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Mathematik » Geometrie » Volumen zwischen zwei Kugeln
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Ausbildung Volumen zwischen zwei Kugeln
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  Themenstart: 2021-07-07

Servus, zwei Kugeln sind in einem Kegel. Die kugeln berühren sich und berühren jeweils die kegelseiten. das Volumen zwischen den kugeln mit den radius r und R ist gesucht (R > r). ich komm nicht mehr weiter das volumen zwischen den kugeln zu berechnen. bisher habe ich folgendes berechnet x=(2r^2)/(R-r) mit 2. Strahlensatz (x ist die Strecke von der Spitze bis zum berührpunkt der kleinen Kugel) mit Pythagoras hab ich SU= 2R*\sqrt(rR)/(R-r) dann hab ich mit Ähnlichkeit von ASB und NSU die Seite AB berechnet AB = R sqrt(rR)/r Jetzt weiß ich nicht, wie ich das Volumen berechnen soll. Ich dachte an einen Kegelstumpf, dann fehlen mir aber immer noch "kleine" Volumenteile... Wie mache ich denn hier weiter???


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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-07

Ja hier noch die Skizze für die Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54822_Bild_Kegel_Kugeln.jpg


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haribo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-07

moin und willkomen auf dem MP kegelstümpe sind doch keine schlechte idee, es gibt volumenformeln für kugelsegmente, also bei T und U waagerecht durchschneiden haribo


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cramilu
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-08

Guten Morgen panthem, und auch von mir ein Willkommen! haribo hat schon die richtige Richtung gewiesen: Nachdem Du die Länge der Strecke AB kennst, zeichne zwei Lote auf die Gesamthöhe SA ein, und zwar durch T - dieses schneidet SA in H1 - sowie durch U - jenes schneidet SA in H2. Die Strecken H1T und H2U sind dann die Radien der kreisrunden Begrenzungsflächen eines Kegelstumpfes. >>> Kegelstumpf Von dessen Volumen musst Du dann noch diejenigen zweier Kugelsegmente abziehen... >>> Kugelsegment


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

Danke, wie berechne ich dann die Lotstrecken auf die Höhe des kegels? In den jeweils rechtwinkligen Drieecken kenne ich die Hypotenuse (MT = r im oberen bzw. NU = R im unteren Dreieck). Damit fehlen mir noch jeweils eine bekannte Seite um Pythagoras verwenden zu können. Oder geht auch Strahlensatz? (LU)/(AB)= (SU)/(SB) L wäre ein Lotfußpunkt auf der Höhe des Kegels. Dann fehlen mir noch SB? SB könnte ich mit Pythagoras als Mantellinie des Kegels berechnen: SB^2+AB^2=h^2=SA^2 Wäre das so möglich?


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haribo
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-08

\quoteon(2021-07-08 07:32 - panthem in Beitrag No. 4) L wäre ein Lotfußpunkt auf der Höhe des Kegels. \quoteoff diese beschreibung kann ich leider nicht nachvollziehen lot von wo? worauf? evtl besser die bezeichnungen von cramilu weiterverwenden? haribo


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

L wäre dann H2 nach der Bezeichnung von cramilu. entschuldigung


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haribo
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-08

ok, du brauchst den kegelstumpf zwischen H2 und H1 und die in diesem stumpf liegenden kugelsegmente unterhalb von H2 interessiert dich nicht(da könnte dein denkfehler sein?) zeichne dir das dreieck N_U_H2 ein das ist auch rechtwinklig und damit kannst du H2_U und H2_N berechnen, (brauchst du fürs kugelsegment) hm ich glaub jetzt hab ich verstanden was du wolltest, benutz besser das ähnliche dreiecke S_U_N (anstelle von S_A_B) dort ist N_U=R bekannt und S_N ist einfach da du ja x schon hast, dann musst du nicht noch A_B berechnen... [deine berechnung von x und S_U im ersten beitrag scheinen richtig gewesen zu sein] drum glaube ich dass du jetzt alleine weiterkommst? haribo


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

Danke dir Wären die folgenden Schritte so OK? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54822_1_Bild_Kegel_Kugeln.jpg Ähnlichkeit von NUD und NSU (DU)/(NU) = (SU)/(SN) DU = (2R*sqrt(rR))/(r+R) Pythagoras DUN DN^2+DU^2=NU^2 DN=(R*(r-R))/(r+R) Pythagoras STM ST^2+MT^2=SM^2 ST=(2r*sqrt(rR))/(R-r) Ähnlichkeit von MTC und MST (CT)/(MT) = (ST)/(SM) CT = (2r*sqrt(rR)) /(r+R) Pythagoras CMT CM^2+CT^2=MT^2 CM= (r*(R-r))/(r+R) Mit deinem Tipp Kugelsegment und Kegelstumpf hätte ich dann: V_{Kegelstumpf}=((CM+r+R-DN)*\pi)/3*sqrt(DU^2+DU*CT+CT^2) V_{Segment oben} = \pi/3 * (CM+r)^2*(3r-(CM+r)) V_{Segment unten} = \pi/3 * (R-DN)^2*(3R-(R-DN)) In die drei Volumenformeln müsste ich dann meine Zwischenergebnisse noch einsetzen und die Segmente vom Kegelstumpf abziehen. Würde das so passen?


