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Mathematik » Geometrie » Abstand Gerade und Z^n
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Universität/Hochschule Abstand Gerade und Z^n
ochen
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  Themenstart: 2021-07-17

Hallo, ich habe doch nochmal eine Frage zur Geometrie. Und zwar sei $\displaystyle\mathbf 1:=\sum_{i=1}^ne_i$. Weiter sei $w\in \mathbb R^n$ beliebig. Für $g=\{w+t\mathbf 1 : t\in \mathbb R\}$ möchte ich zeigen, dass $u\in g$ und $v\in \mathbb Z^n$ mit $\|u-v\|<\sqrt{n}/6$ existieren. Mir ist klar, dass es für "kleine" $n\in \mathbb N$ nicht gilt, aber ich denke, dass es für große gelten sollte. Ich schreibe mal, was ich mir überlegt habe: Da $g$ die Hyperebene $H=\{x\in \mathbb R^n : x_n=0\}$ schneidet können wir o.B.d.A. annehmen, dass $w\in H$ ist. Wenn wir jetzt den Punkt auswählen, der $v\in \mathbb Z^n$ auswählen, der in jeder Komponente von $w$ den geringsten Abstand hat, so wissen wir $|v_i-w_i|\leq \frac 12$ für $1\leq i

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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-17

Alternativ könnte ich mir vorstellen, dass man die Hyperebene $H=\{x\in \mathbb R^n\mid \sum_{i=1}^nx_i=1\}$ betrachtet und alle Punkte aus $\mathbb Z^n$ orthogonal rauf projeziert. Dann erhält man ein $(n-1)$-dimensionales Gitter, von dem mich quasi der Überdeckungsradius interessiert. Aber auch das fällt mir schwer auszurechnen. Ich weiß, dass er geringer als der Überdeckungsradius von $A_{n-1}$ ist, da $A_{n-1}$ ein Teilgitter davon ist. Der Überdeckungsradius von $A_{n-1}$ ist \[ R=\frac{1}{\sqrt 2}\sqrt{\frac{2\lfloor \frac n2\rfloor \lceil \frac n2\rceil}{n}}\leq \frac{\sqrt n}{2} \] Meine Frage ist keine Klausuraufgabe. An einer Lösung bin ich auch längerfristig interessiert.

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