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Analysis » Funktionenfolgen und -reihen » Reihe sin(nx)/n
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Universität/Hochschule J Reihe sin(nx)/n
th57
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  Themenstart: 2022-01-22

Hi, Ich würde gern wissen wie ich die Grenzfunktion von \[\sum_{n= 1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}\text{ bzw. } \sum_{n= 1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n} \] berechnen kann auf \((0,2\pi)\). Also nach googeln habe ich zumindest mal rausgefunden, das der Grenzwert des Sinus Teils wohl \(\frac{\pi-x}{2}\) ist (als Fourierreihe). Wie komme ich da drauf ohne diesen vorab zu kennen? Eine Idee, die ich hatte, ist, da \(\sin(nx)/n\) ja gleichmäßig konvergent ist, darf ich also z.B. Reihe und Integration vertauschen. Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. LG


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-22

Huhu th57, der Standardweg nutzt die Eulerformel und macht einen Umweg ins Komplexe. Kennst du dich also mit komplexer Analysis aus? Gruß, Küstenkind


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th57
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22

Ja ein bisschen, meine Idee war es zu benutzen \(\sin(nx) = \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\) und dann über die Partialsummen und die geometrische Reihe zu gehen. Da bekomme ich (ich lasse Zwischenschritte weg, da Du ja anscheinend weißt wies geht): \[S_N = \sum_{n=1}^N\sin(nx)/n = \frac{1}{2i}( \sum_1^N\frac{e^{ix^n}}{n} -\sum_1^N\frac{e^{-ix^n}}{n})\] Die geometrische Summe kann ich hier ja aber nicht anwenden, da mich das 1/n stört. Bin ich auf dem falschen Weg?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-22

Huhu th57, nein - du nutzt die Eulerformel und ersetzt \(\sin(nx)\) durch \(\exp(inx)\) und betrachtest dann den Imaginärteil. Das ist ein Standardtrick bei solchen Fragen. Siehe z. B. dort: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=251070&start=0#p1826876 Gruß, Küstenkind


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo th57, du kannst die Reihe ableiten - dann ist das \( n\) weg. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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th57
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22

Wenn ich das mal mit euren Tipps probiere, dann komm ich auf: \[\begin{multline*} S_N' = \sum_1^{N-1}\sin(nx) = \Im(\sum_1^{N-1}\exp(ix)^n) = \Im(\sum_0^{N-1}\exp(ix)^n -1) = \Im(\frac{1-\exp(iNx)}{1-\exp(ix)}) \\ = \Im(\frac{(1-\exp(iNx))(1-\exp(-ix))}{(1-\exp(ix)(1-\exp(-ix))}) = \frac{1}{2}\frac{-\sin x- \sin Nx+ \sin ((N-1)x)}{1-\cos(x)} \end{multline*}\] Wie mach ich weiter? Kann ich jetzt sagen \(\underset{N\to\infty}{\lim}S_N' = -0.5\frac{\sin x}{1-\cos x} \)? Das sieht mir noch nicht nach dem aus, was ich haben will.


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-22

Ähem... wie war noch mal die Ableitung des Sinus? Viele Grüße Wally


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th57
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22

Ach klar Danke, jetzt hab ich's auch schaffen dürfen :) Noch ein schönes Wochenende Euch.


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