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Ingenieurwesen » Elektrotechnik » Leistungsanpassung mit "matching network"
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Universität/Hochschule Leistungsanpassung mit "matching network"
Seligman
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  Themenstart: 2022-01-13

Guten Abend, ich hätte da folgende Frage zum grundsätzlichen Vorgehen bei Leistungsanpassung (nicht zu verwechseln mit LEITungsanpassung, wo reflektierte Wellen "gekillt" werden sollen; siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Anpassung_(Elektrotechnik)#Leistungsanpassung_(Wirkleistungsanpassung) ,wo auch die Unterschiede zwischen den beiden Prozeduren erläutert werden) Zum allgemeinen Setting: Angenommen, wir haben einen linearen Netzwerk, bestehend aus einer Quelle/"Source" mit Spannungsquelle $V_S$ and Impedanz $Z_S$ und Last/Verbraucher/ "Load" mit Impedanz $Z_L$. Beide Impedanzen können komplex sein. Hier die Ausgangsschaltung: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_MATCH_GER.png Unser Ziel ist es eine Leistungsanpassung zwischen dem Verbracher und der Quelle zu erreichen, damit maximalmögliche Leistung (obacht: das ist nicht dasselbe, wie die maximale Effizienz; vgl https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_power_transfer_theorem#Maximizing_power_transfer_versus_power_efficiency) von der Quelle zum Verbraucher transferiert wird. Bekanntlich lautet die hinreichende und notwendige Bedingung dafür $Z_S^*= Z_L$, daher die Quellimpedanz muss komplex konjugiert sein zur Verbracherimpedanz. Wenn das Netzwerk oben diese Bedeingung berets erfüllen würde, gäbe es nichts zu tun, die beiden Komponenten wären bereits "angepasst". Also gilt im Allgemeinen: $Z_S^* \neq Z_L$. Die geläufige Strategie, die mir bekannt ist, besteht darin, dass man zwischen der Quelle und Senke eine gewisse "Matching Box" einbaut, die den "Fehler" $Z_S^* \neq Z_L$ gewisserweise repariert, sofern die inneren Komponenten dieser Matching Box geeignet modeliert werden: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_Matching_BOX.png Der Vorteil besteht offensichtlich darin, dass wir lediglich die richtigen "Parameter" in der Matching box einstellen sollten, während die Impedanzen $Z_S$ und $Z_L$ "unberührt" bleiben dürfen. Das Problem wird so "modularisiert" und vollständig auf den Design der Matching Box reduziert. Was für Komponenten die Matching Box nun enthält, hängt stark vom konkreten Problem ab, was die Quelle und der Verbrauchen tatsächlich sind, mit welcher mittleren Frequenz das Netzwerk arbeiten soll, und und und. Das ist aber nicht der eigentliche Aspekt meiner Frage. Tatsächlich kann die Matching Box zB ein L- oder T-Netzwerk, aber auch ein weitaus komplizierteres Netzwerk, je nach Anforderungen. Nichtdestotrotz hat die Matching Box stets dasselbe Ziel, die Quelle mit dem Verbraucher zu "matchen" in Sinne, dass der Verbraucher maximalmögliche Leistung abzweigen kann. Meine Frage lautet wie folgt: Welche rein mathematische Bedigungen müssen in zweiten Netzwerk (also bestehend aus der Quelle, Matching Box und dem Verbraucher) erfüllt werden, damit die Quelle mit dem Verbraucher "gematched" wird. Also rein mathematische Bedingung. Was ich gelesen habe, ist dass man da für das neue Netzwerk zwei neue Hilfsgrößen einführt, die Eingangsimpedanz $Z_{in}$ und die Ausgangsimpedanz $Z_{out}$, die wie folgt in den beiden Ersatznetzwerken vorkommen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_Matching_ZIN_BOX_Ersatzschaltung.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_Matching_ZOUT_BOX.png Nun ergibt sich meine eigentliche Frage: Welche mathematische Gleichung(en) für die vorliegenden Impedanzen muss (oder müssen) als hinreichendes und notwendiges Kriterium erfüllt sein, um eine Leistungsanpassung zu bewirken? $ Z_S^* = Z_{in}$ oder $ Z_{out}^*=Z_L$, oder beide gleichzeitig? Eine wohl interessantere Frage wäre, ob die Bedingung $ Z_S^* = Z_{in}$ zu $ Z_{out}^*=Z_L$ äquivalent sei, im Sinne von wenn $ Z_S^* = Z_{in}$ erfüllt ist, dann folglich $ Z_{out}^*=Z_L$, und umgekehrt. Wenn ja, wie kann man das letztere formal beweisen? (Hintergrund: ich finde unter dem Stichwort "matching network" und "impedance matching maximal power transfer" viel Material, das die Bedingung $ Z_S^* = Z_{in}$ als notwendig & hinreichend proklamiert, seltener wird $ Z_{out}^*=Z_L$ genannt, aber nirgendwo werden beide verglichen oder gar deren von mir vermutete Gleichwertigkeit diskutiert.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-14

Hallo Seligman, das ist eine interessante Frage, so wie auch Deine anderen [1,2,3]. Wenn das Anpassungsnetzwerk verlustlos ist, also nur ideale Induktivitäten, Kapazitäten, Leitungen und Übertrager enthält, muss sowohl am Eingang als auch am Ausgang die Bedingung für Leistunganpassung erfüllt sein. Es gilt dann $Z_S^* = Z_{in}$ und $ Z_{out}^*=Z_L$. Wenn das Anpassungsnetzwerk verlustbehaftet ist, gilt das nicht mehr. Zwei einfache Beispiele sind $Z_S=R$, $Z_L=2R$ und die folgenden beiden Anpassungsnetzwerke: (1) ein Serienwiderstand $R$ und (2) ein Parallelwiderstand $2R$. Welche Werte haben $Z_{in}$ und $Z_{out}$ in diesen beiden Fällen? [1] https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=255759&post_id=1862828 Dort gibt es eine noch ungelesene Antwort. [2] https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=256431&post_id=1862584&start=0 [3] https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=256190&post_id=1861829&start=0 Servus, Roland


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Seligman
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15

Hallo Roland, danke für Deine Antwort. Ein Aspekt zum verlustfreien Anpassungsnetzwerk verstehe ich nicht ganz. Zunächst einmal müssen also in der Tat BEIDE Bedingungen simultan vom Anpassungsnetzwerk erfüllt werden, also sowohl $Z_S^*=Z_{in}$ als auch $Z_{out}^*=Z_L$. Allerdings stellt sich die Frage, ob in diesem Falle nicht bereits eine von beiden Bedingungen schon hinreichend ist, sodass wenn eine von beiden Bedingungenvom Anpassungsnetzwerk erfüllt wird, dann gilt automatisch die andere, oder sind es wirklich zwei VONEINANDER SEPARATE Bedingungen, um die man sich kümmern muss? Mit anderen Worten, muss man gleichzeitig versuchen die Komponenten des Anpassungsnetzwerks so justieren, dass die sowohl der Bedingung $Z_S^*=Z_{in}$ als auch $Z_{out}^*=Z_L$ genügen (also quasi als 2 Anpassungsprobleme) oder ist es eben so, dass im Falle von verlustfreien Netzwerken man eigentlich nur ein Problem lösen muss - das Anpassungsnetzwerk also NUR an eine der beiden Bedingungen $Z_S^*=Z_{in}$ oder $Z_{out}^*=Z_L$ matchen - und dann ist die andere Bedingung automatisch erfüllt, also aufwandtechnisch nur ein Problem? Also dass man da tatsächlich nur ein Anpassungsproblem loesen muss, das andere bekäme man quasi geschenkt. Oder ist dies auch für verlustfreie Anpassungsnetzwerke nicht immer der Fall und man muesste sich beide kuemmern? Zum verlustbehafteten Fall: Wenn ich nirgendwo einen Gedankenfehler gemacht habe (vgl meine Bemerkung unten), so bekommen wir für $Z_S=R$, $Z_L=2R$ in (1): Anpassungsnetzwerk = Serienwiderstand $R$ dann: $Z_{in}= 3R, Z_{out}= 3R$ und (2) Anpassungsnetzwerk = Parallelwiderstand $2R$: $Z_{in}= R, Z_{out}= \frac{2R}{3}$ Die Moral: Falls Anpassungsnetzwerk verlustbehaftet ist, kann es passieren, dass es unmöglich wird, $Z_S^*=Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ simultan zu erfüllt. Wolltest Du darauf hinaus? Bemerkung: bei Bestimmung von $Z_{out}$ schien es mir plausibel zu sein bei Widerstandsberechnung die Spannungsquelle komplett zu "ignorieren". Das scheint zu "funktionieren", aber ich frag mich, ob es ein formales Prinzip gibt, der diesen "Trick" gewisserweise rechtfertigt. (der Hintergrund ist, dass oefters gesehen habe, dass man das "so macht", aber nirgendwo die Regel auf die man sich dabei beruft) Weisst Du, ob da ein allgemeines Konzept dahintersteckt? Also dass man immer sowas machen "darf": https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Spannungsquelle_Kurzschliessen.png


