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Universität/Hochschule Koeffizienten einer Fourierreihe ermitteln
Drgglbchr
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  Themenstart: 2021-10-11

Hallo Leute! Bräuchte bitte einen Tipp wie ich die Koeffizienten einer Fourierreihe ermitteln kann, um dann Integrale explizit auszuwerten.. Konkret geht es um dieses Problem: $- \triangle u + \nabla p = f$ $\nabla u = 0$ Auf einem Modellgebiet $\Omega = (0,L) \times (0,1)$ Und als Ansatz für u und p habe ich: $u(x,y) = \Sigma_{i,j} u_{i,j}\ sin(i \Pi Lx)\ sin(j\Pi y)$ $p(x,y) = \Sigma_{i,j} p_{i,j}\ sin(i \Pi Lx)\ sin(j\Pi y)$ Mein erster Gedanke war $u(x,y)$ in $\nabla u = 0$ einzusetzen... Lg Drgglbchr


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-12

Hallo Drgglbchr, wegen Deiner Ansätze vermute ich, dass es homogene Randbedingungen für $u$ und $p$ gibt. Stimmt das? Was ist über $f$ bekannt? Bevor Du die Ansätze in die zweite Gleichung einsetzt, würde ich versuchen, die zweite Gleichung in die erste einzusetzen. Servus, Roland PS: Der $\LaTeX$-Befehl für $\sin(x)$ ist \sin(x), damit wird die Funktion so dargestellt, wie Donald Knuth das wollte. Das Symbol $\pi$ für die Kreiszahl erhältst Du mit \pi.


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Drgglbchr
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13

Hallo rlk! Vielen Dank für die Antwort :) Ja, es gibt homogene Randbedingungen. Über f ist mir nichts bekannt. Ich soll einfach allgemein die Koeffizienten ermitteln und dann verschiedene Funktionen für f ausprobieren und $H^1$ und $L^2$ Norm ermitteln. (Also durch einsetzen der Reihendarstellung ins Integral.) Ich hatte mit der zweiten Gleichung begonnen, weil ich in der ersten ja die $p_{i,j}$ dazukommen.🤔


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-18

Hallo Drgglbchr, ist $u$ ein Skalar- oder ein Vektorfeld? Davon hängt die Form von $\nabla u$ ab. Der vollständige Text der Aufgabe wäre nützlich, um Fehlinterpretationen zu vermeiden. Servus, Roland


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Drgglbchr
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18

Hallo rlk! Also ganz konkret soll ich die Entwicklung der Fourierreihe für $l=1,2$ ansehen, wobei $u^{(l)}(x,y)= \Sigma_{i,j} u_{i,j}^{(l)} \sin(i \pi L x) \sin(j \pi y)$ Aber ich wollte mal mit $l = 1$ starten und mir erst danach Gedanken um $l = 2$ machen. Bin für jede Hilfe dankbar :) Lg, Drgglbchr


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-21

Hallo Drgglbchr, wenn mit $u^{(1)}$ ein skalares Vektorfeld, also eine Funktion $\IR\to\IR^2$ gemeint ist, dann ist doch $$\nabla u^{(1)}=\operatorname{grad}u^{(1)}=\pmatrix{\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x}\\ \frac{\partial u^{(1)}}{\partial y}}$$ Aus $\nabla u^{(1)}=0$ folgt dann, dass $u^{(1)}$ konstant ist, wegen der Randbedingungen hat es den Wert 0. Interessanter wird es für $\ell=2$. Servus, Roland


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Drgglbchr
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-21

Ich versuche gerade für $l=2$ die Koeffizienten mithilfe von Mathematica zu berechnen. Ich habe die Koeffizienten der beiden Reihen erstmal allgemein als Array angesetzt. Dann habe ich versucht mithilfe von Solve[] Lösungen zu finden. (Als gleichungssystem verwende ich natürlich die mir bekannten bedingungen und als variablen die arrays) Jedoch funktioniert das nicht.. Wie muss ich vorgehen? Lg


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