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 Paralleluniversum Collatz [2]: modulobasierte Expansion |
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cramilu
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Mitteilungen: 1641
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 |  Themenstart: 2022-05-05
|
Dieses Thema habe ich abgespaltet von
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=258403&start=0 ,
weil es mir um einen speziellen Ansatz geht,
den haegar90 dankenswert getriggert hat. 😉
Jeder, der Zeit übrig hat, kann gerne mitmachen!
Das »Collatz-Problem« war auch mir schon vor 30 Jahren
im Informatik-Studium begegnet. Paul Erdős wird dazu
oft zitiert, unsere Mathematik sei immer noch nicht reif
genug für derartige Problemstellungen, und 1983 warnte
Richard Kenneth Guy ausdrücklich: »Don’t try to solve
these problems!«.
Mir geht es im Folgenden keinesfalls um eine neunmalschlau-
dilettantische Beweisidee, sondern lediglich um eine auf
spezielle Art verallgemeinerte Betrachtung des Ganzen.
Ausdrücklich soll herumprobiert und kaputtgetestet werden!
Auf dem Matheplaneten darf man das glücklicherweise. 🤗
Verallgemeinerung:
Für \(n\in\mathbb{N}_+\) , \(d\in\mathbb{N}_+(d\geq2)\) , \(a\in[d+1;2d-1]\) ,
\(b_1=2d-a\) bzw. \(b_2=d-a\) sei
\(m_{d;a;b}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{d} & wenn\;\;\;r=n\mod d=0 \\
a\cdot n+b_{1[2]}\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod d\neq0 \end{array}\right.\)
und heiße Modulo-based Expanding Syracuse Sequence
[MESS] (modulobasiert expandierende Syracuse-Folge)\(\).
Die »Collatz-Folge« \(C(n)\) wäre dann konkret \(m_{2;3;1}(n)\) .
Warum das? Nun, Collatz selber hatte solche Folgen, mit
denen er sich beschäftigt hat, auch schon so aufgebaut, dass
er im Hinblick auf ihre Fortsetzung mit Fallunterscheidungen
gearbeitet hat, welche sich an Teilungsresten orientierten.
Und die spezielle »Collatz-Folge« kommt mit bloß zwei
derartiger Fallunterscheidungen aus, wobei die jeweils zweite
garantiert, dass nach einem nicht wunschgemäß teilbaren
Folgeglied das wiederum folgende wunschgemäß teilbar ist.
Das lässt sich stets mit passenden additiven Faktoren für den
Modulo-Rest erreichen.
Das grundsätzlich naiv abschätzbare Folgenwachstum orientiert
sich am Verhältnis \(\frac{a}{d}\) . ›Probebohrungen‹ mit Werten \(\frac{a}{d}\geq2\)
hatten bei mir stets rasch divergierende Folgen gezeitigt.
Und die sind doof! 🙃
Die obige Tabelle enthält nun für \(2\leq d\leq13\) schon etliche
Testkandidaten.
Welche davon divergieren [wahrscheinlich] für welche \(n \)
über Folgenwerte von \(10^{15[18;21;24;...]}\) hinaus?
Welche davon divergieren für \(n\leq100[1000;10000;...]\)
[mutmaßlich] nicht? In welche und wieviele periodische
Schleifen welcher Länge (»Collatz-Folge«: 4-2-1) mündet
die Folgenentwicklung? Welche ›Mündungsanteile‹ haben diese
Schleifen für \(n\leq100[1000;10000;...]\)? Und so weiter...
Kann man gar einen Wert für \(\frac{a}{d}\) - ggf. um einen korrektiven
Teilterm erweitert - angeben, unterhalb dessen nahezu
sicher mit ›collatz-ähnlichem‹ Verhalten zu rechnen ist?
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 Profil
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haegar90
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Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 935
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-06
|
Mit dieser Bildungsvorschrift (Schreibweise bitte noch einmal prüfen ob ich die richtig verstanden habe) ergibt sich anscheinend entweder der immer gleiche Zyklus mit dem Minimum $8$ oder ein möglicherweise endloses Wachstum.
