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Universität/Hochschule J Symmetrische Matrix und Nabla-Operator
Mathekitti
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  Themenstart: 2021-11-23

Huhu, ich habe heute dieses Arbeitsblatt in meiner Analysis Vorlesung bekommen und komme mit Aufgabe 3 nicht zurecht. Ich verstehe ja richtig hoffentlich, dass ich alle x_0 bestimmen soll, sodass die Funktion den Gradienten 0 hat. bei f ist ja eine Billinearform angegeben, muss ich da dann erst das Skalarprodukt von a und Ax bilden oder wie muss ich hier vorgehen, ich bin da leider überfragt.... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_3.JPG


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Bozzo
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25

Hallo Mathekitti, willkommen auf dem Matheplanet! Der Gradient besteht aus den ganzen partiellen Ableitungen \(\frac {\partial}{\partial x_i} f(x)\), die sich nach den ganz normalen Ableitungsregeln im 1-dimensionalen berechnen. Du kannst auf diese Art entweder direkt den Gradienten komponentenweise bestimmen (und das Ergebnis versuchen, wieder in Vektorschreibweise zu "uebersetzen"), oder du leitest dir lauter kleine Vektor-Ableitungs-Regeln her, wie z. B. \(\nabla \langle x, y\rangle = y\) oder die Poduktregel (bzw. schlaegst sie irgendwo nach) und benutzt diese dann, um das Ergebnis etwas "eleganter" im Vektor-Matrix-Kalkuel zu bestimmen. Im letzteren Fall solltest du dich daran erinnern, dass der Gradient die transponierte Jakobi-Matrix \(\nabla f(x) = [Df(x)]^T\) ist, denn die Regeln fuer die Jakobi-Matrix sind etwas "kompletter" (man kann auch vektorwertige Funktionen ableiten) und (zumindest fuer mich) auch etwas eingaenglicher. Viele Gruesse Bozzo


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Mathekitti
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26

Hey, danke für Deine Antwort. Das Prinzip des partiellen Ableitens habe ich verstanden und auch eigentlich wie die Jacobi Matrix aufgestellt wird. Bei einer anderen Aufgabe, gab es f1 und f2 und jeweils zwei Variablen t_1 und t_2 und da hat dann die erste Zeile, die Ableitungen von f1 jeweils zuerst nach t_1 und dann nach t_2 gebildet. Da hatte ich aber auch eine genaue Funktion und 2 Variablen gegeben. Ich und mein Freund verstehen bei dieser Aufgabe aber leider nicht, wie genau die Funktion aussieht ( also wie wir sie aufschreiben sollen) und somit auch erstmal nicht wie wir sie ableiten. Wenn wir das wüssten, können wir vielleicht mehr zur Lösung beitragen... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_6.JPG


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Bozzo
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-26

Vlt. hilft es euch, die Funktion in Summenschreibweise auszuschreiben. Z. B. \(y_i = \sum_{k=1}^n a_{ik} x_k\) statt \(y = Ax\) oder \(\sum_{k=1}^n x_k y_k\) statt \(\langle x, y\rangle\). Dann kommen die einzelnen Variablen, nach denen abgeleitet werden muss besser heraus. Wenn euch die vielen Indizes durcheinander bringen, dann am besten ein zwei kleine Beispiele im 2- oder 3-dimensionalen machen (also A als 2x2-Matrix oder 3x3-Matrix) und sich an denen entlanghangeln.


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Mathekitti
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26

Super, danke Dir:) Wenn ich Sonntag wieder zu Hause bin werde ich das probieren und ich hoffe, dass ich dann nochmal auf Dich zurückkommen kann. Montag ist leider schon die Abgabe des Blattes. Schönes Wochenende schonmal und Danke


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Mathekitti
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Huhu, wir saßen jetzt nochmal an dem AB weil es auch bis heute Abend fertig sein muss, aber wir kommen leider nicht wirklich zu einer Lösung...... Ich füge einfach mal unseren Ansatz hinzu. Und wir fragen uns auch, ob nicht auf dem AB nicht ein Fehler ist, da dort x hoch 0 anstatt x_0 steht. Ich habe auch noch eine andere Aufgabe beigefügt mit der wir uns schwer tun. Über eine Erklärung der Aufgaben wären wir sehr froh:) Wir verstehen nicht, wie wir hier partiell ableiten sollen, sodass wir am Ende Grad 0 herausbekommen... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_10.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_11.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_12.JPG