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hightech
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-15

Hallo Seligmann, bei Deiner Frage bzw. Deinem Problem geht es um das Prinzip der konstanten Wirkleistung. Um die maximale Wirkleistung einer Quelle in eine Ohmsche Last eines komplexen Widerstandes zu übertragen spielt es absolut keine Rolle welche Werte die Ohmschen Widerstände der Quelle und der Last haben. Die können unterschiedliche Werte oder gleiche Werte haben, das ist egal. Voraussetzung ist aber, dass die Glieder der Matching Box nur Blindwiderstände enthalten und dass diese verlustfrei sind. Deine Frage nach dem Berechnungsprinzip: Es genügen in aller Regel 2 Blindwiderstände für die Matching Box. Wie die beiden Blindwiderstände in der Box geschaltet sind musst Du Dir vorher genau überlegen. Es leuchtet ein, dass ein kapazitiver Widerstand nicht mit einer Kapazität kompensiert werden kann usw.… (Bild 1) Hast Du Dich zu einer Schaltung für die Matchbox entschieden, dann kannst Du die beiden Blindwiderstände nach folgendem Prinzip berechnen: - entwickle eine Gleichung für den Eingangswiderstand der Matchbox bei Abschluß mit dem Lastwiderstand ZL. Dieser Eingangswiderstand muss den Wert des konjugiert komplexen Widerstandes der Quelle haben. (Bild 2) - entwickle anschließend eine Gleichung für den komplexen Ausgangswiderstand der Matching Box bei angeschlossener Quelle. Dieser muss den Wert des konjugiert komplexen Widerstandes der Last haben. (Bild 3) Mit diesen beiden Gleichungen kannst Du jetzt die gesuchten Blindwiderstände der Matching Box berechnen. Das ist algebraisch bestimmt keine einfache Aufgabe…. viel Spaß dabei! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Bild_3_verkleinert.jpg In Bild 4 habe ich mir ein Beispiel mit den angegebenen Werten ausgedacht und auch die Werte der beiden Matching Box Glieder angegeben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Bild_A2.jpg Gruß von hightech


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rlk
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-15

Hallo Seligman, ich habe den Fall des verlustfreien Anpassungsnetzwerks nicht berechnet, aber die folgende Überlegung scheint mir zu zeigen, dass die Bedingungen $Z_S^*=Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ immer gleichzeitig gelten. Wenn eine der Bedingungen erfüllt ist, findet an der entsprechenden Schnittstelle die bestmögliche Leistungsübertragung statt. Wegen der Verlustfreiheit des Anpassungsnetzwerks muss diese Leistung auch an der anderen Schnittstelle übertragen werden. \quoteon(2022-01-15 02:10 - Seligman in Beitrag No. 2) Zum verlustbehafteten Fall: Wenn ich nirgendwo einen Gedankenfehler gemacht habe (vgl meine Bemerkung unten), so bekommen wir für $Z_S=R$, $Z_L=2R$ in (1): Anpassungsnetzwerk = Serienwiderstand $R$ dann: $Z_{in}= 3R, Z_{out}= 3R$ und \quoteoff Nicht ganz, $Z_{out}= Z_S + R= 2R \neq Z_{in}$. \quoteon(2022-01-15 02:10 - Seligman in Beitrag No. 2) (2) Anpassungsnetzwerk = Parallelwiderstand $2R$: $Z_{in}= R, Z_{out}= \frac{2R}{3}$ \quoteoff In beiden Fällen ist die Bedingung für Leistungsanpassung an einer der beiden Schnittstellen verletzt, ich vermute, dass das bei verlustbehafteten Anpassungsnetzwerken immer so ist. Deine Methode, die Spannungsquelle für die Berechnung von $Z_{out}$ durch einen Kurzschluss zu ersetzen, ist korrekt. Sie ergibt sich aus der Definition des Innenwiderstands. Servus, Roland [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Seligman
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

Hallo Roland, ja, intuitiv ergibt das natürlich Sinn, die Frage ist, ob sich die Äquivalenz von Bedingungen $Z_S^*=Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ für verlustfreie Matching Box auch rein formal zeigen lässt. Meine Überlegung/Vermutung dazu: Könnte man zeigen, dass (falls das Netzwerk linear ist), JEDE Schaltung mit der Matching Box durch eine Ersatzschaltung eines besonders "einfachen" Typs, also sowas wie zB https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_Matching_BOX_Ersatzschaltung2.png ersetzen lässt, wobei Impedanzen $Z_1$ und $Z_2$ natürlich von der konkreten Mathing Box abhängen. Die Frage ist aber, ob so eine Ersatzschaltung stets möglich ist. Hat man erstmal eine solche, dann könnte man dies explizit für die Ersatzschaltung nachrechnen, und eben in die Rechnung die Annahme einbauen, das die Matching Box, folglich das Netzwerk der entsprechenden Ersatzschaltung verlustfrei ist. Aber ob so eine "universelle" Ersatzschaltung immer möglich ist, weiss ich nicht. \quoteon(2022-01-15 20:28 - rlk in Beitrag No. 4) Deine Methode, die Spannungsquelle für die Berechnung von $Z_{out}$ durch einen Kurzschluss zu ersetzen, ist korrekt. Sie ergibt sich aus der Definition des Innenwiderstands. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Könntest du vielleicht erläutern wie die "Rechtfertigung" für das Kurzschließen der Spannungsquelle für die Berechnung von $Z_{out}$ sich aus der Definition des Innenwiderstands ergibt? (Alternative Begründung dazu wäre auch das Superpositionsprinzip, indem man an der anderen Seite eine Testquelle einbauen würde und die ursprüngliche ausschalten, allerdings ist es natürlich interessant zu sehen, dass es bereits aus der Definition des Innenwiderstands geschlussfolgert werden kann)


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Seligman
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

Hallo hightech, danke für Deine aufschlussreiche Erläuterungen. Ich hab mich nach dem Durchlesen Deines Beitrag auch gefragt, ob man den Spiess "gewisserweise auch umkehren kann." Du hast ein Beispiel für eine konkrete Matching Box mit beiden Impedanzen $X_1, X_2$ angegeben und darauf deine Argumentation aufgebaut. (PS zu deinem Rechenbeispiel: \quoteon(2022-01-15 19:32 - hightech in Beitrag No. 3) Mit diesen beiden Gleichungen kannst Du jetzt die gesuchten Blindwiderstände der Matching Box berechnen. Das ist bestimmt algebraisch keine einfache Aufgabe…. viel Spaß dabei! Gruß von hightech \quoteoff Genau dafür gibt's ja die Smith Chart :) Aber ich frag mich folgendes: Könnte man nicht umgekehrt vorgehen? Also man startet mit einer beliebigen, sagen wir "abstrakten" Matching Box, deren Verhalten wir kennen aber die womöglich innen zu komplex ist (oder wir zu faul zum rechnen) und man ersetzt es durch eine Ersatzschaltung möglichst "einfacher" Gestalt, die die sich elektrisch natürlich genauso verhält wie die ursprüngliche Matching Box, hat aber wenige kontrollierbare Komponenten, zB eine Impedanz in Reihe, andere parallel (vgl das Beispiel oben in der Antwort an Roland) , jedenfalls - und das ist der Zweck - mit denen man EINERSEITS beliebige Matching Box ersetzen kann und ANDERSEITS konkrete Rechnung durchführen kann. Der Vorteil, die Resultate, die man bekäme, wären eben universell und nicht einfach nur auf eine spezifische Matching Box beschränkt. (vgl dazu: das ist genau dieselbe Idee, die ich oben in der Antwort an Roland skizziert habe, allerdings auch mit Bildchen). Kann das funktionieren oder ist es zu optimistisch? Der Knackpunkt ist ja, ob es IMMER eine Ersatzschaltung möglichst einfacher Form existiert, die die Matching Box ersetzt unabhängig für welche Matching Box man sich entschieden hat. Die Komponenten der Ersatzschaltung bleiben immer gleich, aber deren Werte hängen von der gewählten Matching Box - soweit die Idee...


