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Funktionentheorie » Holomorphie » Ein Problem der komplexen Differenzierbarkeit
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Beruf Ein Problem der komplexen Differenzierbarkeit
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-20


Hallo Zusammen,¨

Sei $\Omega \in \mathbb{C}$ zusammenhängend und nicht leer.

1. Sei $\lambda \in \mathbb{C}$\ $\Omega $ Angenommen es existiert $k\in H(\Omega)$ sodass $k(z)^2=\frac{1}{\lambda-z}$ für alle $z\in \Omega$
Zeige dass $k'=\frac{2}{2(\lambda-z)}$


Hier verhält sich die Ableitung im komplexen anders als gewohnt.
Leider weiss ich nicht wie und wäre froh um einen Tipp



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-20


Hallo,

du kannst ganz normal ableiten:
\[
\frac{d}{dz}(k(z)^2)=2k(z)k'(z)=\frac{d}{dz}\big((\lambda-z)^{-1}\big)
\]
Hast du dich vertippt?



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-20


Hallo Ochen,


Schon möglich, dass mir jetzt der Kopf ein wenig raucht.

Ausgehend von $k^2=\frac{1}{\lambda-z}$

folgt durch ableiten:

$2k\cdot k'=\frac{-1}{(\lambda-z)^2}$ und

$k'=\frac{-1}{2k(\lambda-z)^2}$

Und was mache ich nun mit $k$? Wenn ich $k=\frac{1}{\sqrt{\lambda-z}}$
setze, dann erhalte ich nicht das gesuchte Resultat.

Dasselbe passiert wenn ich sogleich sage:
$k=\frac{1}{\sqrt{\lambda-z}}$.
Nach z ableiten ergibt:

$k'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{\lambda-z}}}{\lambda-z}$


Irgendetwas habe ich falsch verstanden. Auch ist mir unklar ob man von $k^2=\frac{1}{\lambda-z}$ einfach auf $k=\frac{1}{\sqrt{\lambda-z}}$ schliessen kann.
Es ist mir bekannt dass man bei den Wurzeln von komplexen Zahlen einiges beachten muss. Ich bin damit nicht so vertraut.
Aber es verbirgt sich ja was dahinter dass der Aufgabensteller $k^2$ anstatt $k$ angibt



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