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 Def. der Monotonie von f: R x R --> R ? |
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carlox
Aktiv 
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Mitteilungen: 1382
 |  Themenstart: 2022-01-26
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Hallo allerseits,
1)
Die Definition einer monotonen (wachsend bzw. fallend) Funktion f mit
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
ist mir bekannt.
Frage1:
Wie wird aber eine Funktion f als monoton wachsend definiert, wenn:
$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
2)
Warum ich das wissen will, begründe ich im Folgenden:
Eine Verteilungsfunktion wird wie folgt definiert:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F
Eine Verteilungsfunktion ist eine Funktion $F: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$
mit den Eigenschaften:
a) F ist monoton wachsend
b) F ist rechtsseitig stetig
c) $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{F}(x)= 1$ und $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{F}(x)= 0$ und
Frage2:
Wie lautet die Definition einer Verteilungsfunktion $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]$
mfg
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-26
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\quoteon(2022-01-26 18:21 - carlox im Themenstart)
Frage1:
Wie wird aber eine Funktion f als monoton wachsend definiert, wenn:
$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
Frage2:
Wie lautet die Definition einer Verteilungsfunktion $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]$
\quoteoff
In dem von dir zitierten Wikipedia-Artikel gibt es im Abschnitt Verteilungsfunktionen einen Verweis auf den Artikel Multivariate Verteilungsfunktionen, wo beide Fragen beantwortet werden.
--zippy
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carlox
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26
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\quoteon
In dem von dir zitierten Wikipedia-Artikel gibt es im Abschnitt Verteilungsfunktionen einen Verweis auf den Artikel Multivariate Verteilungsfunktionen, wo beide Fragen beantwortet werden.
\quoteoff
Das sehe ich anders:
In dem verlinkten Artikel wird diese Verteilungsfunktion immer in Zusammenhang mit einem WK-Maß oder einer ZVen definiert.
Ich will aber die Definition (so wie im eindimensionalen Fall) unabhängig von einem WK-Maß oder einer ZVen.
mfg
cx
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26
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Gehe auf den verlinkten Artikel zum Unterpunkt "Eigenschaften".
LG Nico
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26
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\quoteon(2022-01-26 20:10 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Gehe auf den verlinkten Artikel zum Unterpunkt "Eigenschaften".
\quoteoff
Dort steht $F=F_P$
mfg
cx
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1761
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\variety}{\mathcal{V}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}
\newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}
\newcommand{\map}{\operatorname{map}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}
\newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\)
\quoteon(2022-01-26 20:23 - carlox in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-01-26 20:10 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Gehe auf den verlinkten Artikel zum Unterpunkt "Eigenschaften".
\quoteoff
Dort steht $F=F_P$
\quoteoff
Lese den letzten Satz in dem Abschnitt.\(\endgroup\)
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1382
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26
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\quoteon(2022-01-26 20:30 - Kezer in
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AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3609
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-26
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Gerne lesen wir den Artikel für Dich und finden beispielsweise dies hier.
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1382
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27
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Hallo AnnaKath,
\quoteon(2022-01-26 22:43 - AnnaKath in Beitrag No. 7)
Gerne lesen wir den Artikel für Dich und finden beispielsweise dies hier.
\quoteoff
1)
Mich hat bei der Definition einer Verteilungsfunktion auf:
https://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate_Verteilungsfunktion
$F=F_p$ gestört.
Hier eine für mich klarere Definition:
https://www.wim.uni-mannheim.de/media/Lehrstuehle/wim/doering/WIM_LS_Doering/Stochastik/Grosse_UEbung/Uebung_7_Upload.pdf
angepaßt auf den zweidimensionalen Fall:
Eine Funktion $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ heißt eine multivariante Verteilungsfunktion,
falls sie folgenden Eigenschaften genügt:
i1)
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{F(x,y)} = \lim\limits_{y \rightarrow -\infty}{F(x,y)} = 0$
i2)
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{F(x,y)} = \lim\limits_{y \rightarrow \infty}{F(x,y)} = 1$
i3)
F ist in jeder Variablen rechtssteig
iv)
F ist rechtecksmonoton
2)
Bei der Definition einer rechtecksmonotonen Funktion ist mir leider nicht klar, was diese intuitiv bedeuten soll.
Habe das versucht an einem Rechteck zu verstehen, komme da aber nicht weiter.
Für mich wäre eher so was intuitiv im zweidimensionalen Raum:
F(x,y) ist monoton wachsend für beliebiges y und
F(x,y) ist monoton wachsend für beliebiges x und
oder auch so was:
Für alle a mit $a \le x$ und alle b mit $b \le y$ gilt:
$F(a,b) \le F(x,y)$
mfg
cx
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3609
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-27
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\quoteon(2022-01-27 11:04 - carlox in Beitrag No. 8)
Für mich wäre eher so was intuitiv im zweidimensionalen Raum:
F(x,y) ist monoton wachsend für beliebiges y und
F(x,y) ist monoton wachsend für beliebiges x und
\quoteoff
Überleg dir, welche Eigenschaften $F$ haben muss, damit es die Verteilungsfunktion von zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sein kann.
