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Funktionentheorie » Holomorphie » Nicht isolierte Singularitäten
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Universität/Hochschule J Nicht isolierte Singularitäten
Aralian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-03


Hallo,
wir haben gerade in Mathe das Thema (isolierte) Singularitäten.
In unserem Skript steht, dass isolierte Singularitäten entweder hebbar, Polstelle oder wesentlich sind. Was eine isolierte Singularität ist, habe ich denke ich auch soweit verstanden, jedoch jetzt meine Frage:

Wir sollen in einer Aufgabe Singularitäten finden und klassifizieren und prüfen, ob es sich um eine isolierte Singularität handelt.
Wenn es sich bei der Singularität allerdings um eine hebbare/Polstelle/wesentliche Singularität handelt muss sie doch auch gleichzeitig isoliert sein, oder?
Wie bestimme ich dann, ob eine Singularität nicht isoliert ist? Wenn sie weder hebbar/Polstelle/wesentlich ist?

Wir haben auch besprochen, dass Verzweigungspunkte keine isolierte Singularität darstellen.

Beispiel:

fed-Code einblenden

hier handelt es sich bei z=(+/-) 2i um Polstellen 2. Ordnung und damit sind die beiden Singularitäten isoliert.
Was müsste passieren, damit eine Singularität nicht isoliert ist?



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03


Schau hier mal rein:



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Aralian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


Das heißt also:

Ich zeige, dass die Singularität hebbar/Pol/wesentlich ist:
-> es handelt sich um eine isolierte Singularität

Singularität ist ein Verzweigungspunkt:
-> Es handelt sich um eine nicht isolierte Singularität

damit sind alle möglichen Fälle abgedeckt?



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03


wenn du die Singularität bei Unendlich mit einschließt (Fall 5) , hast du  im Prinzip alle Möglichkeiten abgedeckt. Ich finde den Auszug der in dem englischen Beitrag sehr gut, da dort für jede der 5 Möglichkeiten Beispiele angeführt sind.

Gruß Dietmar



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
So wie ich es bei flüchtigem Lesen sehe, geht es nur um isolierte Singularitäten.

Wenn eine Singularität Häufungspunkt von Singularitäten ist, ist sie nicht isoliert, z.B. Null bei \( \D \frac{1}{\sin \frac{1}{z}}\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Aralian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Danke, das hat mir sehr weitergeholfen.
Eine letzte Frage hätte ich allerdings noch.

Wir haben ja gesagt, dass alle hebbaren Singularitäten isoliert sind.
Wie sieht es mit hebbaren Singularitäten im unendlichen aus?

Beispiel:

fed-Code einblenden

Diese Funktion hat ja 2 Polstellen vom Grad 2 in (+/-) 2i sowie wegen:

f(1/z) = fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

und fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

eine hebbare Singularität im unendlichen.

Allerdings häufen sich die Singularitäten im unendlichen meiner Meinung nach doch, oder?
Kann man daher sagen, dass alle Singularitäten im unendlichen nicht isoliert sind, oder macht die Aussage: hebbare Singularität im unendlichen keinen Sinn und man würde sie einfach nur als: Singularität im unendlichen bezeichnen?

Außerdem:
Eine Singularität ist wesentlich, wenn sie weder hebbar noch Polstelle ist.
d.h. ja dann eigentlich, dass alle Singularitäten die keine Verzweigungspunkte sind, isoliert sind, oder?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Singularitäten können sich nicht häufen, da es nur drei Stück sind.

Singularitäten, die sich im Unendlichen häufen  sind z.B. die von \(\D \frac{1}{\sin x}\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Aralian hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Aralian hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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