Warum eine Startzahl wächst bzw. in einen Zyklus gelangt habe ich noch nicht herausgefunden. (gut wenn jemand die Zahlen noch einmal gegenprüfen könnte)
\(m_{5;8;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\
8\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\)
\showon
\sourceon Python
n , Text Liste
1 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
2 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
3 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
4 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
6 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
7 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
8 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
9 , divergent [82398968568, 659191748550]
11 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
12 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
13 , divergent [108001976088, 864015808710]
14 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
16 , divergent [26367669942, 210941359540]
17 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
18 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
19 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
21 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
22 , divergent [172803161742, 1382425293940]
23 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
24 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
26 , divergent [42188271908, 337506175270]
27 , divergent [42188271908, 337506175270]
28 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
29 , divergent [30342033276516, 242736266212130]
31 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
32 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
33 , divergent [162897550770984, 1303180406167880]
34 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
36 , divergent [276485058788, 2211880470310]
37 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
38 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
39 , divergent [39769909856196, 318159278849570]
41 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
42 , divergent [67501235054, 540009880440]
43 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
44 , divergent [67501235054, 540009880440]
46 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
47 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
48 , divergent [48547253242426, 388378025939410]
49 , divergent [82398968568, 659191748550]
51 , divergent [82398968568, 659191748550]
52 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
53 , divergent [82398968568, 659191748550]
54 , divergent [260636081233576, 2085088649868610]
56 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
57 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
58 , divergent [442376094062, 3539008752500]
59 , divergent [449019681236, 3592157449890]
61 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
62 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
63 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
64 , divergent [63631855769914, 509054846159320]
66 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
67 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
68 , divergent [108001976088, 864015808710]
69 , divergent [108001976088, 864015808710]
71 , divergent [108001976088, 864015808710]
72 , divergent [108001976088, 864015808710]
73 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
74 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
76 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
77 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
78 , divergent [77675605187882, 621404841503060]
79 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
81 , divergent [26367669942, 210941359540]
82 , divergent [26367669942, 210941359540]
83 , divergent [64724, 517800]
84 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
86 , divergent [26367669942, 210941359540]
87 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
88 , divergent [417017729973722, 3336141839789780]
89 , divergent [13908, 111270]
91 , divergent [2114531102828074, 16916248822624600]
92 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
93 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
94 , divergent [5662414004, 45299312040]
96 , divergent [718431489978, 5747451919830]
97 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
98 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
99 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
101 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
102 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
103 , divergent [1363176584, 10905412680]
104 , divergent [101810969231864, 814487753854920]
106 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
107 , divergent [804677427418, 6437419419350]
108 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
109 , divergent [3394, 27160]
111 , divergent [2581214725131924, 20649717801055400]
112 , divergent [172803161742, 1382425293940]
113 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
114 , divergent [172803161742, 1382425293940]
116 , divergent [172803161742, 1382425293940]
117 , divergent [38743808248, 309950465990]
118 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
119 , divergent [982272250264, 7858178002120]
121 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
122 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
123 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
124 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
126 , divergent [124280968300612, 994247746404900]
127 , divergent [302058168, 2416465350]
128 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
129 , divergent [124280968300612, 994247746404900]
131 , divergent [42188271908, 337506175270]
132 , divergent [42188271908, 337506175270]
133 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
134 , divergent [20712, 165700]
136 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
137 , divergent [42188271908, 337506175270]
138 , divergent [42188271908, 337506175270]
139 , divergent [42188271908, 337506175270]
141 , divergent [42188271908, 337506175270]
142 , divergent [667228367957956, 5337826943663650]
143 , cycle [200, 8, 70, 14, 120, 24, 200]
144 , divergent [22254, 178040]
146 , divergent [676649952904984, 5413199623239880]
147 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
148 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
149 , divergent [30342033276516, 242736266212130]
151 , divergent [1786066034, 14288528280]
152 , divergent [9059862408, 72478899270]
153 , divergent [30342033276516, 242736266212130]
154 , divergent [1149490383966, 9195923071730]
156 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
157 , divergent [1166472985336, 9331783882690]
158 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
159 , divergent [257496776774, 2059974214200]
161 , divergent [3116322, 24930580]
162 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
163 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
164 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
166 , divergent [2181082536, 17448660290]
167 , divergent [257496776774, 2059974214200]
168 , divergent [162897550770984, 1303180406167880]
169 , divergent [257496776774, 2059974214200]
171 , divergent [162897550770984, 1303180406167880]
172 , divergent [257496776774, 2059974214200]
173 , divergent [51401403742, 411211229940]
174 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
176 , divergent [5432, 43460]
177 , divergent [825988712042216, 6607909696337730]
178 , divergent [825988712042216, 6607909696337730]
179 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
181 , divergent [276485058788, 2211880470310]
182 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
183 , divergent [54506409726, 436051277810]
184 , divergent [276485058788, 2211880470310]
186 , divergent [276485058788, 2211880470310]
187 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
188 , divergent [61990093198, 495920745590]
189 , divergent [29172, 233380]
191 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
192 , divergent [1571635600424, 12573084803400]
193 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
194 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
196 , cycle [70, 14, 120, 24, 200, 8, 70]
197 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
198 , cycle [120, 24, 200, 8, 70, 14, 120]
199 , divergent [39769909856196, 318159278849570]
\sourceoff
\showoff
|
Profil
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gonz
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-06
|
Scheint soweit zu passen...
\showon
\sourceon plain old ascii
Processing : 1 done by loop(70)
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Processing : 15 done by loop(70)
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Processing : 41 done by loop(70)
Processing : 42 Exceeding 100000 Bits
\sourceoff
\showoff
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cramilu
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11
|
Guten Morgen! 😉
Bei mir auch.
