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Universität/Hochschule Aussage beweisen - Anfänger
FragginFerret
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.10.2021
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2021-10-21

Hallo, habe gerade angefangen Mathe zu studieren und falle aus allen Wolken. Bin schon einige Jahre aus der Schule raus und gänzlich überfordert Folgende Aufgabe soll ich beweisen und habe keine Idee wie ich vorgehen soll. Freue mich über jede Hilfe! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55036_Screenshot_2021-10-21_181437.jpg Vielen Dank fürs lesen und liebe Grüße - ein blutiger Anfänger


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LetsLearnTogether
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Dabei seit: 27.06.2021
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-21

Hallo, zeigen musst du hier eine Mengengleichheit. Ist dir das bewusst? Wie zeigt man Mengengleichheit, was ist dafür zu tun? Schlage die entsprechenden Definitionen nach. Was bedeutet etwa $f^{-1}(U\cap V)$? Wie ist diese Menge definiert?


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FibreBundle
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-21

Willkommen auf dem Matheplaneten! Ich stelle dir ein paar Fragen, die dir vielleicht helfen deine Gedanken zu ordnen. Nicht abschrecken lassen. 1) Kennst du Mengen? (Ist keine einfache Frage, aber vorerst reicht dir wahrscheinlich die naive Mengenlehre.) 2) Kennst du Teilmengen? 3) Kennst du Mengendurchschnitt und Mengenvereinigung? 4) Kennst du Abbildungen, Definitionsmenge, Bildmenge und Urbildmenge? 5) Kennst du Beweismethoden? Direkt, Widerspruch, Kontraposition? 6) Wie zeigt man $A=B$, wenn $A$ und $B$ Mengen sind? 7) Kennst du das Symbol $\subseteq$ bzw. $\supseteq$?


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FragginFerret
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

@FibreBundle Ich kenne all diese Begriffe. Weiß nur nicht wie ich vorgehen soll, da wir nur ein Beispiel zu Beweistechniken hatten. Meine Idee wäre die Eigenschaften für ein beliebiges Element x, das Element des Urbildes von U und v ist, zu definieren. Dann auf beiden Seiten des Äquivalenz-Zeichens zu zeigen, durch umstellen und umformulieren, dass die gleichen Eigenschaften gelten. Also bis Urbild von U und Urbild von V rechts steht. Macht das Sinn?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-23

Huhu FragginFerret, ich würde dir denn diesen Artikel sehr empfehlen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805 Dein Anfang klingt doch gut: \(\displaystyle x\in f^{-1}(U \cup V)\iff f(x)\in U\cup V \iff \ldots \iff x\in f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)\) Gruß, Küstenkind


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FibreBundle
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-23

Klingt schon mal gut. Kommst du mit dem Tipp von Kuestenkind weiter? Sonst kannst du auch systematisch an die Sache rangehen. Teil 1) Erst $A\subseteq B$ zeigen. Da müsstest du dann im nächsten Schritt zeigen: $\forall x \in A: x\in B$. Dann macht man den Ansatz: sei $x\in A$ beliebig. Zu zeigen $x\in B$. Teil 2) Danach zeigst du $B\subseteq A$: $\forall x\in B : x\in A$. Dann macht man wieder den Ansatz: sei $x\in B$ beliebig. Zu zeigen $x\in A$. Teil 3) Zusammen ergibt das dann $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$. Natürlich ist das nur ein Schema für $A=f^{-1}(U\cup V)$ und $B=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$. Aber die Details überlasse ich vorerst dir.


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FragginFerret
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

@Kuestenkind Das war sehr hilfreich! Konnte die Aufgabe a) nun super lösen!😁 Hänge noch bei der Aufgabe b) ab der Stelle mit der Teilmenge.😵 Danke für den Lesetipp. den werde ich mir morgen mal durchlesen. Liebe Grüße und vielen lieben Dank! <3


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Kuestenkind
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-23

\quoteon(2021-10-23 21:54 - FragginFerret in Beitrag No. 6) Hänge noch bei der Aufgabe b) ab der Stelle mit der Teilmenge.😵 \quoteoff Welche Funktionen \(g\) und Mengen \(U\) und \(V\) hast du denn schon so probiert? Oder hast du nur auf die Aufgabe gestarrt und auf eine Eingebung gehofft? Das wäre schlecht. Gruß, Küstenkind


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FibreBundle
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-24

Fehlt dir zur Teilaufgabe b der Beweis und das Gegenbeispiel? Beim Beweis musst du zeigen, dass $g(U\cap V)\subseteq g(U)\cap g(V)$, also: $\forall y \in g(U\cap V): y \in g(U)\cap g(V)$. Der Ansatz ist wieder: Sei $y\in g(U\cap V)$ beliebig. Zu zeigen ist damit $y \in g(U)\cap g(V)$. Danach ist die Bildmengen-Definition zu verwenden und dann steht da $y\in\{g(x): x\in U\cap V\}$ gegeben und zu zeigen $y \in \{g(x) : x \in U\} \cap \{g(x): x\in V\}$. Dann musst du nur noch die $\cap$-Definition einsetzen. ... Für das Gegenbeispiel zum $=$ wähle eine nicht-injektive Abbildung $g$.


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FragginFerret
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Danke für die Hilfe :)


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Triceratops
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Wohnort: Berlin
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-31

Die Annahme, dass $M$ nichtleer sein soll, wird nicht benötigt (und ist auch irreführend; es suggeriert ja, dass das irgendwo eingehen muss). https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906


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