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 Schleifen in Zahlenfolge |
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
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Wohnort: Harz
 |  Beitrag No.160, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05
|
Ich versuche mal beizutragen, was mich so umtreibt.
Einmal ist da die Sache, das "Spiel" mit den Folgen im Kopf zu betreiben (ihr wisst schon, "Schlaflos in Wildemann", auf Dackelrunde im Wald, oder...). Da kann man dann schauen, wie man die Zahlen memoriert, sich ggf. Wegpunkte setzt, und natürlich vor allem, wie man die Zahlen auf Faktoren untersucht. Das geht bei mir so bis zu fünfstelligen, dann ist irgendwann Schluss, wenn man dann also nicht Glück hat und einen niedrigen Faktor sieht... der aber bringt einen auch nicht so viel weiter, weil ja eigentlich ein großer Faktor toll wäre. Aktuell arbeite ich mich da immer noch an der 6-er Folge ab.
Und dann kann man natürlich nette kleine Programme schreiben, die auch Faktoren auswerfen, Statistik betreiben,
und sich dann schön Gedanken machen, warum das so ist wie es ist.
Ich wünsche euch einen wunderbaren Herbsttag
( das Wetter im Harz - naß und kalt )
Gerhard / Gonz
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gonz
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Dabei seit: 16.02.2013
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Wohnort: Harz
| Beitrag No.161, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05
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Und noch ein Nachtrag...
vielleicht ist der Gonzen als Bergmassiv gar kein so schlechtes Logo :)
Natürlich kenne ich bzw. kennt mein Programm jetzt den "Dritten bekannten Zyklus", der gar nicht so trivial ist. Und für den Startwert 6 ergibt sich folgendes "Zahlengebirge", gleich mit ein bisschen Statistik. Das schreit ja quasi nach Visualisierung, und damit auch als nette Basis für Programmierspielchen in python oder R oder ...
\showon
1 => 6 (2)
2 => 13
3 => 113
4 => 1113 (3)
5 => 1371 (3)
6 => 1457 (31)
7 => 147 (3)
8 => 149
9 => 1149 (3)
10 => 1383 (3)
11 => 1461 (3)
12 => 1487
13 => 11487 (3)
14 => 13829
15 => 113829 (3)
16 => 137943 (3)
17 => 145981 (11)
18 => 113271 (3)
19 => 137757 (3)
20 => 145919 (41)
21 => 13559 (7)
22 => 11937 (3)
23 => 13979 (7)
24 => 11997 (3)
25 => 13999
26 => 113999 (29)
27 => 13931
28 => 113931 (3)
29 => 137977 (7)
30 => 119711 (59)
31 => 12029 (23)
32 => 1523
33 => 11523 (3)
34 => 13841
35 => 113841 (3)
36 => 137947
37 => 1137947 (181)
38 => 16287 (3)
39 => 15429 (3)
40 => 15143 (19)
41 => 1797 (3)
Dritte Schleife erreicht bei 1599
Statistik der Teiler:
2 : 1
3 : 19
7 : 3
11 : 1
19 : 1
23 : 1
29 : 1
31 : 1
41 : 1
59 : 1
181 : 1
\showoff
Bekanntlich können ja die Teiler 2 und 5, weil in der Basis des Dezimalsystems vorkommend, nicht wieder auferstehen, wenn einmal ausgestorben. Es ist also nicht verwunderlich, dass die (2) nur einmal eine Rolle spielt, eben gleich zu Beginn, und damit auch ihre Schuldigkeit getan hat. Die 5 kommt entsprechend gar nicht vor.
Verwunderlich ist aber die Häufigkeit der (3) und da bastele ich noch an einer Erklärung. Etwa die Hälfte der Probanden ist durch 3 teilbar.
Damit gibt es dann bei der (7) keine Überraschung mehr (jedenfalls keine offensichtliche), denn es verbleiben ja dann 41-1-21 = 19, und damit ist wie erwartet ungefähr jede 7. verbleibende Zahl dann eben auch durch 7 teilbar (wobei... naja, genaueres später).
Dass es einmal die 11 gibt und keinmal die 13 könnte dann reiner Zufall sein...
soviel für heute morgen :)
Have fun
PPS: Im Kopf komme ich bis Folgeglied (14), wenn ich Ruhe habe und viel Zeit. Danach ist Schluß. Aber ich bin da auch wirklich keine Ausnahmebegabung.
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haribo
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 | Beitrag No.162, eingetragen 2021-10-05
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die 92 erreicht die schleife ohne durch 3 geteilt zu werden
80 (einmal 3 als teiler in sieben schritten)
81 mit (vier mal in 12 schritten) auch deutlich unter 50%
und man kann zahlen finden die nahe an der schleife liegen und öfter als 50% durch 3 geteilt werden...
diese liegt 6 schritte von der scheife entfernt und wird dabei vier mal durch 3 geteilt
23947071 3
17982357 3
15994119 3
15331373 1279
111987 3
137329 191
1719
aber im durchschnitt wirst du mit 50% durch 3 teilung ziemlich recht haben
aber ansonsten ist sollte man den grund schon irgendwie finden können
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haegar90
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 | Beitrag No.163, eingetragen 2021-10-05
|
Während der erfolglosen Suche nach einem weiteren Ergebnis für die Gonz-Folge und dem Versuch irgendwie ein endloses Wachstum zu bekommen habe ich spaßeshalber die permanente Voranstellung der $1$ auf $1,2,3, \dots 8,9,1,2 \dots$ geändert. Wie es aussieht gelangen auch so alle Startzahlen (nur von 2 bis 100 überprüft) in einen Zyklus, meistens in $43001$
Das trägt jetzt leider nichts zur Gonz-Folge bei, fand es nur erstaunlich und wollte es deshalb mitteilen 🙂.