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 17:03 - Mathekitti in Beitrag No. 5) Und wir fragen uns auch, ob nicht auf dem AB nicht ein Fehler ist, da dort x hoch 0 anstatt x_0 steht. \quoteoff Das ist kein Fehler. Man schreibt $x^0$ und nicht $x_0$, damit man nicht auf die Idee kommt, dass die $0$ ein Index ist. Das hat nichts mit einer $0$-ten Potenz zu tun. \quoteon(2021-11-28 17:03 - Mathekitti in Beitrag No. 5) Ich füge einfach mal unseren Ansatz hinzu. \quoteoff Dieser Ansatz ist leider schon nach dem ersten "$=$" falsch, da $\langle x,Ax\rangle$ nicht korrekt in Komponenten hingeschrieben ist. \quoteon(2021-11-28 17:03 - Mathekitti in Beitrag No. 5) Ich habe auch noch eine andere Aufgabe beigefügt mit der wir uns schwer tun. \quoteoff Diese Aufgabe kann man eigentlich nach dem gleichen Schema angehen: In Komponenten hinschreiben, partiell differenzieren und dabei auf Produkt- und Kettenregel zurückgreifen. Da bei beiden Aufgaben die Ableitung der Norm eine Rolle spielt, schreibe ich dafür diese Schritte mal hin:$$ {\partial\over\partial x_k}\,\|x\| = {\partial\over\partial x_k}\left[\sum_{i=1}^nx_i^2\right]^{\frac12} = \frac12\,\left[\sum_{i=1}^nx_i^2\right]^{-\frac12}2x_k = {x_k\over\|x\|} $$--zippy


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Mathekitti
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Hey, schonmal danke Dir:) Wir kommen glaube ich noch nicht wirklich mit der Komponentenschreibweise zurecht... Wäre, das hier erstmal richtig ? Und wenn ja, wie seiht das ganze dann in Summenschreibweise aus, da ich glaube ich ohne ja garnicht partiell integrieren werden kann. Wir sind da gerade etwas überfordert.... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_13.JPG


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 19:15 - Mathekitti in Beitrag No. 7) Wäre, das hier erstmal richtig ? \quoteoff Nein, denn das würde ja bedeuten, dass $a_{11}\,x_1$ die erste und $a_{22}\,x_2$ die zweite Komponente des Matrix-Vektor-Produkts $Ax$ wären. Tatsächlich ist aber die $k$-te Komponente $\sum_{i=1}^na_{ki}\,x_i$.


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Bozzo
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-28

Das passt leider auch noch nicht so ganz. Probiert es doch erst mal mit einer 2x2 oder 3x3 Matrix ganz konkret. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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Mathekitti
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Hey, das wollte ich natürlich nicht ausdrücken. Ich wollte ausdrücken, dass Vektor x mit dem 1 spaltigen Vektor Matrix Produkt multipliziert wird und dann dementsprechend 1 Komponente mal 1 Komponente ----- bis hin zur nten Komponente mal nten Komponente. Diese Schreibweise hier fühlt sich immer noch falsch an, geschweige denn weiß ich nicht, wie ich hier differenzieren soll.... Bisher waren es immer klare Funktionen bei denen man die einzelnen Variablen hatte und nicht n mögliche... Wir blicken gerade nicht durch die Funktionsweise dieser Aufgabe durch.... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_14.JPG


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_15.JPG Wir haben es hier mal mit einer 2x2 probiert und hoffen, dass es richtig ist, wie das aber dann mit der Schreibweise für nxn Matrizen ist und wie wir vorgehen, wissen wir leider immer noch nicht


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zippy
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 19:49 - Mathekitti in Beitrag No. 11) Wir haben es hier mal mit einer 2x2 probiert und hoffen, dass es richtig ist \quoteoff Das ist richtig. Für den allgemeinen Fall würde ich empfehlen, erstmal das Zwischenergebnis $y=Ax$ einzuführen, wie das Bozzo bereits in Beitrag Nr. 3 getan hat.


