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Universität/Hochschule J Höhere Kategorien: Komposition mit Identität
Kezer
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  Themenstart: 2021-11-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Hi, ich habe Probleme mit Aufgabe 23 in Lands "Introduction to Infinity-Categories". Zunächst nenne ich mal die notwendigen Begriffe: - Die $n$-Spine ist die simpliziale Menge $I^n \hookrightarrow \Delta^n$, dessen $k$-Simplizes die Funktionen $f:[k] \to [n]$ mit Bild von der Form $\{j \}$ oder $\{j,j+1 \}$ sind. - Ein composer ist eine simpiziale Menge $X$, sodass Morphismen $I^n \to X$ sich über $I^n \to \Delta^n$ erweitern lassen. - Morphismen $f:x \to y$ in $X$ sind $1$-Simplizes mit $d_1(f) = x$ und $d_0(f) = y$. - Wir schreiben $\mathrm{id}_x = s_0(x) : x \to x$. - Seien $f:x \to y$ und $g:y \to z$ zwei Morphismen in $X$. Sie induzieren eine Abbildung $I^2 \to X$. Eine Komposition von $f$ und $g$ ist eine Erweiterung von $I^2 \to X$ auf $\Delta^2 \to X$, bzw. manchmal auch nur der neue $1$-Simplex $\Delta^{\{0,2 \}} \to X$. Problem. Sei $X$ ein composer und $f:x \to y$ ein Morphismus in $X$. Zeige: Dann ist $f$ eine Komposition von $\mathrm{id}_x$ und $f$. Da $X$ ein composer ist, gibt es eine Komposition von $\id_x$ und $f$, aber wie bekommt man, dass $f$ die Komposition sein muss? Ich habe auch versucht etwas einem Lift von $I^3 \to X$ anzufangen, aber das hat mir bisher nicht geholfen. Wenn $X$ die "inner $3$-horn lifting property" hätte, kann ich es glaube ich beweisen, aber das hat $X$ im Allgemeinen nun mal nicht. Habt ihr eine Idee?\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Ok, ich weiß gerade überhaupt nicht, womit ich vor zwei Wochen Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe hatte. Ich vermute mal, ich wollte irgendwie die "composer" Eigenschaft benutzen, aber diese ist bloß gegeben, da Kompositionen nur für composer definiert wurden. Die Komposition $f \circ \id_x$ ist gegeben durch das Dreieck mit den Ecken $x,x,y$ und Kanten $\id_x, f, f$, was unmittelbar $f$ als eine Komposition von $\id_x$ und $f$ wiedergibt. (Ich bin zu faul, hier ein Bild zu zeichnen...) Rigoros: Das $2$-Simplex $s_0(f) \in X_2$ definiert eine solche Komposition und man erhält die Kanten über die üblichen simplizialen Identitäten. Analog liefert $s_1(f)$ die Komposition $\id_y \circ f = f$.\(\endgroup\)


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Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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