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Analysis » Funktionalanalysis » Beweis für Identität der Totalvariationsfunktion
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Universität/Hochschule Beweis für Identität der Totalvariationsfunktion
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Guten Abend,

Ich habe eine Schwierigkeit bei der Formalisierung einer Beweisidee einer Identität der Totalvariationsfunktion.  

Sei $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ absolut stetig. Die Totalvariationsfunktion von $f$ sei definiert durch

$$ F(x) = \sup_{a=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|, \quad x\in[a,b].
$$
Zeige, dass für $x,y\in [a,b]$ mit $y<x$ die Identität
$$ F(x)-F(y)=\sup_{y=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|
$$ gilt.


Meine Idee bestand darin zu zeigen, dass

$$ F(x)-F(y) \geq \sup_{y=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|
\tag{1}
$$
und

$$ F(x)-F(y) \leq \sup_{y=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|.
\tag{2}
$$
(1) habe ich bereits zeigen können. Ich habe aber das Problem den Beweis bei (2) korrekt zu formulieren. Ich habe damit angefangen, dass ich zwei beliebige Zerlegungen  

$$ a=t'_0<...<t'_K=y \ \text{von} \ [a,y]
$$
und
$$ a=t^{''}_0<...<t^{''}_L=x \ \text{von} \ [a,x]
$$
betrachte. Nun wollte ich eine gemeinsame Verfeinerung

$$ a=t_0<...t_N=x
$$
dieser Zerlegung betrachten, die alle Zerlegungspunkte der beiden Zerlegungen auf $[a,y]$ enthält. Dabei sei $\tilde{K}$ der Index für den $t_{\tilde{K}}=y$ gilt

Ich wollte nun die Abschätzung

$$ \sum_{i=1}^L |f(t^{''}_i)-f(t^{''}_{i-1})|
-\sum_{i=1}^K |f(t^{'}_i)-f(t^{'}_{i-1})| \\
\leq \sum_{i=1}^N |f(t_i)-f(t_{i-1})|
-\sum_{i=1}^{\tilde{K}} |f(t_i)-f(t_{i-1})|
$$
zeigen, da ich dann die Abschätzung (2) bekommen würde. Allerdings müsste ich dazu die Funktionswerte der zusätzlichen Zerlegungspunkte durch Nullergänzung einfügen und die Dreiecksungleichung anwenden. Das Problem ist, dass sich das ja auch auf den zweiten Summanden auswirkt und die Abschätzung, die ich zeigen möchte, vielleicht gar nicht funktioniert. Gibt es es noch einen anderen Weg, das hinzubekommen?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
StefanVogel
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Dabei seit: 26.11.2005
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-06


Hallo Mandakus,
schreibe \(F(y)\) mit auf die rechte Seite der Ungleichung. Dann braucht man für eine beliebige Zerlegung auf der linken Seite nur einen Intervallpunkt ergänzen, um eine Zerlegung der rechten Seite zu erhalten. Für den kann man dann die Dreiecksungleichung anwenden.

Viele Grüẞe,
  Stefan



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