Zwar scheint der überwiegende Anteil an Startzahlen,
und das auch noch jeweils vergleichsweise rasch,
in den periodischen Zyklus "70-14-120-24-200-40-8"
zu münden (ich habe meine insgesamt über derartige
Folgen aufgespürten Zyklen stets so benannt, dass die
jeweils kleinste auftretende Zykluszahl am Ende steht
- so wie bei "4-2-1" beim »Collatz-Original«).
Allerdings scheinen bereits die Startzahlen \(9\), \(13\), \(16\)
und \(22\) deutliche "Divergatoren" zu sein!
Anders dagegen bei
\(m_{5;8;-3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{5} & wenn\;\;\;r=n\mod 5=0 \\
8\cdot n-3\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 5\neq0 \end{array}\right.\)
Hier habe ich unter den ersten hundert Startzahlen
acht verschiedene periodische Zyklen gefunden,
und zwar die vier jeweils zweigliedrigen "5-1" (5/100),
"10-2" (10/100), "15-3" (4/100) sowie "20-4" (6/100),
die beiden jeweils sechzehngliedrigen
"255-51-405-81-645-129-1020-204-1620-324-2580-516-4125-825-165-33" (28/100)
sowie
"245-49-380-76-605-121-965-193-1535-307-2450-490-98-775-155-31" (8/100),
und schließlich die beiden jeweils gar 110[!]-gliedrigen
"1165-233-1855-371-...-18250-3650-730-146" (38/100)
und "1170-234-1860-372-...-18375-3675-735-147" (1/100).
In letzteren mündet als erste die Startzahl \(93\).
Bis einschließlich \(d=6\) bin ich im Rahmen meiner ersten
Modellierungsphase durch, und \(d=7\) beackere ich aktuell
noch zu Ende.
haegar90, Deine Modulo-Anregung hatte mich auf eine
verallgemeinerte Bildungsvorschrift gebracht, die ich für
»Collatz« am nahekommendsten halte. Erhofft hatte ich mir
danach, im Idealfall eine Art Horizont "Collatz-Wendekreis"
durch die Vergleichstabelle im Eröffnungsbeitrag aufspüren
zu können. Also eine Linie schräg von links oben nach
rechts unten, oberhalb derer die Folgen mutmaßlich nicht
divergieren, diejenigen unterhalb aber doch.
Selbst eine Art »Collatz-Korridor« wäre schon interessant.
Oberhalb: mit deutlichen Hinweisen mutmaßlich nicht-divergent;
unterhalb: mit deutlichen Hinweisen mutmaßlich divergent.
Dazwischen, also innerhalb: Kaum abschätzbares Herumgeeiere.
Ich bin weiter gespannt, wohin uns das Ganze führen wird...
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cramilu
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11
|
Meine Ergebnisse bis einschließlich \(d=7\)
habe ich inzwischen verschoben, damit mich nicht
die 30-Tage-Regel beim Aktualisieren stört...
Meine grobe Vorgehensweise:
\showon
Modellierung mittels EXCEL 2000
und für Startwerte von \(1\) bis \(100\) bzs. \(200\).
Als Informatiker rümpfe ich zwar stets die Nase,
wenn Tabellenkalkulationen als Datenbanken herhalten sollen,
aber für tabellarische Übersichten nutze ich sie gerne.
Die Beschränkung auf eine Rechengenauigkeit von höchstens
15 gültigen Ziffern begrenzt allerdings die Möglichkeiten.
Zumal steigt die eingebaute Funktion REST() bereits ab
Argumenten um \(10^9\) aus.
\showoff
Aktualisierte Erkenntnisse siehe später...
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haegar90
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-12
|
\quoteon(2022-05-11 21:47 - cramilu in Beitrag No. 4)
Nun zu meinen Ergebnissen bis einschließlich \(d=7\) ...
Wer bereits eine ordentlich programmierte Routine
am Start hat, welche zuverlässig mit sehr großen
Zahlen rechnet, der überprüfe bitte gerne selber -
zur Absicherung. Auch die Verteilung der erreichten
Zyklen für Startzahlen von \(1\) bis \(1.000.000\) (oder so)
könnte aufschlussreich sein!
....
Fortsetzung folgt...
\quoteoff
Ob meine Routine ordentlich programmiert ist, ist fraglich 😄
Lasse diese Woche die Zahlen trotzdem mal laufen.....
AddOn:
Dass $m_{4;7;-3}$ anscheinenend divergiert, kann ich bestätigen.
Tendenziell nimmt die Anzahl divergierender Startzahlen zu je größer die zahlen werden. Bis $n=1000$ gehen noch die meisten Startzahlen in einen Zyklus.
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cramilu
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-21
|
🙄 Wer sich fragt, weshalb ich derzeit zu anderen Themen
weniger Senf gebe als gewohnt, der wundere sich nicht weiter,
denn die halbwegs systematische Beschäftigung hiermit ist
genau der erwartete Zeitfresser...
Bis einschließlich \(d=9\) bin ich im Rahmen meines
Modellierungsansatzes durch. Für gerade \(d\) scheint es
allerdings eine bestimmte Gruppe vielversprechender
Folgen zu geben, denen ich mich noch näher widmen mag,
bevor ich die nächsten Einzelerkenntnisse mitteile.
