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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz einer Reihe, verknüpft mit einer Polynomfunktion
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Universität/Hochschule J Konvergenz einer Reihe, verknüpft mit einer Polynomfunktion
Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Guten Tag, momentan arbeite ich an einer Lösung zu einer Aufgabe, welche uns gestellt wurde, und wollte wissen, ob ich das richtig gemacht habe. :)

Aufgabenstellung:

Sei $p:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C},z\mapsto a_kz^k+a_{k-1}z^{k-1}+\dots+a_1z+a_0$ eine Polynomfunktion (mit Koeffizienten $a_j\in\mathbb{C},j=0,\dots,k$ und $a_k\not=0$). Für welche $q\in\mathbb{C}$ ist die Reihe $\sum\limits_np(n)q^n$ konvergent?

Mein Lösungsvorschlag:

Zuerst betrachte man, wie die Reihe ausformuliert aussieht:
$$ a_k\cdot1^k\cdot q^1+a_{k-1}\cdot2^{k-1}\cdot q^2+\dots+(a_1\cdot n+a_0)\cdot q^n
$$ Es lässt sich erkennen, dass an jedes Polynom von $p(n)$, $q^x$ heranmultipliziert wird ($x\in\{1,\dots,n\}$). Mithilfe der geometrischen Reihe folgt, dass für große $n$ die Reihe nur konvergiert, wenn $\vert q\vert<1$.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26


Hallo,

deine Überlegung hier kann ich nicht nachvollziehen.

Es geht hier einfach um einen Konvergenzradius. Ich würde an deiner Stelle dafür einmal so Richtung Quotientenkriterium überlegen...


Gruß, Diophant



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Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \)
Ich würde an deiner Stelle dafür einmal so Richtung Quotientenkriterium überlegen...

Vielen Dank! Dann müsste doch folgen:

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{p(n+1)\cdot q^{n+1}}{p(n)\cdot q^n}=a_{k+1}n^{k+1}\cdot q
$$
Es folgt:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{k+1}n^{k+1}\cdot q)=\begin{cases}
\infty,\text{ falls }q>1\\
0,\text{ falls }q<1
\end{cases}
$$
EDIT: Habe übersehen, dass $\frac{q^{n+1}}{q^n}=q^n$ falsch ist
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26


Hallo,

dein Ansatz würde funktionieren, deine Rechnung verstehe ich noch nicht einmal. Sie ist aber definitiv falsch.

Schreibe das doch einmal sauber aus und kürze, wo es geht.


Gruß, Diophant



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Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Müsste nicht
$$ p(n)=a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+a_1n+a_0
$$ und
$$ p(n+1)=a_k(n+1)^k+a_{k-1}(n+1)^{k-1}+\dots+a_1(n+1)+a_0
$$ sein. Dann wäre ja $p(n+1)/p(n)$ folgendes:
$$ \frac{p(n+1)}{p(n)}=\frac{(n+1)^k+(n+1)^{k-1}+\dots+n+1}{n^k+n^{k-1}+\dots+n}
$$ Also irgendwas mache ich hier gewaltig falsch, bzw. übersehe einen blöden Rechenschritt 🙁



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

beim Quotient der Polynome kannst du nicht wirklich kürzen. Um das Grenzverhalten von Quotienten aus Polynomen zu untersuchen, ist es zweckmäßig, die höchste Potenz der Variablen (hier: \(n\)) im Zähler und im Nenner auszuklammern und mit diesem Faktor zu kürzen. Das ist (trotz der komplexen Koeffizienten) Schulmathematik. Was ist denn bei gebrochen-rationalen Funktionen der Grenzwert für \(|x|\to\infty\), wenn Zähler- und Nennergrad übereinstimmen?

Das gleiche Prinzip kann man hier auch anwenden.

Was gar nicht geht: einfach die Koeffizienten weglassen. Da hast du eine neue Regel erfunden, die mit der bisher bekannten Mathematik nicht wirklich konsistent sein dürfte... 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Mein letzter Ansatz, wäre
$$ \frac{p(n+1)}{p(n)}=\frac{a_k(n+1)^k+a_{k-1}(n+1)^{k-1}+\dots+a_1(n+1)+a_0}{a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+a_1n+a_0}=\frac{a_k(n+1)+a_{k-1}(n+1)+\dots+a_1(n+1)+a_0}{a_kn+a_{k-1}n+\dots+a_1n+a_0}=\frac{a_kn+a_k+a_{k-1}n+a_{k-1}+\dots+a_1n+a_1+a_0}{n\cdot(a_k+a_{k-1}+\dots+a_1+\frac{a_0}{n})}=?
$$ Aber wo das hinführen soll weiß ich leider auch nicht. Ich habe die Vermutung, dass $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{p(n+1)}{p(n)})=1$, aber beweisen kann ich das leider nicht.

EDIT: Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht... Kann es sein, dass es gegen 1 läuft, da wenn $n$ ganz groß wird, die Basen sich quasi nicht mehr unterscheiden?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-01-26 21:36 - Francesco in Beitrag No. 6 schreibt:
...Aber wo das hinführen soll weiß ich leider auch nicht. Ich habe die Vermutung, dass $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{p(n+1)}{p(n)})=1$, aber beweisen kann ich das leider nicht.

Deine Vermutung ist richtig! Du musst einfach nur sauber rechnen, es geht hier ausschließlich um Grundrechenarten.

Außerdem muss man hier nicht alles ausrechnen. Du könntest zur Vereinfachung Summenzeichen im Zähler und Nenner verwenden, oder eine geeignete abkürzende Schreibweise.
Tatsache ist: wenn du im Zähler und Nenner jeweils den Faktor \(a_kn^k\) ausklammerst, dann geht der Rest in der Klammer für \(n\to\infty\) jeweils gegen 1. Mache dir das anhand eines einfachen und vor allem konkreten Beispiels klar. Und dann versuche, es sauber aufzuschreiben.

Kann es sein, dass du (noch) dem Irrtum unterliegst, dass Mathematik und Rechnen das gleiche ist? Das ist ein fataler Irrtum. Bei solchen Aufgaben ist es wichtig, zuerst die zugrundeliegenden Prinzipien und Gesetze genau zu verstehen, um sie dann anzuwenden und zu sehen was passiert. Und erst am Ende kommt der Aufschrieb. Dieser hat nicht das Ziel, das Ergebnis zu ermitteln, sondern die Gedanken, die man sich gemacht hat, geeignet zu Papier zu bringen und damit zu kommunizieren. Insbesondere sollte ein solcher Aufschrieb für andere nachvollziehbar sein!

PS: und du kannst dir hier ruhig Zeit lassen. Die Tatsache, dass Antworten manchmal rasch erfolgen, verpflichtet die Fragesteller in keinster Weise, das ebenso zu handhaben. Es geht dir doch letztendlich um eine gründliche und nachhaltige Klärung des Sachverhalts...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26



Deine Vermutung ist richtig! Du musst einfach nur sauber rechnen, es geht hier ausschlließlich um Grundrechenarten.
Vielen vielen Dank nun habe ich es endlich verstanden.

Es geht dir doch letztendlich um eine gründliche und nachhaltige Klärung des Sachverhalts...
Ja, wenn jemand einfach die Lösung postet, bringt mir das ja wenig. Ich möchte es ja lernen und in Zukunft besser machen. :)



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Francesco hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Francesco hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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