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rlk
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-17

Hallo Seligman, zu Deiner ersten Frage werde ich später noch etwas schreiben. \quoteon(2022-01-16 01:24 - Seligman in Beitrag No. 5) Könntest du vielleicht erläutern wie die "Rechtfertigung" für das Kurzschließen der Spannungsquelle für die Berechnung von $Z_{out}$ sich aus der Definition des Innenwiderstands ergibt? \quoteoff Die Klemmenspannung einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung $U_0$ und der Quellimpedanz $Z_S$ ist \[ U = U_0 - Z_S I, \] wenn $I$ der aus der Quelle fließende Strom ist. Für $U_0=0$ beschreibt diese Gleichung das Verhalten einer Impedanz $Z_S$. Bei einer Stromquelle kann man den Fall $I_0=0$ betrachten, sie kann für die Berechnung der Quellimpedanz weggelassen werden. Solche Überlegungen rechtfertigen erst, dass man bei dem Überlagerungsverfahren von Helmholtz Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe ersetzen muss. Servus, Roland


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hightech
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-17

Hallo Seligmann, zu Deiner Frage: "... muss man gleichzeitig versuchen die Komponenten des Anpassungsnetzwerks so justieren, dass die sowohl der Bedingung Z∗S=Zin als auch Z∗out=ZL genügen (also quasi als 2 Anpassungsprobleme) oder ist es eben so, dass im Falle von verlustfreien Netzwerken man eigentlich nur ein Problem lösen muss" Durch mehrere Simulationen habe ich herausgefunden, dass es ausreicht wenn nur eine Bedingung erfüllt ist. Die jeweils andere Bedingung ist damit auch erfüllt. Allerdings müssen alle Blindwiderstände der Box verlustfrei sein. Ein mathematischer Beweis fehlt allerdings. Bei Deiner Frage "Welche rein mathematische Bedigungen müssen in zweiten Netzwerk (also bestehend aus der Quelle, Matching Box und dem Verbraucher) erfüllt werden, damit die Quelle mit dem Verbraucher "gematched" wird. Also rein mathematische Bedingung.“ ist mir folgendes nicht ganz klar - welche Größen sind konstant? (Zs?) - welche Größen sind variabel? (ZL,Frequenz?) - über welchen Frequenzbereich soll die Anpassung funktionieren? - soll die Hardware der Matching Box unverändert bleiben und nur die Werte der darin enthaltenen Blindwiderstände variabel? Vielleicht kannst Du noch auf diese Fragen eingehen. Gruß von hightech


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Seligman
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Hallo Roland, danke Dir. Ich glaub ich verstehe das Konzept. \quoteon(2022-01-17 10:24 - rlk in Beitrag No. 7) Die Klemmenspannung einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung $U_0$ und der Quellimpedanz $Z_S$ ist \[ U = U_0 - Z_S I, \] wenn $I$ der aus der Quelle fließende Strom ist. Für $U_0=0$ beschreibt diese Gleichung das Verhalten einer Impedanz $Z_S$. Bei einer Stromquelle kann man den Fall $I_0=0$ betrachten, sie kann für die Berechnung der Quellimpedanz weggelassen werden. \quoteoff Dann beruht auch exakt auf diesen Überlegungen auch der gängige Trick eine sagen wir "beliebig komplizierte" lineare Ausgangsschaltung der Form: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Furchtbar_Komplizierte_Ausgangsschaltung.png deren Klemmstannung $U$ man irgendwie kennt, durch eine lediglich aus einer Stromquelle $U_0$ und Impedanz $Z$ in Reihe bestehende Ersatzschaltung zu ersetzen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Ersatzschaltung_der_Komplizierten_Schaltung.png Kann man da allgemein so vorgehen: 1. man schließt alle Stromquellen innerhalb der Eugrangschaltung kurz und berechnet die Impedanz des übrig gebliebenen "Gerüsts" bestehend aus diversen Impedanzen; die berechnete Gesamtimpedanz ist dann das $Z$ 2. Man steckt an die losen Klemmen rechts irgendein Testwiderstand $R_T$ und misst den Strom $I$ durch diesen Testwiderstand. Dann wird $U_0:= U+ZI$. Hoffe, ich hab die Idee richtig verstanden. Hat dieses Vorgehen auch "Grenzen"? Natürlich muss die Schaltung linear sein, das ich schon klar. Aber sonst funktioniert das allgeimein? Besonders interessant finde ich: funktioniert diese "Strategie" mit den Schritten 1 & 2 auch falls innerhalb der "komplizierten" Schaltung, die ich ersetzen möchte, MEHRERE Spannungsquellen rumrummeln? Also sowas wie zB https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Ersatzschaltung_der_Komplizierten_VIELE_Spannungsquellen.png (bin sicher es geht auch schlimmer :) Der Punkt, auf den ich hinausmöchte, ist, ob das Verfahren, dass ich oben beschrieben habe und gewisserweise einen Versuch meinerseits darstellen soll, aus Deinen Erläuterungen oben zum Konzept des Innenwiderstands, Leerlaufspannung und Co eine "Backrezept"-Methode zu konzipieren, auch für Schaltungen mit mehreren (beliebig vielen?) Spannungsquellen funktionieren würde.


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Seligman
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Hallo hightech, zunächst zu Deinen Fragen. Ob $Z_S$ und $Z_L$ konstant sind, hängt natürlich davon ab ob die imaginäre Anteile haben und dann, wie sich die Spannungsquelle $V_S$ verhält. Als ich die Frage erstellt habe, habe ich darüber nicht nachgedacht, jetzt sehe ich, dass es schon sehr wichtig ist. Nehmen wir im folgenden an, dass ich im Grunde einzig an den Fall interessiert bin, dass die Spannungsquelle $V_S$ einen sinusoidalen Signal mit KONSTANTER Frequenz aussendet. Ich denke, darauf können wir uns im folgenden ausschließlich beschränken. Folglich wären die Impedanzen $Z_S$ und $Z_L$, die auch imaginäre Anteile haben dürfen, konstant, da wir eine fixe Frequenz annehmen. Also zusammenfassend mache ich folgende Grundannahmen: Spannungsquelle $V_S$ entspricht sinusoidalen Signal mit konstanter Frequenz. $Z_S, Z_L$ fix, also nicht variabel. Die Frage an die Matching Box ist pikanter: Natürlich, sobald wir uns auf einen fixen Design der Matching Box festlegen, bleibt die Hardware unverändert, wir können dann ledigleich die Parameter der einzelnen Komponenten variieren, damit sie eben $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ erfüllen. Der Kern der Frage war ja genau, ob wir uns wirklich darum bemühen sollen, dass die Matching Box beide Bedingungen erfüllt, oder eben uns nur auf eine der beiden fokussieren, und ob dann sobalb wie die Parameter der Komponenten der Matching Box so gewählt haben, dass sie eine Bedingung erfüllen, ob sie dann AUTOMATISCH die andere erfüllen. Das ist genau des Pudels Kern. Was die Wahl der Hardware (also die Wahl des Designs der Matching Box) anbetrifft, ist auch implizit in meiner Frage mitenthalten.(vgl meine Ausführungen unten, genau da habe ich versucht, dieses Problem zu erörtern). Es scheint nämlich, dass für manche Matching Box Designs es tatsächlich ausreicht, nur eine Bedingung zu erfüllen und die andere einfach zu "ignorieren" (siehe meine Überlegungen zum L-Netzwerk). Ob das für beliebigen Matching Box Design gibt, wage ich zu bezweifeln. Da muss ich etwas ausholen. Der Anfang dazu wäre zunächst die Frage an Dich: Für welche Beispiel-Matching Box hast du die Simulation durchgeführt? Für ein L-Netwerk wie zB im Bild 4 aus deinem Beitrag No 3? Zu diesem Ergebnis kam ich für L-Netzwerk neulich auch. Angenommen, wir haben also eine Matching Box bestehend aus einer Spule $Sp$ in Reihe mit Impedanz $j X_{Sp}$ und parallen Kondensator $C$ mit Impedanz $j X_C$. Die Werte $X_L$ und $X_C$ sind unbekannt und wir müssen sie anhand der/n Bedingungen $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ bestimmen. Jetzt machen wir folgendes: Wir ignorieren die Bedingung $Z_{out}^*=Z_L$ fürs erste völlig und versuchen nur die Werte $X_L$ und $X_C$ zu finden, die NUR $Z_S^*= Z_{in}$ matchen. Wir zerlegen $Z_S= R_S+jX_S, Z_L=R_L +jX_L$ und $Z_{in}=R_{in}+jX_{in}$ in reelle und imaginäre Anteile. Dann gilt: $$Z_{in}= jX_{Sp} +\frac{1}{\frac{1}{jX_C}+\frac{1}{R_L +j X_L}}= jX_{Sp} +\frac{\frac{R_L}{a}+j(\frac{X_L}{a}+ \frac{1}{X_C}} {(\frac{R_L}{a})^2+(\frac{X_L}{a}+ \frac{1}{X_C})^2} $$ mit $a:= R^2_L+X_L^2$. Nun vergleichen wir die reellen mit komplexen Komponenten von $Z_S^*= R_S-jX_S$ und $Z_{in}=R_{in}+jX_{in}$. Für reelle erhalten wir $$ R_S= \frac{\frac{R_L}{a}}{(\frac{R_L}{a})^2+(\frac{X_L}{a}+ \frac{1}{X_C})^2} $$ bzw aufgelöst nach $X_C$: $$X_C= (\sqrt{\frac{R_L}{a \cdot R_{S}} -(\frac{R_L}{a})^2}-\frac{X_L}{a})^{-1} $$ sieht furchtbar aus, aber wir haben einen eindeutigen Ausdruck für $X_C$. Analoger Vergleich der imaginären Komponenten liefert ein eindeutiges $X_{Sp}$. Die Moral: Anscheinend reicht ALLEINE die Bedingung $Z_S^*= Z_{in}$ aus, um $X_L$ und $X_C$ zu bestimmen. Im Zweifelsfall müsste man nur noch prüfen, ob diese nun bereits berechneten $X_L$ und $X_C$ auch $Z_{out}^*=Z_L$ erfüllen. Der Punkt hier ist aber, dass anscheinend schon ALLEIN die Bedingung $Z_S^*= Z_{in}$ genügt, diese Eindeutig festzulegen. Zumindest falls Matching Box ein L-Netzwerk wie oben ist. Meine Vermutung ist aber, dass für allgemeine Matching Box $Z_S^*= Z_{in}$ oder $Z_{out}^*=Z_L$ alleine nicht ausreicht, um die Matching Box anzupassen. Daher wenn die Komponenten einer Matching Box $Z_S^*= Z_{in}$ erfüllt, muss es nicht $Z_{out}^*=Z_L$ erfüllen und vice versa. Wieso vermute ich das. Nun ja, beim Beispiel mit dem L-Netzwerk als Matching Box hatten wir zwei unbekannte Parameter. Anderseits liefert $Z_S^*= Z_{in}$ zwei Gleichungen: für reelle und imaginäre Komponenten. Also hier hatten wir womöglich Glück, dass es ausgereicht hat. Andersseits, zB beim T-netzwerk, hätten wür drei zu bestimmende Komponenten. Also wären nur die zwei Gleichungen von $Z_S^*= Z_{in}$ zu wenig um diese eindeutig festzulegen. Also bräuchte man tatsächlich noch Gleichungen, die uns $Z_{out}^*=Z_L$ gibt. Also scheint es ein rein algebraisches Problem zu sein. $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ liefern uns jeweils zwei Gleichungen, also zusammen vier Gleichungen. Wenn wir es mit einer Metching Box zu tun hätten, die mehr als zwei "variable" Paramter besitzt, könnte die Betrachtung von $Z_S^*= Z_{in}$ keine EINDEUTIGE Lösung liefern. Wir hätten womöglich mehrere Lösungen dieser Gleichung, vin denen einige wiederum $Z_{out}^*=Z_L$ nicht erfüllen würden. Ist nur eine Vermutung auf reinen algebraischen Überlegungen. Vielleicht übersehe ich einen wichtigen Aspekt, der doch noch garantiert, dass $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ äquivalent sind, ie eine Gleichung die andere impliziert. Hast du es für ein T-Netzwerk als Matching Box simuliert?


