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Mathematik » Stochastik und Statistik » schöne Treppenfunktionen liegen dicht in L_p
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Universität/Hochschule schöne Treppenfunktionen liegen dicht in L_p
Ak_1023
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.04.2021
Mitteilungen: 8
Wohnort: Tirol
  Themenstart: 2021-10-12

Moin Matheplanet, ich hätte mal wieder eure Hilfe gebraucht, es geht um folgendes Problem: Wir nennen eine Treppenfunktion schön, wenn \(f=\sum_{i=1}^{n} a_i\mathbb{1}_{A_i}\) mit \(A_i\) Intervalle. Ich soll nun zeigen, dass in \(L_p(\mathbb{R},\mathcal{B},\mu) \) mit dem Lebesgue-Stieltjes Maß \(\mu\) die schönen Treppenfunktionen dicht liegen. Weiters darf ich annehmen, dass die \(a_i\) und die Endpunkte der Intervalle \(A_i\) rational sind, also \(L_p(\mu) \) separabel ist. Ich muss nun ja zeigen, dass \(\forall f \in L_p\) \(\exists t_n\) schöne Treppenfunktion sodass \( t_n -> f \) Da ich weiß das \(L_p\) separabel ist gilt \(\overline{\cup_{i=1}^{n}B_i}=L_p\) Daher ist es nun naheliegend das die \(A_i\) etwas mit meinen \(B_i \) zu tun haben (aber wie?). Ich weiß zudem, dass, wenn \(t_n\) eine schöne Treppenfunktion ist, \( ||t_n||_p^p =( \int_{}^{} \) \(|t_n|^p d \mu )= \sum_{i=1}^n |x_i|^p \mu(A_i)=\sum_{i=1}^n |x_i|^p (F(b_i)-F(a_i)) \) wobei \(A_i=(a_i,b_i]\) und somit \( \lim_{n\to\infty} ||t_n||_p^p =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n |x_i|^p (F(b_i)-F(a_i)) \) mir ist jedoch nicht ganz klar wie ich nun den zusammenhang zu \(||f||_p^p= \int_{}^{} \) \(|f|^p d \mu \) herstelle. Über jegliche Hilfe würde ich mich sehr freuen! LG Ak


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