| |
| Autor |
 \int(|f|^p,μ,X) < ∞ <-> Σ(a^n μ({ x∈ X: a^n ≤|f|^p < a^(n+1)}), n=-∞,∞) |
|
ILoveMath3
Aktiv 
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 89
 |
Hallo,
  
\ Sei f:X->\IC eine messbare Funktion und (X,A,\mu) ein Maßraum. Ich soll folgende Äquivalenz zeigen: \int(abs(f)^p,\mu,X) < \inf <-> \sum(a^n \mu({ x\in X: a^n <= abs(f)^p < a^(n+1)}), n=-\inf,n=\inf) < \inf
Ich weiß nicht mal, wie man hier beginnen soll.. daher suche ich nach Hilfe.
Edit: a>1 :)
Grüße
|
 Notiz  Profil
 Quote
 Link |
sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 278
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24
|
Hallo ILoveMath3,
also den Titel "\int(|f|^p,μ,X) < ∞ <-> Σ(a^n μ({ x∈ X: a^n ≤|f|^p < a^(n+1)}), n=-∞,∞)" finde ich ausbaufähig ;D
Ich gehe mal davon aus, dass \(a>0\) und \(a\neq1\) ist?
Was Dir helfen könnte wäre wohl die simple Gleichung \(\mu(A)=\int_X\chi_A\,d\mu\) für eine messbare Menge \(A\subseteq X\). Ich denke Du erhältst dann
\[\frac{1}{a}\int_X|f|^p\,d\mu\leq\sum_{n=-\infty}^\infty a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})\leq\int_X|f|^p\,d\mu,\]
wobei noch zu beachten ist, dass die Mengen \(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}\) mit \(n\in\mathbb{Z}\) eine Partition von \(\{|f|^p>0\}\) bilden.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
ILoveMath3
Aktiv
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24
|
Notiz Profil
Quote
Link |
sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 278
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24
|
Partition heißt, dass \(\cup_{n\in\mathbb{Z}}\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}=\{x\in X\,|\,|f(x)|^p>0\}\), wobei die Vereinigung disjunkt ist. Das liegt daran, dass die Folge \(a^n\) streng monoton wachsend ist (wenn \(a>1\)) mit \(a^n\to\infty\) für \(n\to\infty\) und \(a^n\to0\) wenn \(n\to-\infty\).
Es gilt
\[a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})=\int_Xa^n\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu\leq\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu.\]
Dann musst du Die Reihe bilden.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
ILoveMath3
Aktiv
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
|
Notiz Profil
Quote
Link |
sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 278
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25
|
Es gilt \(a^n\chi_{\{a^n\leq|f|^p<a^{n+1}\}}(x)\leq|f(x)|^p\chi_{\{a^n\leq|f|^p<a^{n+1}\}}(x)\) für alle \(x\in X\): Wenn \(a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\) nicht erfüllt ist, dann steht dort \(a^n\cdot0\leq|f(x)|^p\cdot0\), was sicherlich wahr ist. Wenn hingegen \(a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\) erfüllt ist, steht dort \(a^n\cdot1\leq|f(x)|^p\cdot1\), was in diesem Fall ja ebenfalls wahr ist. Die Indikatorfunktion blendet quasi alles aus, was nicht in der Menge liegt und Du kannst die Ungleichungen verwenden, die auf dieser Menge gelten.
Du willst ja zeigen, dass \(\int_X|f|^p\,d\mu\) genau dann endlich ist, wenn \(\sum_{n=-\infty}^\infty a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})\) endlich ist. Sobald Du die Ungleichungen
\[\frac{1}{a}\int_X|f|^p\,d\mu\leq\sum_{n=-\infty}^\infty a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})\leq\int_X|f|^p\,d\mu,\]
gezeigt hast, folgt die Aussage eigentlich unmittelbar. "\(\Rightarrow\)" folgt aus der zweiten Ungleichung, "\(\Leftarrow\)" folgt aus der ersten Ungleichung. Mein letzter Beitrag bezog sich auf den Beweis der zweiten Ungleichung, also auf "\(\Rightarrow\)".
|
Notiz Profil
Quote
Link |
ILoveMath3
Aktiv
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
|
\ Das tut schonmal meine Verwirrungen gut auflösen :) Es soll also sum(\int(abs(f)^p 1_({x\in X: a^n <= abs(f)^p < a^(n+1) }),\mu,X),n=-\inf, n=\inf) = \int(abs(f)^p,\mu,X) ergeben, richtig? Leider wüsste ich nicht, wie ich diesen Schritt begründen kann. Die Summe kann ich z.B. nicht einfach reinziehen
Schöne Grüße
|
Notiz Profil
Quote
Link |
sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 278
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25
|
Notiz Profil
Quote
Link |
ILoveMath3
Aktiv
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
|
Okay, allerdings gilt diese Vertauschung nur für Summen über die natürlichen Zahlen - daher könnte ich ohne Weiteres das nicht machen. Aber anscheinend muss das trotzdem gelten - wieso?
|
Notiz Profil
Quote
Link |
sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 278
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25
|
Die Frage ist, wie ihr einen Ausdruck der Form \(\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\) mit \(a_n\in[0,\infty]\) definiert habt. Wenn dies einfach \(\sum_{n=0}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty a_{-n}\) bedeuten soll, dann folgt direkt
$$
\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^\infty\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu & =\sum_{n=0}^\infty\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu+\sum_{n=1}^\infty\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^{-n}\leq|f(x)|^p<a^{-n+1}\}}\,d\mu\\
&=\int_X\sum_{n=0}^\infty|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu+\int_X\sum_{n=1}^\infty|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^{-n}\leq|f(x)|^p<a^{-n+1}\}}\,d\mu\\
&=\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,1\leq|f(x)|^p\}}\,d\mu+\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,0<|f(x)|^p<1\}}\,d\mu\\
&=\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,0<|f(x)|^p\}}\,d\mu\\
&=\int_X|f|^p\,d\mu.
\end{align*}\\
$$
Hier haben wir nur ganz normale Reihen mit dem Integral vertauscht.
Ansonsten könnte man wohl auch \(\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}\) mit einer Bijektion \(\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Z}\) betrachten, was wohl auf das selbe hinauslaufen würde.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
ILoveMath3
Aktiv
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
|
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
