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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Drehimpuls von Teilchen auf Möbiusband
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Universität/Hochschule Drehimpuls von Teilchen auf Möbiusband
Physics Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-10-27

Hallo,

wenn man ein Teilchen unter Möbiusband Randbedingungen betrachtet dann ist der Drehimpuls nicht erhalten oder? Ist dies gegeben durch die Tatsache dass sich der Drehimpuls hier in seiner Richtung ändert? Unter Zylinder Randbedingungen ist ja beispielsweise Drehimpuls Erhaltung gegeben.

VG
Physics




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lula Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 17.12.2007, Mitteilungen: 11186, aus: Sankt Augustin NRW
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

Hallo
 was soll denn Drehimpuls unter Möbius oder Zylinderrandbedingung sein?
lul


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Vercassivelaunos Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-28

Hallo Physics,

das Möbiusband ist eine nicht orientierbare Mannigfaltigkeit. Das heißt, es gibt keine konsistente Möglichkeit, an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine Orientierung einer Menge von Tangentialvektoren zu definieren. Der Drehimpuls ist als Kreuzprodukt (oder in der Situation von Mannigfaltigkeiten als Dachprodukt) zweier Vektoren jedoch explizit von deren Orientierung abhängig. Ich würde deshalb nicht nur die Drehimpulserhaltung in Frage stellen, sondern sogar einen Schritt früher ansetzen und vermuten, dass es auf einem Möbiusband gar keinen sinnvoll definierten Drehimpuls geben kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos



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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 24.10.2018, Mitteilungen: 1674
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-28
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2020-10-28 09:48 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
und vermuten, dass es auf einem Möbiusband gar keinen sinnvoll definierten Drehimpuls geben kann.

Die fehlende Orientierbarkeit verhindert eine Identifiation von $\Lambda^2$ mit $\Lambda^0=\mathbb R$ (in einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit ist der übliche Drehimpuls ein Pseudoskalar), aber man kann ja in $\Lambda^2$ bleiben und den Drehimpuls als antisymmetrische $2\times2$-Matrix definieren: $L_{ij}=x_i\,p_j-x_j\,p_i$

Mir scheint dieser Drehimpuls aber genauso wenig erhalten zu sein wie der auf einem Zylinder.
\(\endgroup\)


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Physics Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Danke für eure Beiträge. Dann versuch ich mein Glück mit der antisymmetrischen Matrix. Kannst du elaborieren wieso ich diese verwenden darf?

Kann ich um zu zeigen dass keine Drehimpuls-Erhaltung vorliegt ebenso mit der antisymmetrischen Matrix arbeiten oder wie gehe ich da vor?

VG
Physics



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moep Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-28

Um die Anfangsfrage adaequat zu beantworten, sollten wir zunaechst wissen, was ueberhaupt mit "Drehimpuls" im Anfangsbeitrag gemeint ist. Der Witz an der Sache ist, dass je nach Ausgangspunkt die Antwort ja oder nein lauten kann. Anders gesagt: Es haengt davon ab, was du verallgemeinern willst, das im 3-dim. euklidischen Fall zu dem Konzept, das du als Drehimpuls bezeichnest, reduziert.

Wenn man Drehimpuls als Charakterisierung von globalen Schnitten der Mannigfaltigkeit sieht, die unter der lokalen Rotationsgruppe in irreduziblen Darstellungen transformieren (das ist nichts anderes als die klassische Variante vom quantenmechanischen Spin), dann gibt es durchaus eine Verallgemeinerung von Drehimpuls auf nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten. Hier reden wir eben nicht mehr von SO(n) Darstellungen, sondern nur noch von O(n) Darstellungen. Im konkreten Fall des Moebius-Streifens geht es also um die Darstellungstheorie von O(2) im Vergleich zu der von SO(2). Und diese ist recht einfach, und entspricht mehr oder weniger der Intuition: eine Darstellung von O(2) ist quasi eine Darstellung von SO(2), wobei das Vorzeichen keine Rolle spielt. Mit anderen Worten: der Betrag des "ueblichen" (lokalen) Drehimpulses ist erhalten, aber nicht die Richtung; das hast du ja bereits im ersten Post erwaehnt.

Gruss,
moep



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Physics Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 29.04.2018, Mitteilungen: 394
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Abend moep,

also ich habe die Stationäre Schrödinger-Gleichung unter Möbiusband Randbedingungen gelöst auf der x-y-Ebene auf dem Gebiet [0,L]x[0,L], sprich \(\Psi(x,y)=\Psi(x+L, -y)\). Dadurch kam es dann zu Quantisierungen der Wellenzahlen. Nun würde ich gerne mit den bereits gefundenen Wellenfunktionen Drehimpuls sowie Impulserwartungswerte berechnen und zusätzlich zeigen ob Drehimpuls/Impulserhaltung auf dem Möbiusband gilt. Mir ist nicht ganz klar wie ich den Erwartungswert des Drehimpuls es berechnen soll wenn hier im Prinzip ja ein zweidimensionales Problem vorliegt. Speziell verstehe ich nicht mal wieso es hier überhaupt sinnvoll ist von einem Drehimpuls zu reden.

VG
Physics



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moep Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 21.06.2006, Mitteilungen: 1729, aus: karlsruhe
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-29

Okay, wenn die Aufgabe so gestellt ist, wird hoechstwahrscheinlich erwartet, dass du einfach den Drehimpulsoperator $\mathbf{L} = \vec{x} \times \vec{p}$, wie ihr den sonst definiert habt, benutzt. In 2 Dimensionen wuerde man auf dem Level vermutlich $\mathbf{L} = \epsilon_{ij} \vec{x}_i \vec{p}_j$ benutzen, was mehr oder weniger dem entspricht was zippy geschrieben hat. Ich hab die Rechnung jetzt nicht gemacht, aber ich geh stark davon aus, dass diese Groesse eben nicht erhalten ist, sondern nur der Betrag.



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