\showon Zyklus mit 1401 nach 118 Schritten mit der Startzahl 3
\sourceon Python
3 3 1
13 13 1
213 3 71
371 7 53
453 3 151
5151 3 1717
61717 61717 1
761717 11 69247
869247 3 289749
9289749 3 3096583
13096583 13096583 1
213096583 7 30442369
330442369 330442369 1
4330442369 11 393676579
5393676579 3 1797892193
61797892193 17 3635170129
73635170129 59 1248053731
81248053731 3 27082684577
927082684577 7 132440383511
1132440383511 3 377480127837
2377480127837 47 50584683571
350584683571 31 11309183341
411309183341 7 58758454763
558758454763 49123 11374681
611374681 71 8610911
78610911 3 26203637
826203637 7 118029091
9118029091 9118029091 1
19118029091 7 2731147013
22731147013 22731147013 1
322731147013 11 29339195183
429339195183 3 143113065061
5143113065061 3 1714371021687
61714371021687 3 20571457007229
720571457007229 23 31329193782923
831329193782923 11 75575381252993
975575381252993 17 57386787132529
157386787132529 577 272767395377
2272767395377 37 61426145821
361426145821 13 27802011217
427802011217 7 61114573031
561114573031 19 29532345949
629532345949 13 48425565073
748425565073 73 10252405001
810252405001 13 62327108077
962327108077 962327108077 1
1962327108077 7 280332444011
2280332444011 373 6113491807
36113491807 36113491807 1
436113491807 7 62301927401
562301927401 23 24447909887
624447909887 12433 50225039
750225039 3 250075013
8250075013 8250075013 1
98250075013 41 2396343293
12396343293 3 4132114431
24132114431 17 1419536143
31419536143 19 1653659797
41653659797 9833 4236109
54236109 3 18078703
618078703 11 56188973
756188973 3 252062991
8252062991 8252062991 1
98252062991 137 717168343
1717168343 11 156106213
2156106213 3 718702071
3718702071 3 1239567357
41239567357 421 97956217
597956217 3 199318739
6199318739 3041 2038579
72038579 6199 11621
811621 139 5839
95839 239 401
1401 3 467
2467 2467 1
32467 32467 1
432467 7 61781
561781 11 51071
651071 651071 1
7651071 3 2550357
82550357 491 168127
9168127 19 482533
1482533 13 114041
2114041 2114041 1
32114041 32114041 1
432114041 17 25418473
525418473 3 175139491
6175139491 2011 3070681
73070681 73070681 1
873070681 7 124724383
9124724383 53 172164611
1172164611 3 390721537
2390721537 3 796907179
3796907179 13 292069783
4292069783 109 39376787
539376787 37 14577751
614577751 11047 55633
755633 17 44449
844449 3 281483
9281483 223 41621
141621 3 47207
247207 43 5749
35749 7 5107
45107 43 1049
51049 71 719
6719 6719 1
76719 3 25573
825573 3 275191
9275191 127 73033
173033 7 24719
224719 11 20429
320429 59 5431
45431 181 251
5251 59 89
689 13 53
753 3 251
8251 37 223
9223 23 401
[3, 1401, 118]
\sourceoff
\showoff
\showon Startzahlen von 2 bis 100
\sourceon Python
[Startzahl, Zykluszahl, Schritte]
[2, 32887, 1137]
[3, 1401, 118]
[4, 32887, 1137]
[5, 1401, 1189]
[6, 1401, 118]
[7, 43001, 2209]
[8, 43001, 1228]
[9, 1401, 118]
[10, 1401, 1189]
[11, 1401, 118]
[12, 2467, 56]
[13, 43001, 2326]
[14, 43001, 2209]
[15, 15, 1]*
[16, 43001, 1516]
[17, 43001, 1318]
[18, 43001, 1228]
[19, 43001, 2209]
[20, 43001, 2452]
[21, 43001, 2209]
[22, 1401, 118]
[23, 42987, 958]
[24, 278467, 578]
[25, 25, 2]*
[26, 43001, 2326]
[27, 43001, 1228]
[28, 43001, 2425]
[29, 43001, 2254]
[30, 43001, 1534]
[31, 32887, 1056]
[32, 43001, 1579]
[33, 1401, 118]
[34, 43001, 1318]
[35, 43001, 2209]
[36, 43001, 1435]
[37, 43001, 1696]
[38, 43001, 2209]
[39, 43001, 2326]
[40, 43001, 1597]
[41, 43001, 2146]
[42, 32887, 1227]
[43, 1401, 118]
[44, 43001, 2407]
[45, 43001, 1534]
[46, 42987, 958]
[47, 278467, 398]
[48, 3673, 1101]
[49, 43001, 2209]
[50, 278467, 533]
[51, 43001, 1318]
[52, 43001, 2182]
[53, 11249, 1072]
[54, 43001, 2371]
[55, 1401, 118]
[56, 32887, 1074]
[57, 43001, 2209]
[58, 43001, 2254]
[59, 32887, 1488]
[60, 43001, 2407]
[61, 43001, 1534]
[62, 32887, 1056]
[63, 32887, 1227]
[64, 43001, 1687]
[65, 43001, 2326]
[66, 43001, 1228]
[67, 43001, 1642]
[68, 43001, 2506]
[69, 42987, 958]
[70, 43677, 598]
[71, 43001, 2425]
[72, 43001, 2794]
[73, 43001, 2407]
[74, 43001, 1696]
[75, 278467, 533]
[76, 43001, 1885]
[77, 1401, 118]
[78, 43001, 1318]
[79, 43271, 481]
[80, 278467, 119]
[81, 43001, 2371]
[82, 43001, 2146]
[83, 43001, 2407]
[84, 43271, 355]
[85, 43001, 1318]
[86, 1401, 118]
[87, 43001, 2254]
[88, 43271, 418]
[89, 43001, 2182]
[90, 32887, 948]
[91, 43001, 2326]
[92, 429839, 1156]
[93, 32887, 1056]
[94, 278467, 398]
[95, 43001, 2209]
[96, 43001, 1381]
[97, 43001, 2164]
[98, 43001, 2281]
[99, 43001, 1228]
[100, 1401, 1027]
\sourceoff
\showoff
*enden nur weil Wert 2. Mal in der Folge erreicht wird.
Z.B. würde auf 15 -> 5 -> 15 -> 5 -> 25 -> 5 -> 35 -> 7 -> 47...folgen.
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haribo
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Mitteilungen: 3733
| Beitrag No.164, eingetragen 2021-10-05
|
ah, jetzt hab ichs begriffen, du veränderst jeden zug die vorstell-zahl
das ist spannend,
wenn du sie dauern auf andere ziffern als 1 setzt , also z.B. immer auf 7
führt das auch zu jeweils insich gleicher schleife?
