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Universität/Hochschule J Grenzwertsätze limes superior und inferior
sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-03


Hallo zusammen,

ich suche ein Beispiel dafür, dass die Grenzwertsätze nicht für limes sup und limes inf gelten.

Also meine Idee war es als an=(-1)^n zu wählen, aber bei meinen bisherigen Versuchen stimmte lim sup (an*bn) = lim sup (an) * lim sup (bn) immer überein. Gleiches gilt für die Addition.
Vielen Dank für eure Hilfe!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

$a_n=(-1)^n$ ist schon mal eine gute Wahl. Welche $b_n$ hast du denn bisher ausprobiert?
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Ok, als bn habe ich (-1)^n, (-1)^n+1, 1/(-1)^n ausprobiert..



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


lim sup (-1)^n=1
lim inf (-1)^n=-1
limsup (-1)^n*(-1)^n=limsup (-1)^2n = 1
limsup (-1)^n*(-1)^n=limsup (-1)^2n = -1

Oder habe ich hier einen Fehler eingebaut?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Nein, da ist kein Fehler. Von den letzen beiden Zeilen ist nur eine richtig.

Die Folgen, die du bisher betrachtet hast, haben alle die Eigenschaft, dass die Teilfolgen $a_{2n}$ bzw. $b_{2n}$ gegen $\limsup a_n$ bzw. $\limsup b_n$ konvergieren. Außerdem konvergieren $a_{2n+1}$, $b_{2n+1}$ jeweils gegen $\liminf a_n$ bzw. $\liminf b_n$. Schließlich gilt auch noch $\liminf a_n \cdot \liminf b_n \leq \limsup a_n \cdot \limsup b_n$.

Suche nach Folgen $b_n$, die nicht alle diese Eigenschaften haben.
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Ah danke, in der letzten Zeile muss es der liminf sein.

Komme ich mit einer konvergenten Folge weiter?
z.B.
limsup 1/n = lininf 1/n = 0




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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Ich habe etwas herumprobiert und mit -an eine passende Folge gefunden



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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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