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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte und Endomorphismen
Autor
Universität/Hochschule J Eigenwerte und Endomorphismen
bender0104
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Dabei seit: 31.03.2021
Mitteilungen: 19
  Themenstart: 2021-09-11

Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei der Berechnung von Eigenwerten einer linearen Selbstabbildung. Sei V ein Vektorraum über einen Körper K und \phi:V->V eine lineare Abbildung. Dann ist ein Körperelement \lambda\el\ K ein Eigenwert von \phi, falls es einen von Null verschiedenen Vektor v\el\ V gibt, sodass \phi(v)=\lambda v ist. Ich interessiere mich nun für den Fall, dass V endlichdimensional ist. In diesem Fall kann ich die Darstellungsmatrix von \phi bezüglich einer bestimmten Basis B={v_1 ,..., v_n } von V definieren, deren Spalten gerade die Koordinatenvektoren der Bilder \phi(v_j) , für 1<=j<=n , bezüglich der Basis B sind. Daraus ergibt sich mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung, dass die Darstellungsmatrix bezüglich der gewählten Basis eindeutig bestimmt ist. Ist nun V der n-dimensionale Standartraum, so kann die Berechnung der Eigenwerte von \phi ganz leicht auf die Berechnung der Eigenwerte der Darstellungsmatrix von \phi bezüglich einer beliebigen Basis zurückgeführt werden. Mein Problem ist nun der Fall, dass V!=K^n ist. Ist nun A\el\ K^(n\cross\ n) die Darstellungsmatrix von \phi bezüglich der Basis B, dann kann man die lineare Abbildung \phi_A : K^n -> K^n , v|-> Av betrachten. Diese kann man mit \phi ,einem Isomorphismus \psi_B : K^n |-> V , (a_1,...,a_n)^T |-> sum(a_i v_i,i=1,n) und seiner Inversen (\psi_B)^(-1) wie folgt darstellen: \phi_A = (\psi_B)^(-1) \circ\ \phi \circ\ \psi_B , wobei die Gleichheit nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung gilt. Meine konkrete Frage lautet nun: Sind die Eigenwerte von \phi gleich den Eigenwerten von \phi_A ? Das würde ja bedeuten, dass man auch in diesem Fall die Berechnung der Eigenwerte von \phi auf die Berechnung der Eigenwerte der Darstellungsmatrix von \phi bezüglich einer beliebigen Basis zurückführen kann. Falls die folgende Rechnung stimmt, dann wäre die Frage ja beantwortet ( bin mir bei der Rechnung nicht sicher..) Sei \lambda \el\ K ein Eigenwert von \phi . Dann gibt es ein v\el\ V mit v!=0 , sodass \phi(v) = \lambda v ist. Da \phi(v) \el\ V , gibt es Skalare x_1,...,x_n \el\ K sodass v=sum(x_i v_i ,i=1,n) ist. Um zu zeigen, dass dann \lambda \el\ K auch ein Eigenwert von \phi_A ist, muss es ein x\el\ K^n mit x!=0 geben, sodass Ax=\lambda x gilt. Wählt man nun x=(x_1 ,..., x_n)^T so gilt: Ax=\phi_A (x) = ( (\psi_B)^(-1) \circ\ \phi \circ\ \psi_B )(x) = = (\psi_B)^(-1) (\phi ( sum(x_i v_i ,i=1,n) )) = (\psi_B)^(-1) (\lambda v) = = \lambda (\psi_B)^(-1)(v) = \lambda x . Also ist \lambda auch ein Eigenwert von A. Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert von A sind dann ja gerade die Koordinatenvektoren der Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert von \phi . Umgekehrt: Sei \lambda \el\ K ein Eigenwert von \phi_A , d.h.: es gibt ein x= (x_1,...,x_n)^T \el\ K^n mit x!=0 , sodass Ax=\lambda x ist. Es ist zu zeigen, dass \lambda auch ein Eigenwert von \phi ist. Setze v:= sum(x_i v_i ,i=1,n) . Dann gilt: \phi(v)= (\psi_B \circ\ \phi_A \circ\ (\psi_B)^(-1) )(v) = = ( \psi_B \circ\ \phi_A )(x) = \lambda \psi_B (x) = \lambda v Ist also \lambda ein Eigenwert der Darstellungsmatrix von \phi bezüglich einer beliebigen Basis von V, so ist \lambda auch ein Eigenwert von \phi . Die letzten beiden Rechnungen ergeben im endlichdimensionalen also: Ein \lambda\el\ K ist genau dann ein Eigenwert von \phi , wenn \lambda ein Eigenwert der Darstellungsmatrix von \phi bezüglich einer beliebigen Basis ist. Und weil ein Basiswechsel eine Ähnlichkeitstransformation liefert, haben dann ja die Darstellungsmatrizen von \phi bezüglich paarweise verschiedener Basen von V, alle die gleichen Eigenwerte. Stimmt das was ich oben fabriziert habe? Ich freue mich über jede Antwort. :) LG


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-12

Hallo bender0104, das stimmt. Nur eine Minikorrektur der Formulierung \quoteon(2021-09-11 15:55 - bender0104 im Themenstart) Da \phi(v) \el\ V , gibt es Skalare x_1,...,x_n \el\ K sodass v=sum(x_i v_i ,i=1,n) ist. \quoteoff \ Es gibt Skalare x_1,...,x_n \el\ K sodass v=sum(x_i v_i ,i=1,n) ist. Viele Grüße, Stefan


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bender0104
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-12

Hallo Stefan, vielen Dank für deine Bemerkung. Da hast du völlig recht :) Dass das Bild von v, unter \phi , in V liegt, hat ja gar nichts mit dem was danach kommt zu tun. LG


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bender0104
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-12

Ich habe nun den Beweis, der im Eingangstext formulierten Behauptung, komplett ausgearbeitet und versucht alles sauber zu beweisen. Da ich gerade leider ziemlich beschäftigt bin, habe ich dies nur aufgeschrieben und eingescannt. Nochmals die Behauptung: Die Eigenwerte eines Endomorphismus f, sind genau die Eigenwerte einer Darstellungsmatrix von f, sofern der zugrundeliegende Raum endlich-dimensional ist und umgekehrt (ganz unförmlich ausgedrückt). Der Beweis befindet sich als Bild unter diesem Post. Falls es Fragen oder Anmerkungen gibt, bitte einfach melden. Ich freu mich. LG


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bender0104
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-12

1) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54463_image2_1_.jpeg 2) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54463_image3_1_.jpeg 3) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54463_image4_1_.jpeg 4) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54463_image5_1_.jpeg Bei Gelegenheit werde ich das alles nochmal abtippen. LG


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