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haegar90
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Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 929
Wohnort: Gog
| Beitrag No.165, eingetragen 2021-10-05
|
Nur ganz grob vorab und ohne Gewähr:
Stellt man anstelle der $1$ eine $4, 5, 7, 8$ voran,
setzt sich die Folge mit der Startzahl z.B. $3$ möglicherweise sehr lange fort.(Es gab bei den ersten Versuchen kein Ende).
EDIT: Mit $7$ als Voranstellung und Startzahl $3$, 2872 Schritte:
[3, 7379, 2872]
Die Übrigen (4, 5, 8) enden bisher nicht, wachsen aber auch nicht über ein
gewisses Maß hinaus. Könnten vielleicht also auch einen Zyklus bilden.
Nimmt man als Voranstellung die $7$ und die Startzahl $19$, braucht es
$11457$ Schritte 😁
[19, 74391, 11457]
Habe gerade noch eine Sache ausprobiert. Man stellt jeweils die Letzte Ziffer der Zahl voran. Gibt ein recht homogenes Bild der Schrittzahlen und Zykluszahlen.
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cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 1494
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.166, eingetragen 2021-10-05
|
So... "obenrum" fertig! 😎
@ haegar90 und haribo
Die Ausgestaltung ist nicht das einzige, was in Arbeit ist;
an einer Verallgemeinerung auf weitere Folgen mit z.B.
anderen Ziffernvoranstellungen etc. werkele ich bereits
seit Themenstart herum...
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Bernhard
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Dabei seit: 01.10.2005
Mitteilungen: 6635
Wohnort: Merzhausen, Deutschland
 | Beitrag No.167, eingetragen 2021-10-05
|
Hallo haribo!
\quoteon(2021-10-04 15:20 - haribo in Beitrag No. 159)
hay bernhard,
hab nochmal drübergeschaut, in dem fall lässt du die 2^n besser weg und nimmst nur die 10^n, da verbleiben auch mindestens n teilbarkeiten durch 2, es schliessen sich aber auch immer noch >n teilbarkeiten durch 3 od 5 an, also bekommst du immer mindestens eine doppelt so lange folge
beispiel startzahl 2^6
1000000 2
1500000 2
1750000 2
1875000 2
1937500 2
1968750 2
1984375 5
1396875 3
1465625 5
1293125 5
1258625 5
1251725 5
1250345 5
\quoteoff
Stimmt natürlich, das bringt noch mehr. Ich kam damals auf die erste Idee mit den Zweierpotenzen, als ich noch davon ausging, daß nur bei Primzahlen eine Eins davorgesetzt würde. Als ich dann das Gonz'sche Prinzip kapierte, habe ich versucht, zu retten, was noch zu retten war.
@ gonz:
\quoteon(2021-10-05 07:21 - gonz in Beitrag No. 161)
Bekanntlich können ja die Teiler 2 und 5, weil in der Basis des Dezimalsystems vorkommend, nicht wieder auferstehen, wenn einmal ausgestorben. Es ist also nicht verwunderlich, dass die (2) nur einmal eine Rolle spielt, eben gleich zu Beginn, und damit auch ihre Schuldigkeit getan hat. Die 5 kommt entsprechend gar nicht vor.
\quoteoff
2 und 5 sind als Teiler von 10 auch die einzigen Teiler, die bei denen sich beim Davorstellen einer 1 der Rest nicht verändern kann, sondern nur durch Division. Was ihre Anwesenheit innerhalb der Schleifen ausschließt und gleichzeitig beliebig lange Einstiegsketten davor ermöglicht.
@ haegar:
Wenn Du soviel Varianten ausprobierst, dann versuchs doch auch mal so, wie es einige am Anfang des Threads zuerst (miß-)verstanden haben: Nämlich durch den jeweils kleinsten echten Teiler teilen oder, wenns nichts zu teilen mehr gibt (also Primzahl), eine 1 davorsetzen. Interessant ist dabei die Verfahrensweise zur Rückverfolgung.
@ gonz:
Das Gonz-Gebirge hat natürlich erstmal Vorrang.
\quoteon(2021-10-05 07:21 - gonz in Beitrag No. 161)
vielleicht ist der Gonzen als Bergmassiv gar kein so schlechtes Logo :)
\quoteoff
Auch wegen einer weiteren Parallele: Sisyphos rollte einen Stein den Bergherauf - wir machen das hier mit Zahlenschleifen. Auch eine runde Sache!
Viele Grüße, Bernhard
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.165 begonnen.]
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Slash
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 | Beitrag No.168, eingetragen 2021-10-06
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@ cramilu
lade deine grafik doch in original größe in deinem notizbuch hoch, dann kann man sich die runterladen ...link auf public stellen
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haribo
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| Beitrag No.169, eingetragen 2021-10-06
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_gonzgebirge.JPG
cramilu, hier eine andere GONZ-GEBIRGE darstellung,
die 84 ist mit 278 schritten die längste folge der zweistelligen zahlen
darin münden nacheineander beispielhaft einige anderen langen folgen aus deiner grafik 72;40;2; und dann die 81 welche an einer anderen position die schleife erreicht
wollte man derart alle startwerte 2-101 einzeichnen kämen wohl nur noch recht kurze einmündungs-linien dazu
die schleife hab ich dann noch mehrmals dargestellt
logarithmische skalierung macht ziemlich sinn, da die wachstumsetappen nach einer primzahl dann jeweils genau eine zeile (zehnerpotenz) hoch gehen
interessant ist die knappe fast-berührungen der 2er und 40er folge bei x=204
@slash, spiel die 84er melodie doch mal auf deinem klavier ein
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gonz
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| Beitrag No.170, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-06
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Hallo miteinander,
Der Faktor, um den das Anfügen der "1" den Wert erhöht, liegt maximal bei 11 (also zB von 1000 auf 11000) und minimal bei zwei (als zB in etwa erreicht beim Schritt von 999 auf 1999). Deshalb habe ich mich gefragt, wie die Startziffern der Werte _vor_ dem anfügen der "1" verteilt sind. Zum Beispiel ist ja zu erwarten, dass eine führende "1" häufiger auftritt, das dies immer dann der Fall ist, wenn vorher kein Teiler gefunden wurde. Allerdings kam ich auf folgende Verteilung aus den ersten Folgen:
Anfangszahlen
1 ; 33.76%
2 ; 4.3%
3 ; 27.73%
4 ; 17.19%
5 ; 8.69%
6 ; 4.0%
7 ; 2.95%
8 ; 0.98%
9 ; 0.4%
Und das hat mich überrascht, weil die 2 dort erheblich unterrepräsentiert ist. Kann das jemand bestätigen? Gibt es ggf eine simple Erklärung, die ich nur gerade nicht sehe?
