Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 19.01.2021 03:08 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz einer Folge zeigen		Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Konvergenz einer Folge zeigen
elbantar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.11.2020
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-03


Hallo Liebe Community,

ich habe folgendes Problem. Ich soll die Folge \(c_n=\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n\), mit \(\alpha ,\beta\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}\) auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen.

Ich weiß, dass die Folge gegen \(\frac{\alpha}{2}\) konvergiert. Aber wie zeige ich das??
Ich dachte daran, vielleicht die Definition von Konvergenz anzuwenden und den Betrag, \(|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\) nach oben hin abzuschätzen.

Dann würde ja gelten:
\(|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\leqslant |\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}|\leqslant |n^2+\alpha n+\beta|<\epsilon\)
und da nun alles im Betrag positiv ist, kann ich die Betragsstriche auch weg lassen, aber was nun?

Vielen Dank für eure Unterstützung!

Wahlurne Für elbantar bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2504
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

bei Differenzen von Wurzeln hilft häufig der Trick $\sqrt a - \sqrt b = \frac {a-b}{\sqrt a + \sqrt b}$ weiter.\(\endgroup\)

Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbantar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.11.2020
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-12-03 23:34 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

bei Differenzen von Wurzeln hilft häufig der Trick $\sqrt a - \sqrt b = \frac {a-b}{\sqrt a + \sqrt b}$ weiter.

Aber in dem Fall habe ich ja gar keine Differenz von Wurzeln, oder habe ich da etwas übersehen?

Aber mir ist aufgefallen, ich brauche doch eine Fallunterscheidung für Alpha und Beta oder? Sie können ja entweder beide gleich 0, größer 0 oder je einer gleich 0 sein. Allerdings erschließt sich mir das Vorgehen vom Epsilon Kriterium absolut nicht. :(\(\endgroup\)

Wahlurne Für elbantar bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2504
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Kannst du $c_n$ als Differenz zweier Wurzeln schreiben?

Dein bisheriger Ansatz wird nicht funktionieren, da die Abschätzung $|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\leqslant |\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}|$ viel zu grob ist: Die rechte Seite ist unbeschränkt.\(\endgroup\)

Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbantar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.11.2020
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-12-03 23:42 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Kannst du $c_n$ als Differenz zweier Wurzeln schreiben?

Dein bisheriger Ansatz wird nicht funktionieren, da die Abschätzung $|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\leqslant |\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}|$ viel zu grob ist: Die rechte Seite ist unbeschränkt.

Ohne die Folge an sich zu verändern könnte man ja schreiben:

\(c_n=\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-\sqrt{n^2}\), da \(\sqrt{n^2}=n\)

Dann kann ich es mal mit deinem Tipp versuchen.\(\endgroup\)

Wahlurne Für elbantar bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2504
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-03


Ja, so habe ich das gemeint.

Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbantar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elbantar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
elbantar wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]