Wer zu obigen Bestätigungen oder Widersprüche weiß:
Gerne her damit! 😉
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gonz
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-22
|
Moin :)
Es ist irgendwie komisch, dass man ab einem (relativ) geringen Startwert keine (oder... kaum noch...) neue Schleifen findet. An Schleifen, die besonders weit ansteigen, habe ich gefunden:
D=8 A=11 B=-3 Schleife (8) max 44738112
D=10 A=13 B=-3 Schleife (12) max 82769000
D=11 A=16 B=-5 Schleife (30) max 101088119
Wenn Interesse besteht könnte ich mal den gesamten Output posten oder per PN zusenden zwecks Abgleich. Abgesucht habe ich bis D=13 und Startwerten bis 200 Mio. Mein Programm "merkt" sich von einer gefundenen Schleife immer nur deren Maximalwert.
Einen schönen Sonntag wünscht
Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-22
|
D=4 A=7 B=-3 Schleife (13) 106755520
D=8 A=11 B=5 Schleife (4) 665865792
D=8 A=11 B=5 Schleife (5) 706434112
D=9 A=17 B=1 Schleife (1) 362175300
( das ist besonders cool weil es die erste Schleife für diesen Fall ist )
( kann das jemand checken? nicht dass ich irgendwie im falschen Film bin )
D=10 A=13 B=-3 Schleife (13) gefunden 102758800
und hier!
D=11 A=16 B=-5 Schleife (31) gefunden 159319853
D=11 A=16 B=-5 Schleife (32) gefunden 163705619
D=11 A=16 B=-5 Schleife (33) gefunden 232809324
D=11 A=16 B=-5 Schleife (34) gefunden 277142514
D=11 A=16 B=-5 Schleife (35) gefunden 309871441
D=11 A=16 B=-5 Schleife (36) gefunden 490556990
D=11 A=16 B=-5 Schleife (37) gefunden 533402364
D=11 A=16 B=-5 Schleife (38) gefunden 637665281
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gonz
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-23
|
Dann ist hier noch ein wenig Material...
\showon
> D=11 A=12 B=10 Schleife (4) 1631080
> D=12 A=13 B=11 Schleife (4) 2135232
> D=12 A=13 B=11 Schleife (5) 5773680
> D=7 A=9 B=5 Schleife (4) 8014097
> D=13 A=16 B=10 Schleife (5) 4032678
> D=10 A=13 B=7 Schleife (4) 2756300
> D=13 A=16 B=-3 Schleife (13) 9866389
> D=12 A=17 B=-5 Schleife (13) 2983855680
> D=10 A=13 B=-3 Schleife (11) 9659600
> D=10 A=13 B=-3 Schleife (12) 82769000
> D=10 A=13 B=-3 Schleife (13) 102758800
> D=10 A=13 B=-3 Schleife (14) 1221838100
> D=8 A=11 B=5 Schleife (4) 665865792
> D=8 A=11 B=5 Schleife (5) 706434112
> D=13 A=16 B=-3 Schleife (14) 7101500328
> D=13 A=17 B=9 Schleife (4) 7552779
> D=7 A=9 B=-2 Schleife (9) 4227818
> D=12 A=20 B=4 Schleife (2) 19289952
> D=8 A=11 B=-3 Schleife (8) 44738112
> D=11 A=15 B=-4 Schleife (13) 5773757
> D=13 A=19 B=7 Schleife (4) 1325467
> D=13 A=19 B=7 Schleife (5) 8316152
> D=12 A=23 B=-11 Schleife (18) 2011824
> D=9 A=13 B=-4 Schleife (40) 3164751
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (13) 12330989
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (14) 17893480
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (15) 18234700
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (16) 18331137
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (17) 19295991
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (18) 19979883
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (19) 21656701
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (20) 22434610
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (21) 23472790
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (22) 27143446
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (23) 37377142
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (24) 39654241
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (25) 40401174
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (26) 53283560
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (27) 58435377
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (28) 65634030
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (29) 76453003
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (30) 101088119
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (31) 159319853
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (32) 163705619
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (33) 232809324
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (34) 277142514
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (35) 309871441
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (36) 490556990
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (37) 533402364
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (38) 637665281
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (39) 1051501979
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (40) 1498813811
> D=7 A=10 B=4 Schleife (2) 5643820
> D=11 A=16 B=-5 Schleife (41) 4133275421
> D=10 A=17 B=3 Schleife (2) 1920000
> D=7 A=10 B=4 Schleife (3) 3204436928
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (17) 1834495
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (18) 2010255
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (19) 2757235
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (20) 13871520
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (21) 14014832
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (22) 20314138
> D=13 A=23 B=-10 Schleife (23) 77616968
> D=7 A=10 B=-3 Schleife (8) 70555737
> D=9 A=17 B=1 Schleife (1) 362175300
> D=5 A=7 B=-2 Schleife (8) 7332160925
> D=7 A=13 B=1 Schleife (2) 1496215
> D=7 A=13 B=1 Schleife (3) 2143701
> D=7 A=13 B=1 Schleife (4) 10718064
> D=5 A=8 B=-3 Schleife (7) 1244375
> D=5 A=8 B=-3 Schleife (8) 1522575
> D=4 A=7 B=-3 Schleife (13) 106755520
\showoff
Grüße, Gonz
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gonz
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-27
|
So... ein paar kleine Erläuterungen.