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haribo
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| Beitrag No.171, eingetragen 2021-10-06
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bei einer teilung durch 3 [ 50% der fälle] kann nur 3;4;5;6 entstehen
1002 334
1197 399
1200 400
1497 499
1500 500
1797 599
1800 600
1998 666
10002 3334
19998 6666
nach teiler 59 oder 67 gibts häufig ne 2 als zweite ziffer
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gonz
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| Beitrag No.172, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-06
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Aha :) Das ist die Erklärung, klar.
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haribo
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| Beitrag No.173, eingetragen 2021-10-06
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11 13 17 19 23 29 31
können auch nie eine 2 erteilen
erst ab 11026 /37= 298
11063/37= 299
dann häufiger alle teiler bis ~97
es bleibt die 7 in etwas über 50% ihrer fälle
also insgesamt müssen die zahlen mit 12___ aber trotzdem ja irgendwo im gelände liegen?
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Bernhard
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| Beitrag No.174, eingetragen 2021-10-07
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Hallo!
Welche ist eigentlich die "beliebteste" Schleife? Also in welche münden die meisten Zahlen ein? Oder ist die Verteilung über die Zahlen gleichmäßig? Gibt es irgendeine Systematik, in welche Schleife, welche Zahl geht?
Viele Grüße, Bernhard
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haribo
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| Beitrag No.175, eingetragen 2021-10-08
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\quoteon(2021-10-07 23:22 - Bernhard in Beitrag No. 174)
Hallo!
Welche ist eigentlich die "beliebteste" Schleife?
Viele Grüße, Bernhard
\quoteoff
Hallo Bernhard
Zu der Frage gibt es schon länger die unbewiesene (gonzproblem) antwortvermutungen:
„The one and only“
Siehe #38 oder die Graphik #166
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gonz
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| Beitrag No.176, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
|
Man kann ja hier schlecht von den drei "trivialen" Schleifen sprechen, denn eine der drei Bekannten ist ja recht umfangreich und nicht sofort als Schleife ersichtlich.
@Bernhard
Wenn du fragst, "was wo landet", dann gibt es zB die folgende Statistik aus den ersten 3049 Startwerten (beginnend mit der 0):
15 => 5 mal erreicht
125 => 3 mal erreicht
1599 => 2010
1137 => 741
1197 => 148
12089 => 59
1379 => 26
11987 => 9
1719 => 7
1143 => 5
11399 => 4
1533 => 3
1511 => 3
1573 => 3
11511 => 2
1399 => 2
1381 => 2
11381 => 2
Dabei wurden die folgenden Startwerte nicht weiter untersucht, weil sie den Bereich > 10^9 erreichen:
[2113, 2304, 2341, 2380, 2404, 2550, 2564, 2630, 2633, 2644, 2732, 2886, 2932, 2939, 2940]
Grüße und einen schönen Weg durch den Freitag,
Gerhard/Gonz
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haribo
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| Beitrag No.177, eingetragen 2021-10-08
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\quoteon(2021-10-08 11:24 - gonz in Beitrag No. 176)
Dabei wurden die folgenden Startwerte nicht weiter untersucht, weil sie den Bereich > 10^9 erreichen:
[2113, 2304, 2341, 2380, 2404, 2550, 2564, 2630, 2633, 2644, 2732, 2886, 2932, 2939, 2940]
\quoteoff
2304;2404;2550;2564;2630;2644;2732;2886;2932;2939;2940 --> 1599
2113;2380 --> 1137
2341;2639 --> 1197
alle untersucht, dabei wurde kein neuer planet gefunden
ganz schön mühsam, denn auch ich muss alle derart grossen zahlen die nicht durch
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cramilu
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| Beitrag No.178, eingetragen 2021-10-08
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»ganz schön mühsam«
In der Tat! 😉
Ich rate dringend zu zweierlei "Gebirgsbetrachtungen":
a) Wieviele "Schritte" benötigt welche Startzahl,
bis sie bei einer der Perioden ankommt?
5;1 - 10;1 - 15;0 - 25;1 (jeweils "Periode 15")
50;1 - 75;1 - 125;0 (jeweils "Periode 125")
1;4[+29] - 2;53[+29] - 3;41[+29] - ...
(jeweils "Periode 1137/1599")
b) Wievielfach größer wird welche Startzahl
"zwischendurch" höchstens, bis sie ihre Zielperiode
einmal vollständig durchlaufen hat? Oder so.
Über b) könnte man wohl - ähnlich dem "3/4" bei
"Collatz" - eine Abschätzung für ein "mittleres
Erwartungswachstum" herausschälen, mittels dessen
sich dann mehr über das Gesamtverhalten sagen ließe!?
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haribo
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| Beitrag No.179, eingetragen 2021-10-08
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_gonzgebirge2.JPG
es zeigt sich dass dieses gebirgs diagramm auch fast nicht lesbar ist weil sich doch alle touren wild überschneiden...
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gonz
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| Beitrag No.180, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Jedenfalls ist es so, dass die Folge pro Schritt max. um Faktor 10 steigen kann, aber "beliebig tief" fallen (also genauer - bis zum doppelten ihrer Wurzel, wenn es sich um ein Primquadrat handelt und die Ergänzung der eins nur einen Faktor von 2 liefert).
Das sieht man in dem "Gebirge" ganz gut.
