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| Autor |
 nichtabelsche Gruppe beweisen |
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NameWarVergeben
Aktiv 
Dabei seit: 17.05.2020
Mitteilungen: 38
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Hallo,
ich sitze an folgender Aufgabe und hätte eine Nachfrage:
  
\ Auf der Menge \IZ definieren wie die Verknüpfung * durch a*b cases(a+b,2 teilt a;a-b,2 teilt nicht a) Zeigen Sie: G= (\IZ,*) ist eine nicht abelsche Gruppe. Muss ich jetzt einfach alle Axiome (ohne Kommutativität) für die Fälle 2 teilt a und 2 teilt nicht a durchgehen und bei der Kommutativität einen Widerspruch finden oder wie ist das gedacht? Beispiel: Assoziativität (Fall 2 teilt a): a*(b*c)= a+(b*c) Fallunterscheidung (2 teilt b): a+(b+c)=(a+b)+c=(a*b)*c Fallunterscheidung (2 teilt nicht b): a+(b-c)=a+b-c=(a+b)-c Und das gleiche für Fall 2 teilt nicht a. Wäre das so richtig? MfG
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5771
Herkunft: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03
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Hallo,
ja, das wird man so machen müssen. Die Hälfte hast du ja in Sachen Assoziativgesetz schon geschafft.
Das neutrale Element ist schnell gefunden, beim Inversen wird nochmal eine Fallunterscheidung notwendig sein.
Für die Tatsache, dass die Gruppe nichtabelsch ist, könntest du dann noch ein einfaches (Gegen-)Beispiel anführen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]
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NameWarVergeben
Aktiv
Dabei seit: 17.05.2020
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Hallo,
danke für die Antwort. War mir beim Vorgehen nicht ganz sicher.
Habe jetzt alle bis auf das inverse Element.
An sich bedeutet, dass doch das -a das inverse Element ist wenn 2 a teilt und a wenn 2 a nicht teilt (sprich Selbstinvers).
Gibt es dabei einen Weg, dass zu beweisen oder muss ich, dass nur einmal vorzeigen sprich:
(2 teilt a):
a*(-a)=a+(-a)=a-a=0
(2 teilt nicht a):
a*(a)=a-a=0
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5771
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03
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Hallo,
2020-12-03 12:13 - NameWarVergeben in Beitrag No. 2 schreibt:
danke für die Antwort. War mir beim Vorgehen nicht ganz sicher.
Habe jetzt alle bis auf das inverse Element.
An sich bedeutet, dass doch -a ist das inverse Element wenn 2 a teilt und a wenn 2 a nicht teilt (sprich Selbstinvers).
Genau.
2020-12-03 12:13 - NameWarVergeben in Beitrag No. 2 schreibt:
Gibt es dabei einen Weg, dass zu beweisen oder muss ich, dass nur einmal vorzeigen sprich:
(2 teilt a):
a*(-a)=a+(-a)=a-a=0
Ich würde es etwas anders aufziehen, denn es sollte ja schon klar werden, dass das inverse Element jeweils eindeutig bestimmt ist. Gib dem Inversen einmal einen Namen und rechne zur Sicherheit auch für beide Fälle nach, dass insbesondere Links- und Rechtsinverses gleich sind. Oder begründe das noch geeignet.
Gruß, Diophant
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Link | | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2517
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
es gilt $a*b = a+(-1)^ab$. Damit kannst du z.B. das Assoziativgesetz ohne Fallunterscheidungen beweisen.
Die Verknüpfung erinnert mich an die Definition eines semidirekten Produktes, aber ich schaffe es gerade nicht den Zusammenhang herzustellen. Vielleicht gibt es so noch einen abstrakteren Weg zu begründen, dass hier eine Gruppe vorliegt (vorausgesetzt natürlich, man kennt semidirekte Produkte). Vermutlich ist $G$ isomorph zur Untergruppe $\{(a,b)\in \IZ\rtimes_\theta \IZ/2 \mid a \equiv b \pmod 2\}$ von $\IZ\rtimes_\theta \IZ/2$, wobei $\theta: \IZ/2 \to \operatorname{Aut}(\IZ), x \mapsto (n\mapsto (-1)^xn)$.\(\endgroup\)
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5330
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-06
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Ich wollte sowas wie Nuramon schreiben. Hier eine Verallgemeinerung:
Sei $G = (|G|,\cdot)$ eine Gruppe. Sei $\varphi : G \to \mathrm{Aut}(G)$ ein Homomorphismus mit der (seltsamen) Eigenschaft
$(1) \qquad \varphi(\varphi(a)(b)) = \varphi(b)$
für alle $a,b \in |G|$. In der Aufgabe hier ist $G=(\IZ,+)$ mit $\varphi(a)(b) = (-1)^a b$.
Definiere auf $|G|$ die Verknüpfung $\ast$ durch
$a \ast b := a \cdot \varphi(a)(b).$
Dann ist $(|G|,\ast)$ eine Gruppe. Das rechnet man stur nach, jeder Schritt ist erzwungen, und tatsächlich ist $(1)$ äquivalent zur Assoziativität von $\ast$.
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