Ich wollte ein Programm schreiben, das möglichst schnell Zyklen in den von Cramilu definierten Folgen findet. Dazu hatte ich die Idee, das Programm gezielt nach maximalen Elementen suchen zu lassen (das sind einfach jeweils die größten Elemente in einem gegebenen Zyklus). Das hat folgende Vorteile:
- man braucht nur Startwerte zu betrachten, die durch D teilbar sind, da das maximale Element einen kleineren Nachfolger haben muss.
- man braucht sich nur die Maximalwerte aller bisher schon erkannten Zyklen zu merken, nicht aber alle Elemente des Zyklus. Das spart nicht nur Speicher, sondern auch die Rechenzeit, die ggf. für die ganzen Vergleiche gebraucht würde.
Für einen gegebenen Startwert bildet man dann die nächsten Folgenglieder, und ist fertig, wenn:
- der neue Wert größer wird als der Startwert (man sucht ja ein Maximum)
- der neue Wert dem Maximum eines bereits gefundenen Zyklus entspricht, oder
- der neue Wert der Startwert ist, dann hat man einen neuen Zyklus gefunden.
Ich hatte das Programm erst so geschrieben, dass mittels C und GMP Library beliebig große Zahlen verwaltet werden könnnen, habe dann aber bemerkt, dass man sowieso nicht weiter kommt, und es auf 64bit Integer umgebaut.
Außerdem bildet das Programm nach Start für jeden der Werte D=2..13 einen eigenen Thread, sodaß die Arbeit auf die verfügbaren CPU Kerne verteilt wird (außer... man hat mehr als 12 Kerne installiert).
Um den Bereich der Startwerte bis 10^11 abzuklappern (100 Mrd), braucht es auf meinem bescheidenen Rechenknecht (vier Kerne) etwas bei 3 Tagen.
Es ist nun für mich wieder die Zeit gekommen, das tumbe Programmieren beiseite zu legen und zu überlegen, was aus den Daten nun eigentlich zu schlussfolgern ist (und abzuwarten, was Uli ausbrütet aktuell).
Und hier sind die Ergebnisse als Textdatei:
http://www.raptrix.de/EC-III.sort.log
Mit besten Grüßen
Gerhard/Gonz
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cramilu
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-29
|
»[...] noch ein wenig Material: [...]«
Genau mein Humor! 😂
Um besondere periodische Zyklen wollte ich mich
eigentlich erst später kümmern, aber sei's d'rum;
gonz, die folgenden vier bestätige ich en detail:
\showon
d = 4 ; a = 7 ; b = -3
Spätestens mit Startzahl \(6.598\) wird ein periodischer
Zyklus erreicht, der \(\underline{262}\) Glieder umfasst:
[1] 46.180 ; [2] 11.545 ; [3] 80.812 ; [4] 20.203 ;
[5] 141.412 ; ... ; [116] 61.003.156 ; [117] 15.250.789 ;
[118] 106.755.520 ; [119] 26.688.880 ; [120] 6.672.220 ;
[121] 1.668.055 ; [122] 11.676.376 ; ... ; [259] 422.272 ;
[260] 105.568 ; [261] 26.392 ; [262] 6.598 ; [1] 46.180 ...
###
d = 5 ; a = 7 ; b = -2
Spätestens mit Startzahl \(7.529\) wird ein periodischer
Zyklus erreicht, der \(\underline{634}\)[!] Glieder umfasst:
[1] 52.695 ; [2] 10.539 ; [3] 73.765 ; [4] 14.753 ;
[5] 103.265 ; ... ; [323] 5.237.257.805 ; [324] 1.047.451.561 ;
[325] 7.332.160.925 ; [326] 1.466.432.185 ; [327] 293.286.437 ;
[328] 2.053.005.055 ; ... ; [630] 4.705.625 ; [631] 941.125 ;
[632] 188.225 ; [633] 37.645 ; [634] 7.529 ; [1] 52.695 ...
###
d = 5 ; a = 8 ; b = -3
Als erste führen die Startzahlen \(8\) , \(11\) , \(13\) , \(17\) und
\(19\) in einen periodischen Zyklus mit \(\underline{110}\) Gliedern:
[1] 1.165 ; [2] 233 ; [3] 1.855 ; [4] 371 ; [5] 2.965 ; ...
... ; [68] 777.740 ; [69] 155.548 ; [70] 1.244.375 ; [71] 248.875 ;
[72] 49.775 ; [73] 9.955 ; [74] 1.991 ; [75] 15.925 ; ...