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haribo
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| Beitrag No.181, eingetragen 2021-10-08
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@cramilu, im detail auch wieder nicht eindeutig momentan
zu a)
in der gebirgsdiagramm zählt die x-achse die schritte
ich plaziere alle startzahlen auf ihren eigenen x-wert derart dass sie rechts in die gleiche schleife einmünden, das macht irgendwie sinn
zum erkennen der schleife bilde ich diese rechts zweimal in unterschiedlichen farben ab
derzeit zähl ich nach rechts, also die null nahe des längsten verlaufs
um jetzt für jede startzahl die schritte ablesen zu können müsste ich die null nach rechts legen (aber wohin genau?) und nach links zählen
lege ich die null auf die erste 1599 dann zählt es für die folgen die dort die schleife betreten richtig, die anderen hätten dann noch einige weitere schritte???
ich könnte die null auch auf die 2. 1599 legen, dann haben die ersten folgen die schleife durchlaufen, die welche sie in anderen eintrittszahlen erstmals berühren aber wieder nicht ???
also die bisherige zählweise [bis zum erreichen der schleife, oder bis zum erreichen der ersten zahlwiederholung] funktioniert nicht mehr konfliktfrei, es braucht eine andere reihen-end-definition um verschiedene gebirgskonturen passend überenander legen zu können, hat jemand dazu eine idee?
zu b) kann ich nix wirklich genaues sagen, hier beispielsweise sind ja jetzt 4-stellige startzahlen ausgewählt die alle >10^9 erreichen, merkwürdigerweise beginnen sie alle mit "2"
alle erreichen diese hohen berge auch ziemlich flott
über die "2" haben wir gestern schon nachgedacht, allerdings war es dort nie die erste ziffer sondern die "2" hinter der vorgestellten 1... trotzdem mag es ähnliche gründe haben
also offenbar klettern einige 2er als startzahlen höher als jedenfals alle vierstelligen 1er denn gonz hat ja nur bis 3049 untersucht, kann ja gut sein das vierstellige zahlen die mit 7 oder 9 oder sonstwas beginnen noch viel höhere berge erklimmen, kann aber auch sein dass es schlicht daran liegt dass sie grösser sind als die 1er...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.179 begonnen.]
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gonz
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| Beitrag No.182, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Da kann man natürlich gucken. Die Zahlen werden mit einem ziemlich einfachen Programm gesucht, das vor allem in der Faktorisierung einfach der Reihe nach durchprobiert. Deshalb die Grenze bei 10^9. Das geht natürlich alles viel schlauer. Aber hier wären mal:
[2113, 2304, 2341, 2380, 2404, 2550, 2564, 2630, 2633, 2644, 2732, 2886, 2932, 2939, 2940, 3049, 3119, 3174, 3186, 3224, 3328, 3364, 3410, 3460, 3526, 3558, 3568, 3825, 3945, 4064, 4211, 4226, 4329, 4373, 4391, 4510, 4526, 4564, 4682, 4723, 4761, 4779, 4944, 5014, 5070, 5115, 5166, 5178, 5266, 5289, 5337, 5412, 5548, 5641, 5683, 5878, 5972, 6098, 6238, 6330, 6339, 6342, 6346, 6353, 6438, 6575, 6576, 6765, 6789, 6803, 6983, 7023, 7140, 7212, 7321, 7384, 7448, 7521, 7523, 7549, 7573, 7605, 7692, 7749, 7767, 7842, 7899, 7932, 8170, 8196, 8338, 8422, 8423, 8431, 8525, 8626, 8746, 8782, 8796, 8815, 8817, 8820, 8936, 9059, 9147, 9161, 9284, 9357, 9390, 9446, 9474, 9479, 9495, 9513, 9519, 9532, 9542, 9582, 9594, 9657, 9964, 10092, 10156, 10196, 10288, 10292, 10343, 10380, 10490, 10565, 10567, 10711, 10902, 10916, 10949, 10973, 11152, 11190, 11202, 11275, 11282, 11315, 11322, 11366, 11443, 11466, 11470, 11587, 11593, 11612, 11664, 11682, 11705, 11730, 11763, 11779, 11784, 12032, 12113, 12255, 12263, 12282, 12341, 12472, 12507, 12535, 12583, 12589, 12633, 12706, 12774, 12939, 12986, 13049, 13119, 13165, 13171, 13173, 13219, 13288, 13570, 13606, 13692, 13724]
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haribo
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| Beitrag No.183, eingetragen 2021-10-08
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nacheinander alle primzahlen bis wie grosse primzahl prüfst du?
oder prüft/teilt das program stumpf durch jede zahl? ob etwas ganzzahliges herauskommt
immerhin suchst du ja nur den kleinsten teiler
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gonz
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| Beitrag No.184, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-08
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Also... Es wird eine Primzahl Liste bis zur Wurzel des gewünschten MAX Wertes erstellt, bei dem die Bearbeitung einer Folge dann abgebrochen wird. Beim Erstellen der Primzahl Liste werden rekursive die schon vorhandenen Primzahlen benutzt. Zu sieben wäre natürlich wesentlich effizienter. Aber das ganze läuft für die aktuellen Grenzen noch in einer Zeitdauer durch, die man mal warten kann, also zB zur Kaffeemaschine rüber zu gehen...
Dann generiere ich die Folgen, und dabei wird dann tatsächlich - falls wir uns im Bereich jenseits der Primzahlliste befinden - jeweils gegen alle Primzahlen bis zur Wurzel des aktuellen Folgegliedes geprüft. Für die Zahlen im Bereich bis sqrt(MAX) speichere ich mir die ja beim Erstellen der Liste bereits bestimmten Teiler zusammen mit der Information, dass es eben keine Primzahl ist.
Natürlich wird abgebrochen, wenn ein ein Teiler gefunden wurde.
In der C Variante erstelle ich eine Liste der Primzahlen bis 2^32, und kann damit dann die Grenze, bis zu der die Folgen max. nachverfolgt werden, bis 2^64 hochschieben (bzw. bleibe etwas unter diesen durch die Variablengrenze gegebenen Grenzen).
So ist aktuell die Startzahl, die als erste über 10^16 hinausläuft, die 6303584.
Nachtrag - das Programm ist halt "eigentlich" dazu geschrieben, um mal ein bissl herumzuspielen, und um dann auch ein bisschen Statistik zu betreiben...
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haribo
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| Beitrag No.185, eingetragen 2021-10-08
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ich arbeite ja nur mit excel und verwende nur eine zeile also 246 primzahlen
also max 1559 kann also nur sicher bis zum quadrat davon ausschliessen 2430481, aber ich breche dann nicht ab sondern wenn eine grössere zahl vorkommt prüfe ich auch diese 246 primzahlen und sehr oft ist ja eben der teiler kleiner, also kann ich automatisiert oft sehr viel grössere zahlen lösen, wenn nicht stoppt es und ich muss die zahl händisch exportieren und prüfen
heute bei den 2tausender zahlen war es übrigends nie der fall dass die erste grössere zahl keine primzahl war, wiso weiss ich nicht
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gonz
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| Beitrag No.186, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Genau, man kann die Zahlen, die aktuell herausfallen (zB weil man sie nicht einfach faktorisieren kann) listen. Da kann ich noch ein bisschen was umbauen. Wenn ich die Folgenglieder entsprechend in 128 Bit Zahlen ummodele, dann kann ich abbrechen, wenn das Folgenglied "größer ist als das Quadrat der größten Primzahl aus der Primzahlliste, und durch keine der Zahlen aus der Liste teilbar ist". Damit kommt man stellenweise bestimmt noch ein bissl weiter.