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Hallo Seligman, \quoteon(2022-01-17 21:27 - Seligman in Beitrag No. 9) Dann beruht auch exakt auf diesen Überlegungen auch der gängige Trick eine sagen wir "beliebig komplizierte" lineare Ausgangsschaltung der Form: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Furchtbar_Komplizierte_Ausgangsschaltung.png deren Klemmstannung $U$ man irgendwie kennt, durch eine lediglich aus einer Stromquelle $U_0$ und Impedanz $Z$ in Reihe bestehende Ersatzschaltung zu ersetzen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Ersatzschaltung_der_Komplizierten_Schaltung.png Kann man da allgemein so vorgehen: 1. man schließt alle Stromquellen innerhalb der Eugrangschaltung kurz und berechnet die Impedanz des übrig gebliebenen "Gerüsts" bestehend aus diversen Impedanzen; die berechnete Gesamtimpedanz ist dann das $Z$ 2. Man steckt an die losen Klemmen rechts irgendein Testwiderstand $R_T$ und misst den Strom $I$ durch diesen Testwiderstand. Dann wird $U_0:= U+ZI$. Hoffe, ich hab die Idee richtig verstanden. Hat dieses Vorgehen auch "Grenzen"? Natürlich muss die Schaltung linear sein, das ich schon klar. Aber sonst funktioniert das allgeimein? Besonders interessant finde ich: funktioniert diese "Strategie" mit den Schritten 1 & 2 auch falls innerhalb der "komplizierten" Schaltung, die ich ersetzen möchte, MEHRERE Spannungsquellen rumrummeln? Also sowas wie zB https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Ersatzschaltung_der_Komplizierten_VIELE_Spannungsquellen.png (bin sicher es geht auch schlimmer :) Der Punkt, auf den ich hinausmöchte, ist, ob das Verfahren, dass ich oben beschrieben habe und gewisserweise einen Versuch meinerseits darstellen soll, aus Deinen Erläuterungen oben zum Konzept des Innenwiderstands, Leerlaufspannung und Co eine "Backrezept"-Methode zu konzipieren, auch für Schaltungen mit mehreren (beliebig vielen?) Spannungsquellen funktionieren würde. \quoteoff Die Tatsache, dass jede lineare Schaltung durch eine Spannungsquelle mit Quellimpedanz ersetzt werden kann, ist als Theorem von Thévenin bekannt. Die rot markierten Stromquellen müssen Spannungsquellen sein. In der komplizierten Schaltung können sich auch Stromquellen befinden, aber diese müssen durch Leerläufe ersetzt werden, um die Quellimpedanz zu bestimmen. Den Schritt 2 kannst Du vereinfachen, indem Du den Fall $I=0$ (Leerlauf) betrachtest, dann gilt $U=U_0$, die Spannung $U_0$ wird daher Leerlaufspannung genannt. Servus, Roland


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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-19

Hallo Seligmann, zu Deiner Frage: „Hast du es für ein T-Netzwerk als Matching Box simuliert?“ Für die Matching Box habe ich die T-Schaltung gewählt. Es reicht sogar die vereinfachte T-Form –die L-Form- aus, sodass X2 = 0 gesetzt werden kann (Bild 1). Mit dieser Schaltung lassen sich grundsätzlich alle Lastimpedanzen übertragen und anpassen. Sollte eine Anpassung bei dieser L-Form nicht möglich sein, braucht man nur den Vierpol umzudrehen und dann die Blindwiderstände neu berechnen um Anpassung herbeizuführen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_X_T_Glied.jpg Die Berechnung von X1 und X3 führt, wie im Beitrag Nr. 3 angesprochen, zu einer quadratischen Gleichung, deren Lösung etwas aufwendig ist. Die beiden Lösungen lassen vermuten, dass es sich um zwei reelle Lösungen handelt. Um das zu überprüfen habe ich das Beispiel aus Beitrag Nr. 3 Bild 4 simuliert. Bild 2 unten zeigt noch mal die Lösung wie im Beitrag Nr. 3 angegeben. Bild 3 unten zeigt eine weitere Lösung zur Anpassung. Interessant ist hierbei, dass der Unterschied zwischen beiden Lösungen nur die vertauschten Vorzeichen der beiden Blindwiderstände sind, d.h. der kapazitive und induktive Blindwiderstand gegeneinander vertauscht werden müssen um Anpassung erhalten. Ich VERMUTE, dass die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung das beweisen würden. Wenn diese Vermutung zutrifft, dann leuchtet auch ein, dass die Blindwiderstände der beiden Lösungen unterschiedliche Werte haben müssen, wie ein Vergleich von Bild 2 und Bild 3 zeigt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Bild_2_40.jpg https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Bild_3_40.jpg Gruß von hightech


