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Universität/Hochschule Noetherscher R-Modul
Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-05


Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein $R$ - Modul $M$ heißt noethersch, wenn er folgende äquivalent Bedingungen erfüllt:

a) Jeder Untermodul von $M$ ist endlich erzeugt.
b) Jede aufsteigende Kette von Untermoduln wird stationör.
c) Jede Teilmenge von Untermoduln enthält ein maximales Element.

Zeigen Sie die Äquivalenz der 3 Bedingungen.

Ich versuche die Musterlösung zu dieser Aufgabe zu verstehen.
Ich verstehe fast alles, außer die Richtung $b) \Rightarrow c)$ beim Ringschluss.


Die Richtung geht so:

Sei $T$ eine beliebige Teilmenge von Untermoduln von $M$.
Angenommen $T$ hat kein maximales Element, d.h.: $\forall\; U \in T\; \exists \; V \in T: V \supset U$.
Iterativ bekommen wir daraus eine aufsteigende Kette von Untermoduln, die nicht stationär wird. Widerspruch!

Ich frage mich nun hier erst einmal eine Sache:

Was versteht man in diesem Kontext unter einem maximalen Element ?
Ist ein maximales Element in $T$ ein Untermodul von $M$ in $T$, das jeden anderen Untermodul von $M$ in $T$ enthält ?
Oder etwa nicht ? Gibt es mehrere maximale Elemente ?

Zurück zur Aufgabe:

Ich verstehe die Formulierung $\forall\; U \in T\; \exists \; V \in T: V \supset U$ nicht.
Wieso bedeutet diese Formulierung, dass $T$ kein maximales Element besitzt ?

Nehmen wir an, $T$ besteht aus $5$ Untermoduln von $M$.

Also $T = \{ D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}, D_{5}  \}$ mit $D_{5} \supseteq D_{i}$ für $i = 1,2,3,4,5$
Dann ist $D_{5}$ ein maximales Element von $T$.
Aber auch für $D_{5}$ gibt es ein $V \in T$, so dass $D_{5} \subseteq V$, nämlich $V = D_{5}$.
Für mich sagt also die obige Formulierung überhaupt nichts aus. Aber vielleicht verstehe ich die Lösung auch falsch.

Und wie bekommt man daraus iterativ eine aufsteigende Kette von Untermoduln, die nicht stationär wird ?


Ich hoffe, mich kann jemand aufklären.

Freundliche Grüße,

Felix



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-06


Bei c) fehlt $T \neq \emptyset$ in der Aufgabenstellung (denn $\emptyset$ hat kein maximales Element).

Zur ersten Frage: Ja, genau. Man wendet die allgemeine Definition auf die partielle Ordnung der Untermoduln an (mit $U \leq V \iff U \subseteq V$ per Definition).

Zur zweiten Frage: Mit $\supset$ ist hier echte Inklusion gemeint (die übliche Inklusion wäre dann $\supseteq$).

Die Äquivalenz bekommt man dann einfach durch Umschreiben der Definition:

$T$ hat kein maximales Element
$\iff \forall U \in T$: $U$ ist kein maximales Element
$\iff \forall U \in T ~ \exists V \in U: U < V$
$\iff \forall U \in T ~ \exists V \in U: U  \subset V$

Zur dritten Frage: Sei obige Bedingung erfüllt und wie gesagt $T \neq \emptyset$. Wähle ein $U_0 \in T$. Sind $U_0 < \dotsc < U_n$ in $T$ bereits konstruiert, wähle ein $U_{n+1} \in T$ mit $U_n < U_{n+1}$. Man konstruiert damit also rekursiv eine echt aufsteigende Folge in $T$, die folglich nicht stationär wird. (Genauer gesagt verwendet man hier Dependent Choice).



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Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06


Sehr vielen Dank für deine Antwort🙂👍


2020-08-06 00:17 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:


Zur zweiten Frage: Mit $\supset$ ist hier echte Inklusion gemeint (die übliche Inklusion wäre dann $\supseteq$).

Die Äquivalenz bekommt man dann einfach durch Umschreiben der Definition:

$T$ hat kein maximales Element
$\iff \forall U \in T$: $U$ ist kein maximales Element
$\iff \forall U \in T ~ \exists V \in U: U < V$
$\iff \forall U \in T ~ \exists V \in U: U  \subset V$



Das Problem ist, dass unser Prof. immer $\subset$ oder $\supset$ verwendet. Da kann manchmal die echte Inklusion gemeint sein, manchmal nicht. Sehr verwirrend.

Die Definition scheint Sinn zu machen. Aber ich habe ein Beispiel im Kopf, das mir es schwer macht, die Definition 100%ig zu verstehen.

Nehmen wir an, $T$ besteht aus $5$ Elementen.

Also $T = \{ D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}, E\}$

Nun gelte $D_{i} \subset D_{4}$ für $i = 1, 2, 3, 4$.
Dabei sei $E$ keine Teilmenge von $D_{4}$ und umgekehrt auch nicht.
Dann habe ich kein maximales Element, weil das maximale Element alle Elemente aus $T$ enthalten muss. Aber dann macht für mich die obige Definition wenig Sinn, weil es kein Element in $T$ gibt, das $D_{4}$ oder $E$ echt enthält.

Wo liegt mein Denkfehler?

2020-08-06 00:17 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:


Zur dritten Frage: Sei obige Bedingung erfüllt und wie gesagt $T \neq \emptyset$. Wähle ein $U_0 \in T$. Sind $U_0 < \dotsc < U_n$ in $T$ bereits konstruiert, wähle ein $U_{n+1} \in T$ mit $U_n < U_{n+1}$. Man konstruiert damit also rekursiv eine echt aufsteigende Folge in $T$, die folglich nicht stationär wird. (Genauer gesagt verwendet man hier Dependent Choice).

Das habe ich jetzt verstanden, vielen Dank!😃

Freue mich auf eine Rückmeldung!

Freundliche Grüße,

Felix



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-06


Dein Denkfehler ist, dass du die Definition von "maximales Element" verwechselt hast mit "größtes Element". Bitte schau dir noch einmal den verlinkten Wikipedia-Artikel an.

Beispiel: In der Teilerordnung von $6$ hat $\{1,2,3\}$ zwei maximale Elemente $2,3$, aber kein größtes Element.



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