Es muss ja beispielsweise für $x_2\ge x_1$$$
P(x_1
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carlox
Aktiv
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27
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Vielen Dank für den Hinweis.
Ich habe versucht, das noch anschaulicher darzuatellen (habe das 1. Mal etwas mit Latex gezeichnet, deswegen suboptimal):
$
\begin{tikzpicture}
%Raster zeichnen
\draw [color=gray!50] [step=5mm] (-.5,-.5) grid (10.5,10.5);
% Achsen zeichnen
\draw[->,thick] (2,2) -- (10.5,2) node[right] {$x$};
\draw[->,thick] (2,2) -- (2,10.5) node[above] {$y$};
%Punkte einzeichnen:
\node [cross=3pt,label={}] at (5,5) {A};
\node [cross=3pt,label={}] at (1,5) {A1};
\node [cross=3pt,label={}] at (1,2) {A2};
\node [cross=3pt,label={}] at (5,2.5) {A3};
\node [cross=3pt,label={}] at (7,7.5) {P1(x2,y2)};
\node [cross=3pt,label={}] at (4,7.5) {P2(x1,y2)};
\node [cross=3pt,label={}] at (4,3) {P3(x1,y1)};
\node [cross=3pt,label={}] at (7,3) {P4(x2,y1)};
\draw (4,1) -- (4, 7);
\draw (6,1) -- (6, 7);
\draw (1,3) -- (6, 3);
\draw (1,7) -- (6, 7);
\end{tikzpicture}
$
Es gilt:
$p:=(x_1,y_1)$
$q:=(x_2,y_2)$
$A := P(x_1 < X \le x_2 \;,\; y_1 < Y \le y_2)$
$A_1 := P(X \le x_1 \;,\; y_1 < Y \le y_2)$
$A_2 := P(X \le x_1 \;,\; Y \le y_1)$
$A_3 := P(x_1 < X \le x_2 \;,\; Y \le y_1)$
Daraus folgt:
$A = (X \le x_2 \;,\; Y \le y_2) \; \setminus A_1 \; \setminus A_2 \; \setminus A_3 $
also:
$P(A) =P(X \le x_2 \;,\; Y \le y_2) \; – P(A_1) \; – P(A_2) \; – P(A_3) $
Es gilt ausserdem:
$P(X \le x_1 \;,\; y_1 < Y \le y_2) = P((X \le x_1 ; Y \le y_2) \setminus (X \le x_1 \;,\; Y \le y_1)) = F(x_1,y_2)-F(x_1,y_1)$
$P(X \le x_1 \;,\; Y \le y_1)=F(x_1,y_1)$
$P(x_1 < X \le x_2 \;,\; Y \le y_1)=P((X \le x_2 ; Y \le y_1) \setminus (X \le x_1 \;,\; Y \le y_1))= F(x_2,y_1)-F(x_1,y_1)$
$P(X \le x_2 \;,\; Y \le y_2)=F(x_2,y_2)$
und damit:
$P(x_1 \le X \le x_2 \;,\; y_1 \le Y \le y_2)$=
$F(x_2,y_2) –[F(x_1,y_2)-F(x_1,y_1)] - F(x_1,y_1) -[ F(x_2,y_1)-F(x_1,y_1)] =$
$F(x_2,y_2) –F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) - F(x_1,y_1) - F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1) =$
$F(x_2,y_2) –F(x_1,y_2) - F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1) = \Delta^{x}_{y}F$
also (da $P(A) \ge 0)$:
$x \le y \Rightarrow P(A) = \Delta^{q}_{p}F \ge 0 $
mfg
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3609
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-27
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Du musst bei den Ungleichungen präziser arbeiten. Da $F$ nicht stetig, sondern nur stetig von rechts ist, gilt nicht $P(X\le x_1,y_1\le Y\le y_2)=F(x_1,y_2)-F(x_1,y_1)$, sondern nur $P(X\le x_1,y_1Beitrag No. 10)
$F(x_2,y_2) –F(x_1,y_2) - F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1) = \Delta^{x}_{y}F$
\quoteoff
Hier kommst du mit der Unterscheidung $x/y$ und $1/2$ durcheinander. An dem $\Delta$ steht nicht $x=(x_1,x_2)$ und $y=(y_1,y_2)$, sondern $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$.
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1382
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27
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\quoteon(2022-01-27 20:58 - zippy in Beitrag No. 11)
Du musst bei den Ungleichungen präziser arbeiten.
...
Hier kommst du mit der Unterscheidung $x/y$ und $1/2$ durcheinander. An dem $\Delta$ steht nicht $x=(x_1,x_2)$ und $y=(y_1,y_2)$, sondern $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$.
\quoteoff
Danke für deine kritische Durchsicht.
Ich habe es korrigiert.
Ist es jetzt korrekt ?
mfg
cx
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