Aktuell hätte ich hier zu bieten (ohne die vielen Ideen, die man so haben kann, bisher umgesetzt zu haben):
\showon
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Overflow: 771347416
\showoff
Grüße und einen schönen Samstag!
Gerhard/Gonz
Nachtrag:
Ich lass das mal laufen. Wenn es durch ist (so irgendwann heute wird der Wert von 1 Mrd erreicht sein), dann weiß ich jedenfalls, dass es keine vierte Schleife geben kann, deren Werte alle unter dieser Grenze liegen.
Es kann dann natürlich noch Schleifen geben, die von einem der hier ausgeworfenen Werte ausgehen, sich in den Bereich über 1 Mrd tummeln, aber am Ende wieder zu dem Ursprungswert zurückkehren. Also der kleinste Wert im Umlauf einer solchen vierten Schleife muss mindestens 69615006 sein (oder natürlich... größer).
Noch'n Nachtrag:
Ein Wert innerhalb einer Schleife sollte schon mit "1" beginnen. Also wäre hier eher die 104422509 im Gespräch.
Munter bleiben!
... gonz
Aaaaarg:
Natürlich kann man aufhören, wenn die betrachtete Folge unter den Startwert zurückfällt, und nicht in der bisher gefundenen Liste der "zurückgestellten Zahlen" ist.
Und natürlich betrachte man sinnigerweise nur Zahlen, die mit "1" beginnen...
Sagte ich es?
Das Leben kann so bunt sein :)
( dies ist die Spiel- und Bastelecke, da darf ich das sagen)
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cramilu
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| Beitrag No.187, eingetragen 2021-10-09
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Qualen mit Zahlen...
Guten Morgen! 😉
Es folgt... [Fanfare] mein Machwerksabschluss:
Auch als PDF-Download verfügbar!
@gonz: Ehre, wem Ehre gebührt!
Das Wortspiel war einfach zu verlockend.
Bis einschließlich 207 sollten alle Startzahlen
lückenlos enthalten sein - ab der 209 dann
lückenbehaftet viele weitere.
Primzahlen erscheinen unterstrichen.
"Sammelzahlen" auf "1..." erscheinen kursiv.
Als "Sammelrinnen" dienen wohl hauptsächlich
a) Primzahlen und ihre primen Vielfachen bis zum Quadrat.
b) prime Vielfache von Primzahlquadraten bis zur 3. Potenz.
Macht mich bitte auf Fehler etc. gerne aufmerksam!
Nachtrag
Ich definiere:
Eine wohldefinierte Folge natürlicher Zahlen heiße »prächtig«,
falls sie für jede Startzahl in eine von endlich vielen,
in ihrer Anzahl vorherbestimmbaren Perioden "einmündet".
Auch die »Collatz-Folge« ist wahrscheinlich eine »prächtige«!
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hyperG
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 | Beitrag No.188, eingetragen 2021-10-09
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@gonz:
Ich habe mal aus Deiner Liste die 1. & letzte "Overflow-Startzahl" durchgerechnet:
\sourceon nameDerSprache
Start Len End Max
69615006, 172, 1599, 1398650562820342373
771347416,331, 1599, 1371237576696317521
\sourceoff
Beide Maxima erreichen nicht mal die 61-Bit Grenze, was hinsichtlich von 64 Bit Variablen ausbaufähig ist.
Beide kommen über die 1797 in den "1599-Kreis".
@cramilu:
Sehr fleißig! Ich mag solche grafischen Übersichten.
Besonders die PDF eignet sich gut zur Suche (Strg + F). Die Stringfolge "137" kommt 44 mal vor!
Da bei mir subjektiv gefühlt 80% aller Startzahlen bei der 1599 landen,
kommt diese wichtige Zahl in der Grafik zu "kurz" (zu klein) weg.
Zu "Macht mich bitte auf Fehler etc. gerne aufmerksam"
- die 5 ist eine Primzahl & sollte unterstrichen sein.
Grüße Gerd
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gonz
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| Beitrag No.189, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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@hyperg
Danke für den Hinweis - das war keine besondere Leistung von mir ...
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cramilu
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| Beitrag No.190, eingetragen 2021-10-09
|
@hyperG
Danke für Deine Hinweise; vor der ersten "Revision"
werde ich "sammeln"... 😉
Auch mein Eindruck ist, dass etwa vier- bis sechsmal
so viele Zahlen bei der 1599 "einmünden" wie bei
anderen. Eine erste grobe Analyse:
Von den einstelligen "münden" neun in die 1599 und
nur eine, nämlich die 1, in die 1137. Von den ersten
hundert "münden" 82 in die 1599, 16 in die 1137 und
bloß zwei, nämlich die 48 und die 97, in die 1197.
Von den ersten zweihundert "münden" 158 in die 1599,
31 in die 1137 und immerhin schon 11 in die 1197.
Da scheint sich das Verhältnis "1599:1137" schon
bei etwa 5:1 zu "stabilisieren"!?
Wenn Du magst und Zeit hast, könntest Du solche
Verteilungen für "bis 500", "bis 1.000", "bei allen
vierstelligen" usw. näher untersuchen. Wie verändert
sich ggf. das Verhältnis "1599:1137"? Welchen Anteil
haben diejenigen Startzahlen, welche in eine der
beiden "münden", an der untersuchten Menge? Welche
"Mündungszahlen" kommen ab welcher Größenordnung
namhaft "mit ins Spiel"? Und so weiter... 😉
Und was zum neunmal verfluchten Geier
hat es bloß mit diesen neunundzwanzig
Periodenzahlen besonderes auf sich??? 🙄
EDIT
Die Zahlen 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 usw.
scheinen mehrheitlich die 1599 eher zu meiden[?].
