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Strukturen und Algebra » Gruppen » Quaternionen isomorph zu 2x2-Matrizen
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Universität/Hochschule Quaternionen isomorph zu 2x2-Matrizen
m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Hallo,

ich habe mit der folgenden Aufgabe meine Schwierigkeiten,

Sei $A$ eine 4-dimensionale $\mathbb{R}$-algebra erzeugt von $1, i, j , k$

mit Relationen

\[ -i^2=j^2=k^2=ijk=1\]
a) z.z.A ist ring-isomorph zu $\mathbb{R}^{2 \times 2}$
b) Berechne das Zentrum $Z$ der Einheitengruppe $A^*$ und zeige dass $A^*/Z$ nicht gruppen-isomorph zu $SO(3)$ ist.

Teil a) habe ich schon bearbeitet und sollte soweit passen. Allerdings habe ich bei der Teilaufgabe b) größere Probleme, mir ist nämlich bereits unklar warum hier kein Isomorphie vorliegt. Die Einheitsgruppe kann ich bestimmen und auch die Faktormenge ist mir auch klar, allerdings komme ich nicht weiter.

Vielen Dank im voraus! Grüße Magdalena



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26


a) Den Isomorphismus würde ich gerne einmal sehen ;). Hast du die Aufgabe korrekt wiedergegeben?



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m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Zur Aufgabe a):



das wäre der Isomphismus

oder zur Aufgabe b) dort steht ja eben kein Isomorphismus falls du das meintest


Danke fürs Antworten schonmal



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26


Tut mir Leid, ich hatte da $i^2=j^2=k^2=-1$ gelesen, zumal du im Titel "Quaternionen" geschrieben hast. Das hier ist aber gar nicht die Quaternionenalgebra (wieso schreibst du es dann?).



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m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Ja du hast Recht, es handelt sich um eine der Quaternion ähnliche Form. Kannst du mir vielleicht dennoch helfen?



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m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-26


Die Einheitengruppe ist ja wegen (a) isomorph zu $\mathrm{GL}(2,\IR)$. Das Zentrum von $\mathrm{GL}(V)$ ist allgemein $K^* \cdot \mathrm{id}_V$ (gute Übungsaufgabe), und der Quotient ist also die projektive lineare Gruppe $\mathrm{PGL}(2,\IR)$. Zu zeigen ist also

$\mathrm{PGL}(2,\IR) \not\cong \mathrm{SO}(3)$

in der Kategorie der Gruppen. Einfacher wäre das in der Kategorie der topologischen Gruppen zu erledigen. Denn $\mathrm{PGL}(2,\IR)$ ist nicht kompakt, $\mathrm{SO}(3)$ ist aber kompakt. Eine rein gruppentheoretische Überlegung fällt mir spontan nicht ein, vielleicht wissen andere mehr dazu.



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m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Also ich verstehe grundsätzlich deine Argumentation, aber warum folgt aus topologischer nicht Isomorphie, die nicht Gruppenisomorphie?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-27


Das tut es nicht, aber ich wollte es dennoch anmerken. Daher auch "Einfacher wäre es ..."



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