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Seligman
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Hallo Roland, \quoteon(2022-01-17 22:21 - rlk in Beitrag No. 11) Die Tatsache, dass jede lineare Schaltung durch eine Spannungsquelle mit Quellimpedanz ersetzt werden kann, ist als Theorem von Thévenin bekannt. Die rot markierten Stromquellen müssen Spannungsquellen sein. In der komplizierten Schaltung können sich auch Stromquellen befinden, aber diese müssen durch Leerläufe ersetzt werden, um die Quellimpedanz zu bestimmen. \quoteoff Ja stimmt danke, natürlich gehörte da eine Spannungs- und nicht Stromquelle hin, sorry, hab mal wieder an das eine gedacht, das andere geschrieben. Diese Möglichkeit ein Teil des Netzwerks "ersetzen" zu können ist natürlich sehr interessant um allgemeine Fälle auf gut handhabbare Spezialfälle zu reduzieren. Kann man diese Methode aus dem Thevenin's Theorem auch geeignet "modifizieren" um die Matching Box zu ersetzen, OHNE die Quelle und den Verbraucher zu manipulieren? Ich meine das wie folgt: Also angenommen wir starten mit einer Schaltung bestehend aus Quelle $V_S$ mit Impedanz $Z_S$, einer beliebigen (sagen wir verlustfreien, aber vielleicht geht's auch allgemeiner) Matching Box in der Mitte und dem Verbraucher mit Impedanz $Z_L$ also wie im Eröffnungspost: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_Matching_BOX.png Können wir hier NUR die Matching Box durch eine geeignete vereinfachte Schaltung ersetzen, die die sich elektrisch natürlich genauso verhält wie die ursprüngliche Matching Box, wobei ABER(!) gleichzeitig die Komponenten der Quelle und des Verbrauchers nicht "angerührt" werden? Also konzeptionell sowas Ähnliches wie bei Thevenin, nur mit dem mittleren Teil ohne die beiden äußeren Elemente - die Quelle und den Verbraucher - zu minipulieren. Was ich mit "vereinfachte Schaltung" meine, bin ich mir nicht sicher. Isb ihre Form ist noch herauszufinden, es soll eine "einheitliche" Form haben, zB (nur eine Vermutung) bestehend aus zwei reaktanten Komponenten, eine parallel, eine in Reihe (siehe Bild unten), oder so. So "einfach" wie möglich eben. Bei Theverin wars zB eine Spannungsquelle und ein Widerstand in Reihe. Einfach, leicht damit Rechnungen durchzuführen. Und die Frage ist, ob das mit der Matching Box ähnlich durchführbar ist, NUR mit dem wichtigen Annhme, dass Quelle und Verbraucher da bleiben sollen, wo und wie sie sind. Also zB eine Ersetzung wie https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Zs_Zl_Matching_BOX_Kandidat_Ersatzschaltung.png Ist sowas stets machbar?


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hightech
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-20

Hallo Seligmann, in Deinen Beiträgen ist einiges nicht korrekt formuliert und könnte evtl. falsch verstanden werde. Deshalb hier ein paar Anmerkungen: - Der Innenwiderstand einer Quelle und der Lastwiderstand bleiben immer gleich und können nie verändert werden, auch dann nicht, wenn eine äußere Beschaltung hinzukommt. Siehe hierzu die Bilder im Beitrag Nr. 2. Dort bleib Z gleich Z und nicht Zout. - Eine Ersatzschaltung für eine Matchbox zu finden, wie im rot markierten Bereich im Beitrag Nr. 5, macht keinen Sinn. Eine Matchbox gibt es nur in der Wechselstromtechnik und hat stets die Aufgabe BEIDSEITS einen reflexionsfreien Abschluss sicherzustellen und Wirkleistung unidirektional zu übertragen. Sie ist ein eigenständiges Verbindungsglied zwischen Quelle und Last. - Eine ideale Spannungs- oder ideale Stromquelle kennt keinen Innenwiderstand. Deshalb Vorsicht mit Kurzschluss und Leerlauf. Wir alle haben gelernt: Eine ideale Spannungsquelle darf nicht im Kurzschluss betrieben werden und eine ideale Stromquelle darf nicht im Leerlauf betrieben werden. Was wäre, wenn man z.B. eine ideale Spannungsquelle kurzschließt? Erstens macht das mathematisch keinen Sinn und zweites würde das im Universum einen zweiten Urknall verursachen, den bestimmt keiner will… Deshalb gilt in der E-Technik folgende Sprachregelung: Die Quelle wird zu Null gemacht, oder Die Quelle wird aus der Schaltung entfernt und die Anschlüsse in der Schaltung überbrückt oder offen gelassen. - Zum Thema Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle: Im Beitrag Nr. 9 sind ein Bild einer Wechselspannunsquelle und ein Bild eines Gleichstromnetzwerkes gezeichnet. Für ein Gleichstromnetzwerk lässt sich die Ersatzschaltung leicht berechnen. Bei Wechselstromnetzwerken ist das nicht so einfach. Da sind noch andere Faktoren zu berücksichtigen. Das sollte man beachten. Wie gesagt, dieser Beitrag soll nur ein kleiner Hinweis sein, nicht mehr. Gruß von hightech


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Seligman
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

Hallo hightech, (beziehe mich auf Dein Betrag No 12; hab erst a posteriori Deinen Beitarg No 14 bemerkt; werd ggf falls sich etwas in No 14 als unklar herausstellen sollte, darauf später separat eingehen) Ja, ein T-Netzwerk, wo eine Reihenkomponente (also $X_1$ oder $X_2$) als Null gesetzt wird, wird ein L-Netzwerk eben mit zwei unbestimmten Variablen. Wenn wir erstmal in dieser Situation sind, kann man wie Du beschrieben hast argumentieren: die Lösungen erfüllen quadratische Gleichungen, also gibt's zwei (den degenerierten Fall mit einer Lösung kann man sicherlich iwie sicher "wegargumentieren", dass das physikalisch nicht möglich sein kann oder so). Ich denke dass, das dies sich (bis auf ein kleines Deteil mit Vorzeichen, das ich im folgenden erläutern werde) genau mit meinen Überlegungen in Post No 10 deckt. Da war ich etwas schlampig mit der Wurzel, sodass die Lösungen eigentlich hätte $$ X_C= (\pm \sqrt{\frac{R_L}{a \cdot R_{S}} -(\frac{R_L}{a})^2}-\frac{X_L}{a})^{-1} $$ lauten müssten. Das deckt sich mit Deinen Überlegungen unter der Annahme, dass mein $X_C$ als die Impedanz eines Kondensators (!) festgelegt wurde, und per Konvention (https://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_(Elektrotechnik)#Impedanz) ist dann $X_C < 0$, also sollte nach dieser Annahme dasjenige Vorzeichen in $(\pm \sqrt{\frac{R_L}{a \cdot R_{S}} -(\frac{R_L}{a})^2}-\frac{X_L}{a})^{-1} $ gewählt werden, für den, der Geamtausdruck NEGATIV ist. Bei deinen Überlegungen mit Unbestimmten $X_1$ und $X_3$ hast du ja a priori nicht angenommen, was du als Kondensator (also mit negativem $X$) und was als Spule (positivem $X$ ) festgesetzt hast, daher die möglichen zwei Lösungen in Bild 2 und Bild 3. Das ist in Ordnung, dass deckt sich in der Tat mit Deiner Vermutung, die sich sehr wahrscheinlich mit etwas Aufwand algebraisch bestätigen lässt, dass für solche Wahl der Mathcing Box $Z_S^*= Z_{in}$ äquivalent zu $Z_{out}^*= Z_{L}$ ist, das verstehe ich. (vgl meine Ausführungen in Betrag No 10 - zugegeben etwas länglich - der Grund, wieso das hinhauen sollte, war das wir keine algebraische Freiheitsgrade hätten: wir haben zwei unbestimmte $X_1, X_3$ und $Z_S^*= Z_{in}$ lieferte zwei Gleichungen via reellen & imaginären Anteilen. Somit konnte man - sobald man festgelegt hat was von $X_1$ und $X_3$ die Spule (=positiver Wert) und was der Kondensator (=negativer Wert) werden soll - die Uneindeutigkeit beseitigen und man hätte eindeutige Lösung Ausnutzung von $Z_S^*= Z_{in}$ allein; ie $Z_{out}^*= Z_{L}$ wäre nicht nötig. Mein Anliegen ist, was wäre wenn wir diesen Parameter $X_2$ nicht einfach Null setzen würden? Ich vermute, dass es einen Lösungssatz $(X_1, X_2, X_3)$ geben könnte, der zwar $Z_S^*= Z_{in}$, aber NICHT $Z_{out}^*= Z_{L}$ erfüllt. Damit hätten widerlegt, dass für beliebige Matching Box die Bedingungen $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*= Z_{L}$ einander implizieren. Für L-Netzwerk (=T-Netzwerk mit einer Reihenkomponente $=0$) ergibt sich aus der vorangehenden Diskussion, dass in der Tat $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*= Z_{L}$ äquivalent sind. Aber sobald wir irgendein Tripel $(X_1, X_2, X_3)$ hätten, der zwar $Z_S^*= Z_{in}$, aber nicht $Z_{out}^*= Z_{L}$ erfüllt, hätten wir das gesuchte Gegenbeispiel für eine Matching Box mit der vermuteten Eigenschaft. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-01-20