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haribo
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-08

sieht erstmal ganz gut aus (ich kann/will das aber auch nicht besser überprüfen als du selber...) als probe kann ich dir die ergebnisse für r=0.4 ausrechnen (3D zeichnen) zwei ideen hätte ich noch zum vereinfachen: - es spricht doch nichts dagegen R=1 zu setzen, also gedanklich das ganze entsprechend skalieren und eben alle ergebnisse mit r auszudrücken, das darf man weil dann ja r/R = r/1 = r ist , dann werden die meisten formeln einiges einfacher, beispiel: \ DU = (2R*sqrt(rR))/(r+R) wird zu DU = (2*sqrt(r))/(r+1) -und alle längen rund um C verhalten sich zu denen rund um D wie r/R äh r/1 (strahlensatz!) also ST/SU=r/1 ---> ST=r*SU icke persönlich würde dann auch keine kegelstumpf formel suchen sondern den oberen kleinen kegel vom unteren abziehen die beiden verhalten sich im volumen dann kubisch also wie r³/1


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haribo
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-07-08

zeichnung zum prüfen... r=0.4 https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_volumenkugeln.PNG


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

Danke für deine Kontrolllösungen! Bei mir muss noch ein Rechenfehler sein? Für r = 0,4 und R = 1 komm ich nicht auf deine Ergebnisse... Ich habe bisher: V_{Segment oben} = \pi/3 * (CM+r)^2*(3r-(CM+r)) = (4r^5*\pi)/(3(r+R)^3)*(r+3R) V_{Segment unten} = \pi/3 * (R-DN)^2*(3R-(R-DN)) = (4R^5*\pi)/(3(r+R)^3)*(R+3r) V_{Kegelstumpf}=((CM+r+R-DN)*\pi)/3*sqrt(DU^2+DU*CT+CT^2) =(4*\pi(r^2+R^2)*\sqrt(rR^3+r^2*R^2+r^3*R))/(3(r+R)^2) Hab ich evtl. falsche Längen in die Formeln eingesetzt? Alles nachzurechnen wäre von dir zu viel verlangt, aber sind die Ansätze korrekt?


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

x, SU und DU stimmen mit deinen Kontrollergebnissen überein. Bei DN nicht mehr. Ich schreib mal meinen Rechenweg hin: DN^2+DU^2=NU^2 DN=sqrt(NU^2-DU^2) =sqrt(R^2-(2R*sqrt(rR)/(r+R))^2) =sqrt((r^2*R^2-2rR^3+R^4)/(r+R)^2) =R/(r+R)*\sqrt(r^2-2rR+R^2) =R/(r+R)*\sqrt((r-R)^2) =R(r-R)/(r+R) Mit R = 1 und r = 0.4 kommt hier -0.248571... raus. Bei dir in dir Skizze ist die Kontrolle +0.248571... Irgendwo ist evtl. ein Vorzeichenfehler?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-07-08

Huhu, \(r\) war doch der kleine Radius, oder? Dann ist \(r-R\) negativ - du musst also aufpassen beim Wurzelziehen. Allgemein gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). Zum Beispiel ist \(\sqrt{(-4)^2}\neq -4\). Gruß, Küstenkind


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

DANKE!!!!!!! Jetzt stiimmen bei mir die VOlumen der kugelsegmente mit der Kontolle überein. Ich habe jetzt: V_{Segment oben} = \pi/3 * (CM+r)^2*(3r-(CM+r)) = (4r^2*R^3*\pi)/(3(r+R)^3)*(3r+R) V_{Segment unten} = \pi/3 * (R-DN)^2*(3R-(R-DN)) = (4r^2*R^3*\pi)/(3(r+R)^3)*(r+3R) Beim Kegelstumpf passt es leider noch nicht :-(((


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

Hab nun auch den Fehler beim Kegelstumpf entdeckt... Die wurzel war falsch... Nun stimmt alles mit den Kontrollergebnissen ein! Vielen Dank !!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
haribo
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-07-08

tya fehlersuche geht nur schritt für schritt \quoteon(2021-07-08 20:13 - panthem in Beitrag No. 12) Bei dir in dir Skizze ist die Kontrolle +0.248571... Irgendwo ist evtl. ein Vorzeichenfehler? \quoteoff hier ist ein sehr schöner zahlendreher auf jeden fall... in der zeichnung ist DN 0,428 nicht 0,248..... beim kegelstumpf: CM könnte evtl. falsch zu sein in der zeichnung sind es 0,1714, ist aber nicht eingetragen, was ist es bei dir? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.] OK, wenns jetzt stimmt ist doch toll! lg haribo


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