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Mathematik » Finanzmathematik » Martingal als stochastisches Integral bezüglich Brownscher Bewegung
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Universität/Hochschule Martingal als stochastisches Integral bezüglich Brownscher Bewegung
Falc14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-28


Hallo,

in unserer Vorlesung zu Finanzmathematik wurde verwendet, dass
es für ein stetiges Martingal $M(t)$ einen progressiv messbaren Prozess $H(t)$ gibt, sodass $$M(t)=M(0)+\int_{0}^{t}H(s)dB(s)$$ wobei $B(t)$ eine Brownsche Bewegung ist. Begründet wurde das nicht wirklich, und ich frage mich nun wie man das beweisen könnte: Bekannt sind mir:

1) $M(t)= B(<M>_{t})$ wobei $<>$ die quadratische Variation von $M$ ist

2) Das stochastische Integral (Ito-Formel usw.)

3) Die folgende Kettenregel: Sei $F$ integrierbar bezüglich $M(T)$ und sei $L(t)=\int_{0}^{t}F(s)dM(s)$. Sei nun $G$ integrierbar bezüglich $L(t)$. Dann ist $\int_{0}^{t}G(s)F(s)dM(s)=\int_{0}^{t}G(s)dL(s)$

Meine Idee: Wenn ich in 3) $F(t)=(<M>_{t})^{\frac{1}{2}}$ setze und $G(t)=F(t)^{-1}$, so muss ich nur noch zeigen, dass $L(t)=\int_{0}^{t}F(t)dM(t)$ tatsächlich eine Bownsche Bewegung ist. Nach 1) genügt es die quadratische Variation als $t$ nachzuweisen.

Wie aber geht das? Und funktioniert meine Idee?
 



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Martin_Gal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-30


Der Satz, der dort verwendet wurde, ist ein sehr bekanntes und wichtiges Resultat, bekannt als Ito's Martingal-Darstellungssatz. Bewiesen wird er in allen Büchern über stochastische Analysis, z.B. in Oksendal's Stochastic Differential Equations (Satz 4.3.4).
Das Resultat ist eine reines Existenz-Resultat, der Beweis ist nicht konstruktiv. Allerdings gibt es durchaus konstruktive "Varianten" im Malliavin-Kalkül (die Clark-Ocone-Formel). Es ist eher nicht die Art von Satz, den man mal eben selbst beweist. ;)

Die Aussage des Satzes ist: Wenn \((B_t)_t\) eine Brownsche Bewegung ist und \( \mathbb F = (\mathcal F_t )_t \) die von ihr erzeugte augmentierte Filtration ist, so gibt es zu jeder Zufallsvariable \( X \in L^2(\mathcal F_\infty ) \) einen vorhersagbaren \( \mathbb F \)-adaptierten (und insbesondere progressiv messbaren) Prozess \((Y_t)_t \), so dass
\[ E[X \vert \mathcal F_t ] = \int_0^t Y(s)\,dB_s . \]
Das ist eine stärkere Aussage als deine, dass du eine andere Brownsche Bewegung konstruieren kannst, bezüglich derer sich X darstellen lässt.



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