Hallo Seligmann, um bei der Matchbox mit X1 und X3 die Größen von X1 und X3 in allgemeiner Form zu berechnen, sind zwei Gleichungen aufzustellen Das geht noch sehr einfach. Will man aber die Gleichung nach X1 oder X3 auflösen, ist selbst ein DIN A4 Blatt im Querformat noch zu klein. Vielleicht kannst Du Du es mal probieren ... Mit der von Dir angegebenen Wurzelgleichung kannt Du die gesuchten Größen (X1 und X3 der Box) nicht berechnen, da die Gleichung mindstens 2 Unbekannt enthält: Xc und Xl. Deshalb: Du braucht einen allgemeinen Lösungsansatz. D.h. Du musst zuerst ein Gleichungssystem in allgemeiner Form entwickeln, was "von Hand zu Fuß" schwer zu lösen ist. Wenn Du aber glaubst eine Lösung gefunden zu haben, dann könnstet Du ja mal ein X-beliebiges Beispiel durchrechnen und hier einstellen. Ich bin mal gespannt ... hightech


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

Hallo hightech, ich beziehe mich hier ausschließlich auf Deine Bemerkungen aus Betrag No 14. Ok, also die "Idee" die Matching Box durch "einfachere" Schaltung zu ersetzen ist reiner Käse, also in Beträgen No 5 & 13 habe ich mich in eine Sackgasse manövriert. Der Gedankengang sollte verworfen werden. Danke für den Hinweis. Zum Thema Ersatzspannungsquelle: Also falls links in https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_Furchtbar_Komplizierte_Ausgangsschaltung.png aus Beitrag 9 ein Gleichstromnetzwerk ist, dann ist soweit zur Ersatzschaltung alles klar, vgl Roland's Betrag No 11. Was kann man dazu sagen, wenn das ein Wechselstromnetzwerk wäre also zB im dritten Bildchen in Betrag No 9 die $U_i$ Wechselspannungquellen (!) wären. Du hast ja gesagt, dass in diesem Falls da noch andere Faktoren zu berücksichtigen sind, wohl Impedanzen etc. Aber selbst wenn man diese berücksichtigt, gibt es a priori keine Möglichkeit (also kein theoretisches Resultat) einem solchen Netzwerk eine Ersatzschaltung zuordnen als ein "Pendant" zum Thevenin-Theorem für Wechselstromtechnik?


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

...und jetzt beziehe ich mich auf Deinen Betrag No 16: Also in meinem Betrag No 15 entsprich mein $X_C$ Deinem $X_3$ in Bild 1 aus No 12: $$ X_C= (\pm \sqrt{\frac{R_L}{a \cdot R_{S}} -(\frac{R_L}{a})^2}-\frac{X_L}{a})^{-1} $$ Berücksichtige, dass $R_L$ und $X_L$ von Anfang an bekannt sind, sie gehören ja zur Impedanz des Verbrauchers $Z_L=R_L+jX_L$. Das ist NICHT die Spulenimpedanz $X_{Sp}$, vgl meine Notationen in Beitrag No 10, vgl dort die Gleich für $Z_S^*= Z_{in}$ bzw deren reellen Komponenten. Die vergleiche ich da. Die imaginären Kompoenten-Gleichung habe ich aus Faulheit nicht hingeschrieben, sollte aber ähnlich gehen.


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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-01-20

Hallo Seligmann, die beiden Blindwiderstände in der Matchbox können nicht willkürlich angenommen werden, sondern welcher kapazitiv und welcher induktiv ist und welche Beträge sie haben muss das Ergebnis der Berechnung sein. Deshalb brauchst zu zuerst einen mathematischen Lösungsansatz. Auf der Grundlage der beiden Bilder hier unten lässt sich folgender Lösungsansatz entwickeln: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Bild_XX35.jpg https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Bild_XY35.jpg mit \(\large \underline Z_{S} = R_{S} + jX_{S}\) komplexer Quellenwiderstand \(\large \underline Z_{S}^{*} = R_{S} - jX_{S}\) konjugiert komplexer Quellenwiderstand \(\large \underline Z_{1} = 0 + jX_{1}\) komplexer Widerstand \(\large \underline Z_{1}\) mit Realteil Null \(\large \underline Z_{3} = 0 + jX_{3}\) komplexer Widerstand \(\large \underline Z_{3}\) mit Realteil Null \(\large \underline Z_{L} = R_{L} + jX_{L}\) komplexer Lastwiderstand \(\large \underline Z_{L}^{*} = R_{L} - jX_{L}\) konjugiert komplexer Lastwiderstand lassen sich jetzt die beiden Gleichungen für den Lösungsansatz schreiben \(\large \underline Z_{S}^{*} = \underline Z_{1} + \frac{\underline Z_{3}*\underline Z_{L}}{\underline Z_{3}+\underline Z_{L}}\) und \(\large \underline Z_{L}^{*} = \frac{(\underline Z_{S}+\underline Z_{1})*\underline Z_{3}}{\underline Z_{S}+\underline Z_{1}+\underline Z_{3}}\) setzt man in diese Gleichungen für die komplexen Widerstände die Real- und Imaginärteile ein, so erhält man \(\large R_{S} -jX_{S} = jX_{1} + \frac{jX_{3}*(R_{L}+jX_{L})}{jX_{3}+R_{L}+jX_{L}}\) und \(\large R_{L} -jX_{L} = \frac{jX_{3}*(R_{S}+jX_{S}+jX_{1})}{jX_{3}+R_{S}+jX_{S}+jX_{1}}\) damit lassen sich die beiden Blindwiderstände \(\large jX_{1}\) und \(\large jX_{3}\) in allgemeiner Form berechnen. Zu welchen Ergebnissen die Gleichungen führen müsste, habe ich im Beitrag Nr. 12 als Vermutung bereits angegeben. Du kannst ja mal versuchen die Gleichungen zu lösen. Aber vielleicht gibt es auch noch einen anderen Lösungsweg und vielleicht findest Du den. An dem wäre ich interessiert. Gruß von hightech


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Hallo hightech, Ja, also man kanns drehen und wenden wie man will, am Ende ist eine eklige quadratische Gleichung zu lösen, die zwei Lösungen wie Du in Betrag 12 angegen hast wiedergibt. Ein "erfreuliches" Resultat gäbs allerdings: Tatsächlich kann man auch relativ leicht rein algebraisch nachweisen, dass \(\large \underline Z_{S}^{*} = \underline Z_{1} + \frac{\underline Z_{3}*\underline Z_{L}}{\underline Z_{3}+\underline Z_{L}}\) und \(\large \underline Z_{L}^{*} = \frac{(\underline Z_{S}+\underline Z_{1})*\underline Z_{3}}{\underline Z_{S}+\underline Z_{1}+\underline Z_{3}}\) äquivalent zueinander sind, was die Resultate Deiner Simulation natürlich endgültig untermauert. In der Tat ist die erste Gleichung equivalent zu $$ Z_S^* \cdot(jX_3+Z_L) = jX_1 \cdot (jX_3+Z_L) +jX_3 \cdot Z_L $$ Die zweite ist äquivalent zu $$Z_L \cdot (Z_S^*-jX_1-jX_3) =-jX_3 \cdot (Z_S^*-jX_1) $$ (hier haben wir zusätzlich noch beide Seiten komplex konjugiert). Offenbar sind beide Gleichungen identisch. Also sind in der Tat für die Matching Box mit Design wie in Bildern aus Betrag No 19 die Gleichungen $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ equivalent. Ich denke das geht auch für für allgemeines T-Netzwerk als Matching Box wie in Beitrag No 12, Bild 1 (also nicht nur für den Spezialfall mit $X_2=0$): Ich skizziere zumindest Idee: reduziere es auf den Fall von eben eines L-Netzworks dadurch, dass wir ein neues System betrachten, bei dem die Quelle gleich bleibt, der Verbraucher die Impedanz alte Impedanz $Z_L + jX_2$ haben wird. Dann bilden $X_1$ und $X_3$ ein L-Netzwerk als Matching Box des neuen Systems. Der Rest leichte Rechnung. Offenes Problem bleibt weiterhin die Frage, ob die Gleichungen $Z_S^*= Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ equivalent seien für BELIEBIGE verlustfreie Matching Box. Einen anderen Aspekt würde auch gerne beleuchten. Könntest Du noch auf mein Anliegen aus Betrag No 17 unterer Teil, eingehen? Es ging darum, dass ein Gleichstromnetzwerk relativ einfach gemäß Thevenin-Theorem durch eine Spannungquelle und Widerstand in Reihe ersetzt werden kann. Die Frage war, ob es eine ähnliche Ersatzschaltung für ein Wechselstromnetzwerk gibt (scheinbar ja, da im vierten Bild aus meinem Eröffnungspost genau das gemacht wird, mit $Z_{out}$ als "Ersatzimpedanz" des Netzwerks Quelle $V_S$, Widerstand $Z_S$ & Matching Box.) Also quasi eine Thevenin-Theorem-Äquivalent für Wechselstromnetzwerke. Du hast ja angedeutet, dass im Gegensatz zum Gleichstromnetzwerk da sicherlich auch andere Faktor zu berücksichtigen sind. Ok, aber existiert im Prinzip IMMER so eine Ersatzschaltung für Wechselstromnetzwerke?


