^Ts)^2(As)^Ts} = \frac{(y^Ts)^2s(As)^T + y^TsA^{-1}yy^T(As)^Ts + 2y^Tss(As)^T(As)^Ts - y^TsA^{-1}y(As)^T(As)^Ts - y^Tssy^T(As)^Ts}{(y^Ts)^2(As)^Ts} \)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3607
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-31


2020-05-24 12:58 - dubidu im Themenstart schreibt:
Erneut Nenner vereinheitlichen:

...

\( I - \frac{y^Tsy^Tss(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{y^Ts\left(A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{y^Ts\left( s(As)^T + s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)s(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{\left(2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tys(As)^T + y^TA^{-1}ys(As)^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tys(As)^Ts(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \)

Ein klein wenig schimmert schon der grüne Zweig hindurch. Betrachte zum Beispiel alle Produkte, in denen \(A^{-1}\) vorkommt. Es sind insgesamt 8 Stück, von denen vier Vorzeichen Plus haben und vier Vorzeichen Minus. Oder alle Produkte, in denen nur einmal \((AS)^T\) vorkommt und sonst nur \(s, s^T, y, y^T\). Das sind 6 Stück, je drei mit Plus und 3 mit Minus, wenn man das eine Produkt mit Faktor 2 doppelt zählt und den letzten Bruch auch noch auf Hauptnenner erweitert.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]