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Mathekitti
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Ich habe jetzt versucht es allgemein zu schreiben. Ich bräuchte hier ja die Quotientenregel und die Ableitung von der Norm habe ich ja schon von Dir. Aber wie ich den oberen Teil ableite und das allgemein für x_k mache, weiß ich gerade wirklich nicht. Produkt und Kettenregel kenne ich zwar, aber muss ich vielleicht noch im Zähler was anders aufschreiben, damit die Produktregel hier überhaupt sinn macht. Und wie trage ich hier noch der partiellen Integration zu Gute.... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_16.JPG


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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-11-28

Die 4. Zeile ist leider schon wieder falsch, weil der Ausdruck, den du für $y_k$ einsetzt, nicht $y_k$, sondern $y_i$ ist. Ein Indiz dafür, dass etwas schief geht, ist, dass der Summationsindex $k$ zweimal auftaucht.


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Also ersetze ich a_ik * x_k durch a_i * x_i ? Ich hoffe das ist dann so richtig, aber wie gehe ich denn jetzt beim Ableiten vor ? Ich hoffe, dass wir die Aufgabe bis 22 Uhr noch erledigt bekommen..... Ich habe mich parallel auch an Aufgabe 4a probiert, aber da weiß ich weder ob mein Ansatz richtig ist, noch wie ich dann Anfange abzuleiten / ob ich die Norm bei beiden Aufgaben überhaupt umschreiben soll / muss oder nicht....


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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 20:28 - Mathekitti in Beitrag No. 15) Ich hoffe, dass wir die Aufgabe bis 22 Uhr noch erledigt bekommen..... \quoteoff Das ist über eine Stunde und sollte reichen, wenn du langsam, aber sorgfältig vorgehst. Du kannst deine Fehler selbst finden, indem du deine allgemeinen Formeln mit dem richtigen Ergebnis für den $2\times2$-Fall vergleichst. (Ich muss mich jetzt leider hier rausziehen.) \quoteon(2021-11-28 20:28 - Mathekitti in Beitrag No. 15) Ich habe mich parallel auch an Aufgabe 4a probiert, aber da weiß ich weder ob mein Ansatz richtig ist, noch wie ich dann Anfange abzuleiten / ob ich die Norm bei beiden Aufgaben überhaupt umschreiben soll / muss oder nicht.... \quoteoff Damit du dich auf die erste Aufgabe konzentrieren kannst, skizziere ich mal kurz den Anfang:$$ \operatorname{div}{x\over\|x\|^n} = \sum_{k=1}^n{\partial\over\partial x_k}{x_k\over\|x\|^n} = \sum_{k=1}^n\left[{1\over\|x\|^n}-n\,{x_k\over\|x\|^{n+1}} {x_k\over\|x\|}\right] = {n\over\|x\|^n}-n{\|x\|^2\over\,\|x\|^{n+2}\!}$$


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Danke für den Anfang, den werde ich später versuchen nachzuvollziehen, mich "regt" erstmal Aufgabe 2 auf... Wie fange ich denn überhaupt jetzt an... Ich möchte dass ja mithilfe der QUotientenregel ableiten, sowie du das bei Aufgabe 4a ja wahrscheinlich auch gemacht hast.... Mir bereiten die beiden Summationszeichen kopfschmerzen, weil wenn ich z.B. für den Zähler ( also u(x) in der Quotientenregel) die Ableitung bilden will, dann wäre das für mich erstmal so? Ich habe das Gefühl den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen und alles falsch aufzuschreiben... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_17.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_18.JPG


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Ich habe es leider nicht rechtzeitig geschafft, ich wäre jedoch sehr dankbar, wenn du mir die beiden Aufgaben erklären könntest, damit ich sie verstehe. Bei Aufgabe 2 verzweifele ich nach wie vor und bei Aufgabe 4 a konnte ich das Anwenden der Quotientenregel soweit nachvollziehen, jedoch nicht warum aus 1/ Norm(x)^n plötzlich n/ Norm(x)^n wurde. Das ich die beiden Brüche nur noch gleichnamig machen musste, habe ich dann doch geschafft.