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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-01-23

Hallo Seligman, hier ein paar Antworten zu Deinen Anmerkungen: Aus Deinem Beitrag Nr. 20: \(\text{ Tatsächlich kann man auch relativ leicht algebraisch nachweisen, dass ...}\) Es geht hierbei nicht darum etwas nachzuweisen, sonder um etwas auszurechen. Und aus dem gleichen Beitrag: \(\text{ Dann bilden X1 und X3 ein L-Netzwerk als Matching-Box des neuen Systems. Der Rest leichte Rechnung}\) Leichte Rechnung? Tja, dann zeige doch mal wie das gehen soll, wenigsten ansatzweise. In Deinem Beitrag Nr. 20 steht eigentlich nur das, was ich bereits im Beitrag Nr. 19 geschrieben habe. Es nutzt Dir nichts wenn Du das eigentliche Ausrechnen der Gleichungen mehr oder weniger geschickt „umschiffst“. An dem Ausrechnen selbst kommst Du nicht vorbei. Aus Deinem Beitrag Nr. 10: \(\text{ ...aber wir haben einen eindeutigen Ausdruck für Xc. Analoger Vergleich der imaginären Komponenten liefert ein eindeutiges Xsp}\) Das stimmt nicht! Denn mit der Gleichung Xc=... ist die Gleichung nicht aufgelöst, weil in dieser Gleichung wieder eine Unbekannte (XL) steckt. Zu Deiner Frage: \(\text{ Könntest Du noch auf mein Anliegen aus Beitrag Nr. 17 unterer Teil, eingehen? Es ging darum dass ein Gleichstromnetzwerk ...}\) Diese Frage hat mich überrascht. Denn wenn wir hier über komplexe Widerstände, Matchbox-Netzwerke, Anpassung usw. reden, dann sollten Gleichstromnetzwerke kein Thema mehr sein. Denn Gleichstromnetzwerke gehören zu den Grundlagen. Wenn Du damit (noch) Schwierigkeiten haben solltest, dann bitte dieses Thema in einem eigenen Thread. Gruß von hightech


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Hallo hightech, \quoteon(2022-01-23 15:36 - hightech in Beitrag No. 21) Es geht hierbei nicht darum etwas nachzuweisen, sonder um etwas auszurechen. \quoteoff Kommt darauf an, was man zeigen möchte. In Beitrag No 20 lautete meine Behauptung, dass für L-Netzwerk als Matching Box wie in Bildern aus Deinem Beitrag 19 die Bedingungen $Z_S^=Z_{in}$ und $_{out}^*=Z_L$ äquivalent sind. Ist dir klar, was ich unter "äquivalent" meine (wenn nicht, dann heißt es, dass ein Tupel $(X_1, X_3)$ eine Lösung von $Z_S^*=Z_{in}$ ist, genau dann wenn es auch eine Lösung von $Z_{out}^*=Z_L$ ist) Ok, also nächstes habe ich gezeigt, dass die Äquivalenz von $Z_S^*=Z_{in}$ und $L_{out}^*=Z_L$ dasselbe ist wie die Äquivalenz der beiden Gleichungen $$ Z_S^* \cdot(jX_3+Z_L) -jX_1 \cdot (jX_3+Z_L) -jX_3 \cdot Z_L = 0 $$ Die zweite ist äquivalent zu $$Z_L \cdot (Z_S^*-jX_1-jX_3) + jX_3 \cdot (Z_S^*-jX_1)= 0 $$ (ist dir klar, wieso? Hier kann man nämlich die beiden Gleichungen zuvor mit den Nenners multiplizieren, da $Z_3+Z_L $ und $Z_S+Z_1+Z_3$ ungleich Null, sonst hätten wir unphysikalische Lösungen; $Z_S$ und $Z_L$ sind ja endlich im Betrag. Und dann können wir ja alle Terme auf eine Seite bringen, sollte auch klar sein. Und was stellen wir fest? Beide Ausdrücke sind gleich) Und dann wird ist es beinahe banal: wenn $f$ und $g$ zwei komplexwertige Funktionen in $n$ Variablen sind und $f=g$ gilt, dann ist ein Vektor $(x_1, x_2,..., x_n)$ eine Lösung von Gleichung $f(x)=0$ genau dann wenn es eine Lösung von $g(x)=0$ ist. Bemerkung: Wie Du anhand dieser Argumentation sehen kannst, muss muss man ja nicht immer eine konkrete Lösung(en) berechnet haben um ein Problem zu lösen. Was ist, wenn ein Gleichungssystem zB unendlich viele Lösungen hat. Was man tun soll, richtet sich danach welche Frage man beantworten möchte. Manchmal ist dann ein viel einfacherer Ansatz mögich. Ich bin überwiegend an qualitativen Studium der Lösungen interessiert (also Fragen vom Typ wie zB "Wieviele Lösungen es insgesamt gibt?" (zB offensichtlich um das zu beartworten reicht es im nicht degenerierten Fall schon allein festzustellen, dass es quadratische Gleichung ist) oder "Wie die sich die einzelnen Lösungen derselben Gleichung zueinander verhalten?" oder eben wie die letzte "Wie Lösungen zweier verschiedener Gleichung sich zueinander verhalten?" etc. ; einen konkreten Lösungwert alleine auszurechnen liefert selten einen tiefen Einblick in die Materie und ist dazu auch noch meistens zu aufwendig) \quoteon(2022-01-23 15:36 - hightech in Beitrag No. 21) Und aus dem gleichen Beitrag: \(\text{ Dann bilden X1 und X3 ein L-Netzwerk als Matching-Box des neuen Systems. Der Rest leichte Rechnung}\) Leichte Rechnung? Tja, dann zeige doch mal wie das gehen soll, wenigsten ansatzweise. \quoteoff Nun zu T-Netzwerken als Matching Box. Ich kann mal die Idee skizzieren. Erstmal meine Behauptung, die ich zeigen werde: Bei einem Matching-Problem mit einem T-Netzwerk als Matching Box (=Netzwerk 1 im Bildchen unten) sind die Gleichungen $Z_S^*=Z_{in}$ und $Z_{out}^*=Z_L$ äquivalent (im obigen Sinne). Idee (grob, ich reduziere das auf den Falls von einem L-Netzwerk, für den wir nach dem Obigen wiederum schon wissen, dass die beiden letztgenannten Gleichungen äquivalent zueinander sind) Schritt 1: Ich führe ein neues Netzwerk 2 (Bildchen unten) ein, das nun ein L-Netzwerk als Matching Box hat und den Lastwiderstand $Z_{L'}:= jX_2+Z_L$. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52467_T_Netzwerk_vs_L-Netzwerk.png Zu Notationen: ich bezeiche mit $Z_{in}$ die Input-Impedanz und mit $Z_{out}$ die Output-Impedanz von Netzwerk 1. Und mit $Z_{in}'$ die Input-Impedanz, sowie mit $Z_{out}'$ die Output-Impedanz von Netzwerk 2. Beobachung: Für fixes Tripel $(X_1, X_2, X_3)$ gilt: $Z_{in} = Z_{in}'$ und $Z_{out}= jX_3+Z_{out}'$ nach Konstruktion von Netzwerk 2 und elementaren Additionsregeln für Impedanzen in Reihe. Schritt 2: Sei $(X_1, X_2, X_3)$ ein beliebiges Tripel aus reelen Variablen (da unsere Matching Box verlustfrei sein soll), das die Gleichung $Z_S^*=Z_{in}$ löst. Frage: Löst dieses Tripel auch $Z_{out}^*=Z_L$. Antwort: ja, denn: Schritt 3: Offensichtlich löst $(X_1, X_3)$ die Gleichung $Z_S^* =Z_{in}'$ für Netzwerk 2. Da Netzwerk 2 ein L-Netzwerk ist, wissen wir, dass dann $(X_1,X_3)$ auch die Gleichung $Z_{out}'^*=Z_{L'}$ von Netzwerk 2 löst, also gilt ausgeschrieben: $$ Z_L^*-jX_2 =: Z_{L'}^* = Z_{out}'=\frac{(Z_S+jX_1) \cdot j X_3}{Z_S+jX_1+jX_3} $$ Wenn wir $-jX_2$ einfach auf die ander Seite bringen, ist dies äquivalent zu $Z_{out}^*=Z_L$, denn $Z_{L'}:= jX_2+Z_L$. Das beweist die Behautung, dass eine Lösung von $Z_S^*= Z_{in}$ auch eine Lösung von $Z_{out}^*=Z_L$ für Netzwerk 1 ist. Beweis in andere Richtung (ie der Beweis, dass eine Lösung von $Z_{out}^*=Z_L$ ist auch Lösung von $Z_S^*= Z_{in}$) verläuft ähnlich; es fliessen dieselben Ideen ein). \quoteon(2022-01-23 15:36 - hightech in Beitrag No. 21) \(\text{ ...aber wir haben einen eindeutigen Ausdruck für Xc. Analoger Vergleich der imaginären Komponenten liefert ein eindeutiges Xsp}\) Das stimmt nicht! Denn mit der Gleichung Xc=... ist die Gleichung nicht aufgelöst, weil in dieser Gleichung wieder eine Unbekannte (XL) steckt. \quoteoff Ja ich sehe es, die Gleichung in Betrag No 10 für $X_C$ ist falsch; da habe ich vergessen $jX_{Sp}$ auch mit dem Nenner zu multiplizieren. Ignoriere die einfach. Die Gleichungen in No 20, die durch die Nennermultiplikation aus Deinen in No 19 hervorgehen, sollten hingegen richtig sein. \quoteon(2022-01-23 15:36 - hightech in Beitrag No. 21) Zu Deiner Frage: \(\text{ Könntest Du noch auf mein Anliegen aus Beitrag Nr. 17 unterer Teil, eingehen? Es ging darum dass ein Gleichstromnetzwerk ...}\) Diese Frage hat mich überrascht. Denn wenn wir hier über komplexe Widerstände, Matchbox-Netzwerke, Anpassung usw. reden, dann sollten Gleichstromnetzwerke kein Thema mehr sein. Denn Gleichstromnetzwerke gehören zu den Grundlagen. Wenn Du damit (noch) Schwierigkeiten haben solltest, dann bitte dieses Thema in einem eigenen Thread. \quoteoff Wie ich dort geschrieben habe, ist das die Ersatzschaltung eines Gleichstomnetzwerkes nach Thevenin's Theorem für mich mittlerweile verständlich. Es ging doch darum eine Ersatzschaltung für ein Wechselstromnetzwerk zu finden. Siehe das letzte Paragraph in Beitrag No 17. Das war genau mein Anliegen. Die Aussage zu Gleichstromnetzwerk darfst Du als mir bekannt voraussetzen. Alternativ kann ich das Problem gerne in einem separaten Thread diskutieren.


