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Universität/Hochschule J Mächtigkeit alternierende Gruppe
Mathler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-25


Hallo Matheplanet, ich soll die Mächtigkeit der alternierende Gruppe bestimmen.

Nun hatte ich folgende Idee:
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Danke für eure Hilfe/Rückmeldung!



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OmmO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25


Hallo,
wenn die Mächtigkeit der symmetrischen Gruppe bekannt ist, dann geht es schneller mit dem Homomorphiesatz.
Ansonsten sehe ich keine Probleme bei deiner Argumentation.
Lediglich der Fall n=1 wird nicht behandelt.
Viele Grüße OmmO



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-26


Hi Mathler,
nach der Mächtigkeit der alternierenden Gruppe wurde schon hier gefragt.
Gruß Buri



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Mathler
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Hallo OmmO, hallo Buri
der Beweis den du/ihr meint ist mir bekannt, also das:
Homorphiesatz => es gibt bijektion zwischen Faktorgruppe Sn/An und ran(sgn)
mit Satz von Lagrange folgt Behauptung mit umformen.

Was mir hier jedoch noch nicht so ganz klar ist, ist:
Sn/An ist eine Faktorgruppe doch warum ist |Sn/An|=|Sn|/|An|, der Satz von Lagrange den wir bewiesen haben sagt nur aus das |An| Teiler von |Sn| ist.
Also wie ist der Zusammenhang der Mächtigkeit der Faktorgruppe Sn/An mit |Sn| bzw. |An|?


Gruß Mathias



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-26


$|G/U| |U| = |G|$ gilt weil jede Nebenklasse $|U|$ Elemente hat und sie eine Partition von (der Trägermenge von) $G$ sind.



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Mathler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Hallo Triceratops,
sorry aber ich versteh es noch immer nicht ganz, hier meine Überlegungen:

G/U ist die Faktorgruppe also die Menge aller Nebenklassen von U in G
alle Nebenklassen haben gleich viele Elemente => \(\forall V \in G\): |V|=|U|
Diese Nebenklassen sind Partitionen sprich haben zu anderen Nebenklassen leeren schnitt, somit zähle alle Nebenklassen von U in G also |G/U| und multipliziere diese mit |U| da ja alle Nebenklassen gleich viele Elemente haben sprich: |G/U||U| nun ist die Vereinigung aller dieser Nebenklassen G und somit gilt |G/U||U|=|G|



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-26


Ja, fast. Du hast einmal $G$ geschrieben, wo es $G/U$ sein sollte. Außerdem beinhaltet der Begriff der Partition nicht nur paarweise leeren Schnitt. Außerdem ist hier $U$ lediglich eine Untergruppen, also $G/U$ ist a priori keine Gruppe. Das braucht man hier aber auch gar nicht.
 
So kann man den Beweis auch aufschreiben:

Aus $G  = \coprod_{X \in G/U} X$ und $|X| = |U|$ für alle $X \in G/U$ folgt

$|G| = \sum_{X \in G/U}  |X| = \sum_{X \in G/U} |U| = |G/U| \cdot |U|.$



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