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  Beitrag No.19, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 21:53 - Mathekitti in Beitrag No. 18) jedoch nicht warum aus 1/ Norm(x)^n plötzlich n/ Norm(x)^n wurde. \quoteoff Es ist $\sum_{k=1}^n{1\over\|x\|^n} = {n\over\|x\|^n}$, weil hier über einen von $k$ unabhängigen Term $n$-mal summiert wird. Völlig analog zu $\sum_{k=1}^n1=n$. \quoteon(2021-11-28 21:53 - Mathekitti in Beitrag No. 18) Bei Aufgabe 2 verzweifele ich nach wie vor \quoteoff Der Vektor $y=Ax$ hat die Komponenten $y_i=\sum_{j=1}^na_{ij}\,x_j$. Für das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt $\langle x,y\rangle= \sum_{i=1}^nx_i\,y_i$. Daher ist$$ \langle x,Ax\rangle = \sum_{i=1}^nx_i \left(\sum_{j=1}^na_{ij}\,x_j\right) = \sum_{i,j=1}^na_{ij}\,x_i\,x_j \;. $$Bei der Ableitung$$ {\partial\over\partial k}\; {\sum_{i,j=1}^na_{ij}\,x_i\,x_j\over\|x\|^2} = \sum_{i,j=1}^n{\partial\over\partial k} {a_{ij}\,x_i\,x_j\over\|x\|^2} $$kommt die Produktregel für ein Produkt aus drei Faktoren zu Einsatz: Die Ableitung des linken $x_i$ ist $1$ für $i=k$ und sonst $0$. Die Ableitung des rechten $x_j$ ist $1$ für $j=k$ und sonst $0$. Die Ableitung des Faktors $\frac1{\|x\|^2}$ ist nach der Kettenregel (vgl. Beitrag Nr. 6)$$ {\partial\over\partial k}\;{1\over\|x\|^2} = -2\,{1\over\|x\|^3}\,{x_k\over\|x\|} = -2\,{x_k\over\|x\|^4} \;. $$Damit haben wir insgesamt$$ {\partial\over\partial k}\; {\sum_{i,j=1}^na_{ij}\,x_i\,x_j\over\|x\|^2} = {\sum_{j=1}^na_{kj}\,x_j+\sum_{i=1}^na_{ik}\,x_i\over\|x\|^2} -2\,{\sum_{i,j=1}^na_{ij}\,x_i\,x_j\over\|x\|^4}\,x_k \;. $$Da $A$ symmetrisch ist, ist $\sum_{i=1}^na_{ik}\,x_i=\sum_{i=1}^na_{ki}\,x_i=\sum_{j=1}^na_{kj}\,x_j$. Die Ableitung vereinfach sich somit zu$$ {2\over\|x\|^2}\left[ \sum_{j=1}^na_{kj}\,x_j - {\sum_{i,j=1}^na_{ij}\,x_i\,x_j\over\|x\|^2}\,x_k \right] \;. $$Das ist die $k$-te Komponente des Vektors$$ {2\over\|x\|^2}\left[ A\,x - {\langle x,Ax\rangle\over\|x\|^2}\,x\right] \;, $$der folglich den Gradienten darstellt. Und dieser Gradient verschwindet genau dann, wenn der Inhalt der eckigen Klammer verschwindet, und das ist der Fall, wenn $x$ ein Eigenvektor von $A$ ist.


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Hey, das mit der Aufsummierung macht natürlich Sinn. Die Symmetrie der Matrix habe ich vollkommen ignoriert. Ich habe es bis zu dem Schritt der Ableitung noch so ähnlich hinbekommen, konnte aber mit den ganzen Indizes dann nicht mehr weiter rechnen. Danke für deine nette und geduldige Hilfe von uns Beiden und wir hoffen, dass wir uns bei weiteren Problemen nochmals an dich wenden können. Dir noch einen schönen Tag und nochmal vielen Dank. Mathekitti


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