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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-01-23

Hallo Seligman, ich muss die letzten paar Beiträge erst genauer studieren, aber auf den ersten Blick scheinst Du nachgewiesen zu haben, dass für ein Anpassungsnetzwerk mit L-Struktur die Bedingungen \[ Z_{in} = Z_S^* \] und \[ Z_{out} = Z_L^* \] gleichzeitig erfüllt sind. Meine Versuche, das für beliebige verlustfreie Anpassungsnetzwerke nachzuweisen, waren bisher noch nicht erfolgreich. Das Thévenin-Theorem gilt auch für Wechselstromnetzwerke. Hightech, was meinst Du mit den anderen Faktoren? \quoteon(2022-01-20 00:12 - hightech in Beitrag No. 14) Für ein Gleichstromnetzwerk lässt sich die Ersatzschaltung leicht berechnen. Bei Wechselstromnetzwerken ist das nicht so einfach. Da sind noch andere Faktoren zu berücksichtigen. Das sollte man beachten. \quoteoff Servus, Roland


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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-01-26

Hallo Seligman und rlk, zu der Frage "... was meinst Du mit den anderen Faktoren?" Im Gegensatz zu Gleichstromnetzwerken muss bei Wechselstromnetzwerken folgendes beachtet werden: - welche Form haben die Wechselspannungen/Wechselströme? Sinus, Rechteck, Dreieck usw. - die Phasenlagen der Quellen sind zu berücksichtigen - sind die Quellen gesteuert? Wenn ja, wie lauten die Funktionen, die die Quellen steuern? Hier ein Beispiel eines Wechselstromnetzwerkes mit gesteuerten Quellen, das hier im Forum mal eingestellt wurde. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47704_Netza70.jpg Gruß von hightech


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Seligman
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-30

ok, dieses Beispiel eines Wechselstromnetzwerks ist in der Tat "gemein", da weiß ich nicht wie daruf Thevenin Methode angewendet werden soll. Da ist zum Beispiel der Schalter oben, von dem ich nicht weiß, wenn man ihn in einer Ersatzschaltung einbauen soll, weiterhin scheint die Stromquelle in der Mitte abhängig von Spannungsabball an Spule $L$ zu sein. Ok, da weissich nicht, wie man eine Ersatzschaltung im Sinne des Thevenin's Ansatzes dazu konstruiert. Ich hab mich allerdings gefragt, ob man zumindest die Thevenin-Methode auf einen linearen Wechselspannungsnetzwerk anwenden kann, das "einfacher gestrickt" ist, wobei mit "einfacher gestrickt" meine ich folgende Grundannehmen: Jede Komponente des betrachteten Wechselspannungsnetzwerks soll entweder - ein Impedanzelement (also ein reeller Widerstand, eine Spule oder ein Kondensator) - eine Spannungsquelle -oder eine Stromquelle sein, und nichts anderes. Hoffe, dass es nicht zu restriktiv ist. Weiterhin machen wir die wichtige Annahme, dass ALLE Strom- und Spannungsquellen voneinander unabhängig sind. Da wäre auch die Frage an Roland: Du hast ja gesagt, dass Thevenin's Theorem auch für Wechselstromnetzwerke gültig sei. Angenommen unser Wechselstromnetzwerk erfüllt obige Voraussetzungen. Kann man dann auch sagen, dass nicht nur die EXISTENZ einer Ersatzsatzschaltung - bestehend aus einer Wechselstromquelle und Impedanz in Reihe - dieses Netzwerks gesichert ist, sondern auch die METHODE die Spannung & Impedanz der Ersatzschaltung zu explizit bestimmen eins zu eins von der Thevenin-Methode für Gleichstromnetzwerke übernommen werden kann, sprich Schritt 1: Man trennt alle Stromquellen, schließt alle Spannungsquellen kurz und berechnet die Gesamtimpedanz; dies wird dann die Impedanz des Ersatznetzwerks Schritt 2: An Kontaktklemmen rechts (im Bild aus Beitrag No 17) Leerlauf-Fall betrachten und U berechnen; das ist die Spannung der Ersatzschaltung ? Ist das diese Methode/ Kochrezept?


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rlk
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  Beitrag No.26, eingetragen 2022-01-30

Hallo Seligman und hightech, zuerst Dank an hightech für die Erklärung der weiteren Einflussfaktoren. Seligman, wenn alle Strom- und Spannungsquellen sinusförmige Signale mit der gleichen Frequenz liefern, dann funktioniert Deine Methode zur Bestimmung der Thévenin-Ersatzquelle. Servus, Roland


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Seligman
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-31

Hallo Roland, \quoteon(2022-01-30 22:31 - rlk in Beitrag No. 26) Seligman, wenn alle Strom- und Spannungsquellen sinusförmige Signale mit der gleichen Frequenz liefern, dann funktioniert Deine Methode zur Bestimmung der Thévenin-Ersatzquelle. \quoteoff Hmmm, das ist zunächst beruhigend, aber die Annahme, dass alle involvierten Strom & Spannungsquellen sinusförmig & gleiche Frequenz haben, ist natürlich auch sehr restriktiv. Kann man das nicht verallgemeinern? Zunächst ist klar, dass das Netzwerk linear & bilateral sein sollte, andernfalls hat meine keine Chance. Was ich unter linear & bilateral verstünde wird hier erklärt: https://www.quora.com/What-is-linear-network-and-bilateral-network Als nächstes nehme ich an, dass alle Strom und Spannungsquellen völlig voreinander unabhängig sein sollen (ich vermute, wenn wir diese Annahme nicht machen, würden wir irgendwo einen Widerspruch erhalten, wenn wir denn versuchen würden, ad hoc eine Ersatzschaltung a la Thevenin zu berechnen). Die dritte Bedingung die ich hinzunehmen möchte, ist das ich als zulässige Komponenten nur eben voreinander unabhängige Strom- & Spannungsquellen, sowie klassische Impedanzelemente (Widerstand, Spule, Kondensator) zulassen möchte. Nichts mehr. Letztere Annhame schließt jedenfalls solche Komponenten wie zeitabhängige Schalter aus wie in hightech's Beispiel in No 24. Wohlbemerkt, ich mache hier keine weiteren Annahmen an die Strom & Spannungsquellen; deren Verlauf darf BELIEBIG sein, nur sie sollten eben unabhängig voneinander sein. Weißt du, ob unter diesen vorgeschlagenen allgemeineren Annahmen (ie die Quellen müssen nicht mehr sinusförmig & von gleicher Frequenz sein), Thevenin's Theorem gültig ist und mein Versuch aus No 26 die Methode für diesen allgemeineren Fall zu adaptieren funktioniert? Ggf wenn nicht, kennst du ein Gegenbeispiel?


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