... ; [107] 18.250 ; [108] 3.650 ; [109] 730 ; [110] 146 ; [1] 1.165
Und... die Startzahl \(93\) führt als erste in einen
zweiten periodischen Zyklus mit \(\underline{110}\) Gliedern:
[1] 1.170 ; [2] 234 ; [3] 1.860 ; [4] 372 ; [5] 2.970 ; ...
... ; [61] 951.615 ; [62] 190.323 ; [63] 1.522.575 ;
[64] 304.515 ; [65] 60.903 ; [66] 487.215 ; ... ; [107] 18.375 ;
[108] 3.675 ; [109] 735 ; [110] 147 ; [1] 1.170
Letztere beiden hatte ich zuvor bereits referenziert.
\showoff
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gonz
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-01
|
Und hier noch ein Diagramm :)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_ec-III.jpg
Und noch eins... Das ist interpretationsbedürftig. Ich summiere jeweils für einen D-Wert die gefundenen Zyklen auf, also über alle zugehörigen Folgen der A-Werte D+1..2D-1. Das sind also mehr "Möglichkeiten" für Zyklen, da ich aber nur bis zu einer festen Obergrenze suche, sind es pro A-Wert immer weniger "Kandidaten". Da die Laufzeit des Suchprogramms für jeden D-Wert ungefähr gleich groß ist, macht es jedenfalls mehr Sinn, für D=13 weiterzusuchen, wenn man hinter "noch größeren" Zyklen her ist. Ich muss ja zugeben, dass mein Sportgeist geweckt ist, sozusagen.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_ec-III-by-D-II.jpg
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cramilu
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-09
|
Aktualisierte Ergebnisse siehe ab Beitrag #18 ...
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gonz
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-12
|
Hierzu noch ein Beitrag... ich hab nochmalmal für alle der hier betrachteten Algorithmen den Verlauf der ersten Startwerte angesehen und auf Zyklen untersucht, die wir noch nicht kennen. Dabei ist mir die Folge mit D=13, A=16 und B=-3 aufgefallen mit folgenden Fundstücken. Angegeben ist jeweils das maximale Element des Zyklus.
35103185614036514 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 62
4939739471430907 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 7789
488578524434 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 18767
524693990509238511 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 19455
4751759396683 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 25855
369827653221 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 32991
495141831080 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 35885
467209605889 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 40672
2433636126792 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 54606
457999316632 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 61885
190180386370 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 75277
2245768173844 gefunden für 13 16 -3 Startzahl 98638
Ich weiß leider noch nicht, wie man das nun genauer einzuordnen hat... Aber vielleicht findet sich ja ein Schema.
Grüße und einen schönen Sonntag Abend
wünscht Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-13
|
Und hier ist noch ein Nachtrag. Ich habe mir für D=13, A=16 und B=-3 nun auch die jeweils minimalen Elemente im Zyklus und die Zykluslänge ausgeben lassen. Startzahl ist jeweils die kleinste Zahl, von der aus der Zyklus erreicht wird.
Und siehe da:
\sourceon
Zyklus 13 Min= 85 Max= 9866389 Len= 258 Startzahl= 16
Zyklus 14 Min= 125 Max= 35103185614036514 Len= 2212 Startzahl= 62
Zyklus 15 Min= 69295 Max= 4939739471430907 Len= 874 Startzahl= 7789
Zyklus 16 Min= 86360 Max= 488578524434 Len= 437 Startzahl= 18767
Zyklus 17 Min= 29466 Max= 524693990509238511 Len= 874 Startzahl= 19455
Zyklus 18 Min= 48196 Max= 4751759396683 Len= 437 Startzahl= 25855
Zyklus 19 Min= 75690 Max= 369827653221 Len= 437 Startzahl= 32991
Zyklus 20 Min= 155076 Max= 36197726877 Len= 437 Startzahl= 33693
Zyklus 21 Min= 101336 Max= 495141831080 Len= 437 Startzahl= 35885
Zyklus 22 Min= 93316 Max= 467209605889 Len= 437 Startzahl= 40672
Zyklus 23 Min= 108028 Max= 36376130206 Len= 437 Startzahl= 41167
Zyklus 24 Min= 99875 Max= 52844732525 Len= 437 Startzahl= 49184
Zyklus 25 Min= 225162 Max= 2433636126792 Len= 437 Startzahl= 54606
Zyklus 26 Min= 141991 Max= 457999316632 Len= 437 Startzahl= 61885
Zyklus 27 Min= 75277 Max= 190180386370 Len= 437 Startzahl= 75277
Zyklus 28 Min= 184525 Max= 16411738213 Len= 437 Startzahl= 82414
Zyklus 29 Min= 95405 Max= 48661539407 Len= 437 Startzahl= 95405
Zyklus 30 Min= 98638 Max= 2245768173844 Len= 437 Startzahl= 98638
Zyklus 31 Min= 236787 Max= 7101500328 Len= 437 Startzahl= 122445
\sourceoff
Das gehäufte Auftreten der 437 als Zykluslänge wird wohl kaum Zufall sein. Die zweimal auftretende 874 ist das Doppelte davon. Bleiben die Ausreißer mit 258 und 2212 Länge. Ob die auch zu "Serien" gehören, von denen nur eben bisher ein einzelnes Exemplar aufscheint? Oder erratische Werte?