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hyperG
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| Beitrag No.191, eingetragen 2021-10-10
|
\quoteon(2021-10-09 17:02 - cramilu in Beitrag No. 190)
@hyperG
...
Wenn Du magst und Zeit hast, könntest Du solche
Verteilungen für "bis 500", "bis 1.000", "bei allen
vierstelligen" usw. näher untersuchen.
...
\quoteoff
\sourceon nameDerSprache
EndZahlen (ab der Periode beginnt):
{1137,1143,1197,1379,1381,1399,1511,1533,1573,1599,1719,11381,11399, 11511, 11727,11987,12089,Rest}
absolute Häufigkeit:
2... 2000:{481, 5, 95,15,2,2,2,2,3,1341, 4,0, 0,0,0,8, 32,7}
2000... 5000:{762, 0,160,28,0,0,2,2,0,1935,11,4,14,3,2,3, 75,0}
5000...10000:{1309,0,280,23,0,0,0,2,0,3219,24,7,17,4,2,2,107,5}
\sourceoff
Im Startbereich 5000...10000 ergibt sich eine
ZahlHäufigkeit[1599]:ZahlHäufigkeit[1137]=3219:1309=2,4591291 : 1
Grüße
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cramilu
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| Beitrag No.192, eingetragen 2021-10-10
|
@hyperG
Sehr schön - danke! 🤗
Das würde bedeuten, dass die "1137" gleich
als erste "Einmündung" über die "1" auftritt,
danach im Verhältnis zur "1599" rasch "verliert",
jedoch einen namhaften "Mündungsanteil" behält.
Die "1599" bleibt dann ab über die "2" deutlich
stärkste "Einmündungszahl".
Ab über die "48" kommt die "1197" dazu und bleibt
danach drittstärkste "Einmündungszahl", ihrerseits
ebenfalls mit einem wachsenden Anteil gegenüber
den beiden vorigen.
Und ab der "1249"[!] gesellt sich auch noch die
"12089" als namhafte "Einmündungszahl" hinzu,
wenn auch wiederum schwächer als die "1197".
Jetzt könnte man das natürlich für alle 29
Periodenzahlen bis zu einer Startzahl von 1.000.000
oder so "aufdröseln", jede Periodenzahl mit ihrem
jeweiligen "Entwässerungsanteil" multiplizieren,
das alles zusammenzählen, Mittelwerte bilden...
Ich frage mich halt insgesamt, ob sich »prächtiges«
Verhalten solcher Folgen über die Arten der Perioden
irgendwie "bewerten" ließe. 🤔
EDIT
Scheiden womöglich sogar manche Periodenzahlen
ab einer bestimmten Startzahlgröße als
"Einmündungszahlen" aus und "verkommen"
zu bloßen "Brückenzahlen" in der Periode?
So wie - scheint's - die "1143", "1381",
"1399", "1573" ab Startzahlen um ca. 2000?
Fragen über Fragen...
hyperG, ich mag Dich wirklich nicht über Gebühr
behelligen mit Analysen, die ich selber nicht hinkriege.
Aber... folgende Art der Untersuchung würde mich
interessieren:
1 ... 100: {[1599],[1137],[1197],[12089],[1719],...
...[1379],[11399],[Rest/übrige]}
1 ... 200: ...
1 ... 500: ...
1 ... 1000: ...
1 ... 2000: ...
1 ... 5000: ...
1 ... 10000: ...
1 ... 20000: ...
1 ... 50000: ...
1 ... 100000: ...
Zu lesen: »Von den Startzahlen von 1 bis n "münden"
s1 (absolute Anzahl und prozentualer Anteil) in "1599",
s2 (...) in "1137" usw.«.
Da könnte man dann sehr schön die "Zutragsentwicklung
zur Periode" erkennen, wie ich meine... 😉
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hyperG
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| Beitrag No.193, eingetragen 2021-10-10
|
Mehr unwichtige in Rest macht es übersichtlicher:
\sourceon nach Korrektur
{1137,1197,1379,1599,12089,Rest}
1... 1000:{245, 41, 5,679 ,14 ,16}
1001... 2000:{237, 54, 10,662 ,18 ,19}
2001... 3000:{251, 51, 11,649 ,25 ,13}
3001... 4000:{242, 55, 7,650 ,32 ,14}
4001... 5000:{269, 54, 10,635 ,18 ,14}
5001... 6000:{260, 55, 4,657 ,14 ,10}
6001... 7000:{247, 55, 7,646 ,28 ,17}
7001... 8000:{262, 60, 4,636 ,24 ,14}
8001... 9000:{256, 56, 5,656 ,14 ,13}
9001...10000:{284, 54, 3,623 ,27 , 9}
10001...11000:{254, 49, 6,645 ,30 ,16}
11001...12000:{236, 51, 9,653 ,32 ,19}
12001...13000:{252, 52, 5,664 ,15 ,12}
13001...14000:{240, 61, 6,646 ,31 ,16}
14001...15000:{272, 51, 6,642 ,20 , 9}
15001...16000:{237, 45, 6,661 ,34 ,17}
16001...17000:{227, 58, 7,668 ,22 ,18}
17001...18000:{257, 47, 5,647 ,30 ,14}
18001...19000:{247, 57, 5,653 ,23 ,15}
19001...20000:{231, 60, 7,666 ,25 ,11}
...
