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Mathematik » Topologie » Rezept zur Erhaltung der kleinsten Topologie.
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Universität/Hochschule J Rezept zur Erhaltung der kleinsten Topologie.
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-09-27 19:20

Hallo Zusammen Wir haben heute eine Proposition kennengelernt, die wie folgt lautet: Sei \(S\subset P(M)\) eine Teilmenge der Potenzmenge von M, die \(\emptyset, M\) enthält. Wir wissen dass es genau eine Topologie \(T(S)\) gibt welche S beinhaltet und "corser" (weiss nicht was das auf deutsch heisst) ist, denn jede andere Topologie. Wir erhalten \(T(S)\) durch folgende zwei Schritte: 1) Nimm alle endlichen Durchschnitte von Teilmengen von S 2) Nimm alle Vereinigungen der Teilmengen, die du in 1) erhalten hast. Leider haben wir dazu kein Beispiel gelöst, also dachte ich mir ich mache mir kurz selbst ein einfaches Beispiel, bin mir aber nicht sicher ob das so korrekt ist. Beispiel: Ich wähle \(M=\{1,2\}\) dann gilt \(P(M)=\{\emptyset, M,\{1\},\{2\}\}\). Ich wähle nun \(S=\{\emptyset, M,\{1\}\}\). Nun mache ich den Schritt 1: Hier sind die endlichen Durchschnitte von Teilmengen von S: \(\emptyset,M,\{1\}\) Nun mache ich den Schritt 2: Ich erhalte folgende Vereinigungen: \(\emptyset,M,\{1\}\) heisst das nun, dass \(T(S)=\{\emptyset,M,\{1\}\}\)? Irgendwie denke ich habe ich hier einen Fehler denn meines Erachtens ist die kleinste Topologie die M beinhaltet \(\{\emptyset,M\}\). Doch ich sehe den Fehler nicht ganz. Könnte mir da jemand helfen?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-27 19:31

Hallo Strandkorb, wie Du schon richtig ausgerechnet hast, ist \(T(S)=S\). Dies liegt daran, dass \(S\) bereits eine Topologie ist. Die kleinste Topologie welche \(\{M\}\) enthält ist \(\{\emptyset, M\}\), das stimmt. Dies wäre aber \(T(\{M\})\) und Du hast ja \(T(S)\) berechnet. "Coarser" wird übrigens mit "gröber" übersetzt.


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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-27 19:33

Hallo Sonnenschein96 Ah ja das macht Sinn, an das habe ich nicht gedacht, vielen Dank!


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