Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Matrizenrechnung » unitäre Matrix
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule unitäre Matrix
RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 89
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-03


Hallo, ich beschäftige mich aktuell mit folgender Aufgabe und habe ein paar Fragen.



zu a)

Ich habe das Produkt aus U und U dagger gebildet und es kam die Einheitsmatrix raus. Daher ist gezeigt, dass die Matrix unitär ist.
Konkret:

\[\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4} } & 1+i \\ 1+i & \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4} }  \\   \end{pmatrix}   \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4} }   & 1-i  \\  1-i & \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4} }     \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1  \\   \end{pmatrix}  \]
Jetzt habe ich die Determinante berechnet:

\[det\begin{pmatrix} \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4} }   & 1-i  \\  1-i & \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4} }     \\ \end{pmatrix} = i\]
Ich habe das aber so verstanden, dass die Determinante einer unitären Matrix 1 ist. Ich habe jetzt einige male nachgerechnet und komme immer auf i.
Habe ich irgendwo einen Fehler oder etwas falsch verstanden?

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1342
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 08:50 - RogerKlotz im Themenstart schreibt:
Ich habe das aber so verstanden, dass die Determinante einer unitären Matrix 1 ist.

Dann hast du die Aufgabe nicht gründlich gelesen. Dort steht, dass die Determinante einer unitären Matrix auf 1 gebracht werden kann, indem man die Matrix mit einem Phasenfaktor multipliziert.

Das bedeutet, dass die Determinate vor dieser Multiplikation auch irgendein Phasenfaktor war, der aber nicht notwendigerweise $=1$ ist.

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 89
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Gut. Meine Frage zielte aber auch mehr darauf ab, ob generell ALLE unitären Matrizen die Determinante 1 besitzen müssen.

Der erste teil der a) wäre dann soweit abgehakt.
Der letzte Teil ist dann das hinzu multiplizieren einer Phase.

Das habe ich dann wie folgt gelöst:

\[det(e^{i \phi}U)= \frac{\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4}}e^{i \phi  } }{2}\frac{\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4}}e^{i \phi  } }{2}-\frac{(1-i)e^{i \phi}(1-i)e^{i \phi}}{4} = e^{2i \phi} (\frac{\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4} }\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4} }   }{4}-\frac{(1-i)(1-i)}{4})= (\cos(2 \phi)+i\sin(2 \phi))i\]
\[\Rightarrow \phi = - \frac{\pi }{4} : det(e^{i \phi}U)=1 \]
Ist dies so korrekt?

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1342
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 13:56 - RogerKlotz in Beitrag No. 2 schreibt:
Gut. Meine Frage zielte aber auch mehr darauf ab, ob generell ALLE unitären Matrizen die Determinante 1 besitzen müssen.

Wie schon gesagt: In der Aufgabe steht explizit drin, dass das nicht so ist.

2020-07-03 13:56 - RogerKlotz in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist dies so korrekt?

In der Aufgabe wird explizit nach allen Lösungen gefragt. (Für eine $2\times2$-Matrix gibt es immer 2.)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 89
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 14:09 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:

2020-07-03 13:56 - RogerKlotz in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist dies so korrekt?

In der Aufgabe wird explizit nach allen Lösungen gefragt. (Für eine $2\times2$-Matrix gibt es immer 2.)


Das ist richtig. Setze ich aber für \(\phi = \frac{\pi}{4}\) ein, erhalte ich ja eine negative Determinante. Da stimmt ja was nicht..
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen 😁

Zur b) habe ich folgendes:

\(det(M) = 1\)  

oder ist hier eine andere Bedingung gemeint?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1342
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 15:54 - RogerKlotz in Beitrag No. 4 schreibt:
Setze ich aber für \(\phi = \frac{\pi}{4}\) ein, erhalte ich ja eine negative Determinante. Da stimmt ja was nicht..

Du hast ausgerechnet $\det U=i$. Wegen $\det(\lambda\,U)=\lambda^2\det U$ sind die beiden Phasenfaktoren also $\pm\sqrt{-i\,},$ und das entspricht $e^{i\phi}$ mit $\phi=-\frac\pi4$ oder $\phi=\frac{3\pi}4$.

2020-07-03 15:54 - RogerKlotz in Beitrag No. 4 schreibt:
oder ist hier eine andere Bedingung gemeint?

Gemeint ist, dass du diese Bedingung direkt mit $c$ und $s$ formulierst. (Wie die Buchstaben schon andeuten, sollten hier irgendwie Cosinus und Sinus ins Spiel kommen.)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
RogerKlotz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 89
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Hallo, das würde dann so aussehen:

\[det\begin{pmatrix} c & s \\ -\overline s & \overline c  \\   \end{pmatrix}  = c\cdot \overline c +\overline s \cdot  s  \]  
Finde ich allerdings etwas nichtssagend. Die Determinante ist eins unter Verwendung der Additionstheoreme ( sollte es sich hier um cos und sin handeln). Allerdings scheinen \(\overline c\) und \(\overline s\) ja komplex konjugierte Ausdrücke zu sein.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1342
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 11:29 - RogerKlotz in Beitrag No. 6 schreibt:
Finde ich allerdings etwas nichtssagend.

Du hast nicht genug Fantasie. Das steht $|s|^2+|c|^2=1$ und daraus folgt erstmal $|s|=\sin\varphi$, $|c|=\cos\varphi$ mit einem Winkel $\varphi$. Außerdem hängen $s$ und $c$ mit $|s|$ bzw. $|c|$ über Phasen zusammen, so dass wir insgesamt $s=e^{i\sigma}\sin\varphi$ und $c=e^{i\gamma}\cos\varphi$ und damit$$ M=\begin{pmatrix}\hphantom-e^{i\gamma}\cos\varphi&e^{i\sigma}\sin\varphi\\
-e^{-i\sigma}\sin\varphi&e^{-i\gamma}\cos\varphi\end{pmatrix}$$haben.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
RogerKlotz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]