Grübelnde Grüße
Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-06-14
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Ich habe spasseshalber mal diese 437-Zyklen graphisch dargestellt (y-Achse logarithmisch), sie sehen sich irgendwie gar nicht ähnlich...
https://www.facility-2.de/gonz_space/Zyklen.zip
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cramilu
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-15
|
Guten Morgen, gonz - großartig! 😮
Kollabiert eine Folge genau wie »Collatz« oder
stattdessen mit mehreren Zyklen?
Kollabiert sie bloß fast und weist dabei lediglich wenige
verstreute "Divergatoren" auf - und wie hängen diese
möglicherweise zusammen?
Kollabiert sie insgesamt deutlich nicht, für einige
spezielle Startzahlen aber doch - und wie hängen jene
möglicherweise zusammen?
Wieviele Glieder umfassen welche Zyklen?
Hängt die Gliederanzahl irgendwie von \(d\) und \(a\) ab?
Mit welcher Verteilungshäufung treten die Zyklen auf?
Bedingen dabei bestimmte Startzahlen bestimmte Zyklen?
Wie stellt sich die "Fieberkurve" eines Zyklus dar?
[Das, was Du jüngst veranschaulicht hast.]
Gibt es dabei Analogien, und wovon hängen die Verläufe
ähnlich scheinender Zyklen möglicherweise ab?
Solchen Fragen ist im Hinblick auf mögliche Muster
nachzugehen. Leider sehe ich noch immer keine...
Aber: Aufgegeben wird nicht! 😎
Primzahlen scheinen eine Rolle zu spielen.
Aber welche und wie? 🙄
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cramilu
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16
|
Was lange währt...
Der aktuelle Stand meiner Schürferei; für über hundert verschiedene
Modulo-Folgen habe ich jeweils die Entwicklungen mindestens der
ersten hundert Startzahlen im Rahmen meiner EXCEL-Modellierung
durchgeprüft - häufig sogar die der ersten \(250\).
Ein grobes Bild zeichnet sich schon ab. Mein masochistischer Aufruf
lautet selbstverständlich, diejenigen Folgen kaputtzutesten, welche
in der Übersicht in Leuchtgrün hinterlegt sind! Andere Widerlegungen
oder Bestätigungen sind unbenommen gleich willkommen. 😎
Was ich zunächst "rausgehauen" hatte,
konnte ich selber bislang noch nicht widerlegen:
cramilu-Vermutung #1 (siehe auch C.Universum[3])
Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden
Folgen \(C_{3;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet:
\(C_{3;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\
3n+3^k & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\)
Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\)
irgendwann in den dreigliedrigen Zyklus " \(4\cdot3^k\) ; \(2\cdot3^k\) ; \(3^k\) " .
Unter jenen ist die »Collatz-Folge« \(C_{3;0}(n)\) !
Beispiel:
\showon
\(C_{3;6}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\
3n+729 & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\)
kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den
dreigliedrigen Zyklus \(2916;1458;729[;2916;...]\) .
\showoff
cramilu-Vermutung #2
Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden
Folgen \(C_{5;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet:
\(C_{5;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2^k\cdot5} & wenn\;\;\;r=n\mod (2^k\cdot5)=0 \\
2^k\cdot(6n+4r) & wenn\;\;\;r=n\mod (2^k\cdot5)\neq0 \end{array}\right.\)
Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\)
irgendwann in einen \((9+2k)\)-gliedrigen Zyklus, der jeweils
mit \((2^k\cdot5\cdot8)\) beginnt und mit \(4\) endet.
Beispiel:
\showon
\(C_{5;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{80} & wenn\;\;\;r=n\mod 80=0 \\
96n+64r & wenn\;\;\;r=n\mod 80\neq0 \end{array}\right.\)
kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den
17-gliedrigen Zyklus \(640;8;1280;16;2560;32;5120;64;\)
\(10240;128;15360;192;20480;256;25600;320;4[;640;...]\) .
\showoff
cramilu-Vermutung #3
Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden
Folgen \(C_{4;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet:
\(C_{4;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{4^{k+1}} & wenn\;\;\;r=n\mod 4^{k+1}=0 \\
4^k\cdot(6n+2r) & wenn\;\;\;r=n\mod 4^{k+1}\neq0 \end{array}\right.\)
Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\)
irgendwann in einen \((5+4k)\)-gliedrigen Zyklus, der jeweils
mit \((4^k\cdot8)\) beginnt und mit \(1\) endet.
Dabei ließe sich die »Collatz-Folge« sogar
- verschmitzt - als \(C_{4;-\frac{1}{2}}(n)\) schreiben!