\sourceoff
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cramilu
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| Beitrag No.194, eingetragen 2021-10-10
|
Wow! Danke abermals - Du bist flott 😉
Ich habe das einmal umgeordnet:
\sourceon ASCII
{[1599 abs.;%],[1137 abs.;%],[1197 abs.;%],[12089 abs.;%],[1379 abs.;%],[Rest abs.;%]}
bis 1.000 : {[ 679;67,900],[ 245;24,500],[ 41; 4,100],[ 14; 1,400],[ 5; 0,500],[ 16; 1,600]}
bis 2.000 : {[1341;67,050],[ 482;24,100],[ 95; 4,750],[ 32; 1,600],[ 15; 0,750],[ 35; 1,750]}
bis 3.000 : {[1990;66,333],[ 733;24,433],[ 146; 4,867],[ 57; 1,900],[ 26; 0,867],[ 48; 1,600]}
bis 4.000 : {[2640;66,000],[ 975;24,375],[ 201; 5,025],[ 89; 2,225],[ 33; 0,825],[ 62; 1,550]}
bis 5.000 : {[3275;65,500],[1244;24,880],[ 255; 5,100],[ 107; 2,140],[ 43; 0,860],[ 76; 1,520]}
bis 6.000 : {[3932;65,533],[1504;25,067],[ 310; 5,167],[ 121; 2,017],[ 47; 0,783],[ 86; 1,433]}
bis 7.000 : {[4578;65,400],[1751;25,014],[ 365; 5,214],[ 149; 2,129],[ 54; 0,771],[ 103; 1,471]}
bis 8.000 : {[5214;65,175],[2013;25,163],[ 425; 5,313],[ 173; 2,163],[ 58; 0,725],[ 117; 1,463]}
bis 9.000 : {[5870;65,222],[2269;25,211],[ 481; 5,344],[ 187; 2,078],[ 63; 0,700],[ 130; 1,444]}
bis 10.000 : {[6493;64,930],[2553;25,530],[ 535; 5,350],[ 214; 2,140],[ 66; 0,660],[ 139; 1,390]}
bis 11.000 : {[7138;64,891],[2807;25,518],[ 584; 5,309],[ 244; 2,218],[ 72; 0,655],[ 155; 1,409]}
bis 12.000 : {[7791;64,925],[3043;25,358],[ 635; 5,292],[ 276; 2,300],[ 81; 0,675],[ 174; 1,450]}
bis 13.000 : {[8455;64,038],[3295;25,346],[ 687; 5,285],[ 291; 2,238],[ 86; 0,662],[ 186; 1,431]}
bis 14.000 : {[9101;65,007],[3535;25,250],[ 748; 5,343],[ 322; 2,300],[ 92; 0,657],[ 202; 1,443]}
bis 15.000 : {[9743;64,953],[3807;25,380],[ 799; 5,327],[ 342; 2,280],[ 98; 0,653],[ 211; 1,407]}
\sourceoff
Bis Startzahl 15.000 jedenfalls scheint sich das
tatsächlich "einzupendeln":
1599: ca. 65 % (grob knapp zwei Drittel)
1137: ca. 25 % (grob ein Viertel)
1197: ca. 5,25 % (grob ein Neunzehntel)
12089: ca. 2,25 % (grob ein Vierundvierzigstel)
1379: ca. 0,67 % (grob ein Hunderfünfzigstel)
Rest: ca. 1,4 % (grob ein Siebzigstel)
So in etwa hatte ich mir das tatsächlich gedacht!
Damit sollte es mit 1599, 1137, 1197 und 12089
vier wesentlich beitragende "Einmündungen" geben
sowie ggf. unter den anderen fünfundzwanzig Stück
sogar welche, die irgendwann selber gar nichts mehr
oder zunehmend weniger "einfangen"...
Also sind die vier "Haupteinmündungen" in meiner
Grafik farblich oder von der Schriftgröße her
noch deutlicher hervorzuheben.
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pzktupel
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 | Beitrag No.195, eingetragen 2021-10-10
|
Habe mir mal die tolle Graphik von cramilu durchgeschaut.
Wie ist jetzt der Stand der Dinge ?
Landen alle nat. Zahlen in diesem Kreis oder sucht man nach weiteren Kreisen ?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.193 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.196, eingetragen 2021-10-10
|
\quoteon(2021-10-09 17:02 - cramilu in Beitrag No. 190)
Und was zum neunmal verfluchten Geier
hat es bloß mit diesen neunundzwanzig
Periodenzahlen besonderes auf sich??? 🙄
EDIT
\quoteoff
cramilu, du sollst doch nicht so viel fluchen
es hat nüscht mit den 29 zahlen auf sich
betrachte doch mal alle zahlen aufgeschrieben in ihrer primfaktor zerlegung, dann sieht auch jede zahl anders aus und es kommt dabei schlicht jedwede permutation aller denkbaren primzahlen inkl. beliebig mehrfachen vor
die runterregel von gonz ist, ja zweischrittig:
1) streich von der primfaktorzerlegung die kleinste durch, und
2)ja was ist dann der zweite schritt, also die eins davor stellen in primfaktoren beschrieben?
darum geht es, wie verändert sich die primfaktorzerlegung wenn man ne eins davor haben möchte...
einfacher fall wenn es eine primzahl mit ner 1 am beginn ist und noch ne eins davor immer noch ne primzahl... 1399-->11399
jetzt die zurückregel[z] oder "raufregel"(rauf wegen rauf dir die haare):
1z) schreib eine weiteren primfaktor davor der <=dem kleinsten vorhandenem primfaktor sein muss
2z) veränder die primfaktorzerlegung derart dass die erste 1 verschwindet
darum geht es also in wirklicher noch grösserer echtigkeit,
wie muss jede primfaktorzerlegung verändert werden dass die start 1 verschwindet?...
einfacher fall nur wenn es schon eine zahl ist die mindestens zwei 1er vorne hat und nach streichung ne primzahl wird ...
111399 -->11399 ... 11399 --> 1399
und dann geht es nur noch darum: wieso kann man aus der 1399 (kleinste primzahl in der schleife,) durch wiederholtes abwechselndes anwenden der zurückregeln 1z)2z) jede [JEDE*] permutation also genauer "jedwede permutation aller denkbaren primzahlen inkl. beliebig mehrfachen herstellen", also rückwärts jede beliebige zahl generieren
*[JEDE] excl. deer wenigen "5;10;15;25;50;75;125" türlich
sogesehen nur drei einfache fragen zum auf- ab- oder um-bau der struktur von primfaktorzerlegungen wenn man ne eins davor stellen[2)]oder eliminieren [2z)] möchte
da 1z) oft mehrere möglichkeiten hat, die umgedreht als 1) aber immer eindeutig sind eignet sich das ganze sehr gut zum verschlüsseln ähnlich der RSA methode, und unterliegt also ab sofort strengster geheimniskrämerei äh geheimnisgonzerei
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.193 begonnen.]
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pzktupel
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| Beitrag No.197, eingetragen 2021-10-10
|
Wie weit ist man mit der 209 ?
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Slash
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| Beitrag No.198, eingetragen 2021-10-10
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\quoteon(2021-10-10 09:53 - haribo in
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pzktupel
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| Beitrag No.199, eingetragen 2021-10-10
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