Wie kann ich von der Endzahl (im Beispiel 27) ausgehend auf die Anzahl der Lücken schließen, die ich je Zeile brauche, so dass das gezeigte Quadrat entsteht?
Also: 6 in 1. Zeile.
5 in 2. Zeile.
...
sofern 27 die Endzahl ist!
Ist wahrscheinlich nicht so schwer, aber ich komme nicht drauf.
Die noch besetzten Zeilen-Endzahlen (0,2,5,9,...) gehorchen der Folge n·(n+3)/2.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Wichtig ist ja nur, von 27 nach 6 zu kommen, von 20 nach 5, von 35 nach 7 etc.
Das geht mit $k \mapsto \min \{n \mid n(n+3)/2 \geq k\}$.
Da für natürliche $n$, $n(n+3)/2$ monoton wächst, kann man die Funktion auch schnell per Bisektion auswerten. Ansonsten ist es eben irgendein Ausdruck mit $\sqrt ?$ und ggf. Rundungen.
Z.B. $n = \sqrt{2k+2{,}25}-1{,}5$ o.ä.\(\endgroup\)
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Deine Frage richtig verstanden habe, aber eigentlich hast Du sie ja fast schon beantwortet.
Gegeben sei die Endzahl \(k\in\mathbb{N}_0\). Dann suchst Du das eindeutige (sofern es existiert) \(n\in\mathbb{N}_0\) mit \(k=\frac{n(n+3)}{2}\). Das Quadrat hat dann \(n+1\) Zeilen bzw. Spalten.
In der \(j\)-ten Zeile (\(j\in\{1,\ldots,n+1\}\)) gibt es dann \(n+1-j\) Lücken.
Die Anzahl der treppenbildenden Elemente gehorcht der Folge
$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,\dots = \frac{n(n+1)}{2}$.
Ist $N= \frac{n(n+1)}{2}$ diese Anzahl, so hat das quadratische Gesamtschema einschließlich Lücken $n=\frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}$ Zeilen bzw. Spalten, als positive Lösung der quadratischen Gleichung.
Also haben die Zeilen, beginnend mit der 1. Zeile, die mit $1,2,3,\dots,n$ Elementen befüllt sind, der Reihe nach
$n-1, n-2,\dots, n-n$
Lücken.
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Themenstart: 2020-09-17
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