Beispiel:
\showon
\(C_{4;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{256} & wenn\;\;\;r=n\mod 256=0 \\
384n+128r & wenn\;\;\;r=n\mod 256\neq0 \end{array}\right.\)
kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den
17-gliedrigen Zyklus \(512;2;1024;4;2048;8;4096;16;\)
\(8192;32;16384;64;32768;128;65536;256;1[;512;...]\) .
\showoff
Inzwischen sehe ich jedoch Möglichkeiten
für zwei weitere Behauptungen... 😎
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cramilu
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23
|
EDIT [22.7.2022]
Meine eigenen Erkenntnisse zu Folgenverhalten und
auftretenden Schleifen bis einschließlich \(d=10\)
hatte ich zunächst hierher verschoben, auf dass mich
hinsichtlich Aktualisierungen nicht die 30-Tage-Regel
störe...
gonz' analytischer Fleiß sowie veränderte Betrachtungs-
schwerpunkte haben da inzwischen so viel Umdenken
und auch etliche Korrekturen geboten erscheinen lassen,
dass ich die Auflistungen im Einzelnen vor neuerlicher
Erweiterung ggf. neu fassen mag.
Bei dringendem Interesse bitte ich um eine persönliche
Nachricht und werde dann gerne den aktuellen Stand
in Form einer einfachen Textdatei mitteilen - ich bitte
um Verständnis!
Gut Ding will Weile haben! 😉
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cramilu
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23
|
haegar90, Primentus und ich vermissen Dich!
Und einige andere gewiss auch.
Dein Account scheint noch aktiv zu sein -
komm' bitte wieder ! 🤗
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gonz
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| Beitrag No.21, eingetragen 2022-06-24
|
Ich habe noch ein bissl rumexperimentiert, da ich das Thema in einem python Kurs verwende (ich hoffe, ohne "unschuldige" angehende Informatiker oder Mathematiker mit dem Unheilbaren Collatz Virus zu infizieren).
Zum Thema "wohin führen statistisch gesehen die ersten 100.000 Startwerte" ist folgendes bisher herausgepurzelt, das lässt sich sicher noch ausbauen.
\showon
Folgen mit Collatz Muster - definiert gemäß der Erweiterung
nach Cramilu. Auswertung jeweils der ersten 100.000 Startwerte.
*******************************************************************
Folge D=2 A=3 B=1 Zyklusanzahl=1 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 100.0% Zyklusspanne Min=1 Max=4
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=2 A=3 B=-1 Zyklusanzahl=3 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 33.03% Zyklusspanne Min=1 Max=2
Zyklus[2] erreicht von 32.1% Zyklusspanne Min=5 Max=20
Zyklus[3] erreicht von 34.87% Zyklusspanne Min=17 Max=272
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=3 A=4 B=2 Zyklusanzahl=2 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 3.72% Zyklusspanne Min=2 Max=18
Zyklus[2] erreicht von 96.28% Zyklusspanne Min=14 Max=378
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=3 A=4 B=-1 Zyklusanzahl=3 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 10.25% Zyklusspanne Min=1 Max=3
Zyklus[2] erreicht von 64.02% Zyklusspanne Min=2 Max=6
Zyklus[3] erreicht von 25.74% Zyklusspanne Min=22 Max=198
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=3 A=5 B=1 Zyklusanzahl=2 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 62.27% Zyklusspanne Min=4 Max=36
Zyklus[2] erreicht von 37.73% Zyklusspanne Min=8 Max=72
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=3 A=5 B=-2 Zyklusanzahl=3 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 44.93% Zyklusspanne Min=1 Max=3
Zyklus[2] erreicht von 50.0% Zyklusspanne Min=2 Max=6
Zyklus[3] erreicht von 5.07% Zyklusspanne Min=209 Max=158553
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=4 A=5 B=3 Zyklusanzahl=7 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 21.8% Zyklusspanne Min=1 Max=16
Zyklus[2] erreicht von 24.39% Zyklusspanne Min=3 Max=48
Zyklus[3] erreicht von 26.4% Zyklusspanne Min=61 Max=976
Zyklus[4] erreicht von 8.95% Zyklusspanne Min=69 Max=2208
Zyklus[5] erreicht von 13.54% Zyklusspanne Min=38 Max=6176
Zyklus[6] erreicht von 2.79% Zyklusspanne Min=119 Max=1904
Zyklus[7] erreicht von 2.14% Zyklusspanne Min=103 Max=1648
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=4 A=5 B=-1 Zyklusanzahl=4 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 26.57% Zyklusspanne Min=1 Max=4
Zyklus[2] erreicht von 22.05% Zyklusspanne Min=2 Max=8
Zyklus[3] erreicht von 0.54% Zyklusspanne Min=3 Max=12
Zyklus[4] erreicht von 50.85% Zyklusspanne Min=18 Max=752
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=4 A=6 B=2 Zyklusanzahl=1 keine Divergenzen gefunden
Zyklus[1] erreicht von 100.0% Zyklusspanne Min=1 Max=16
*******************************************************************
*******************************************************************
Folge D=4 A=6 B=-2 Zyklusabzahl=3 erste mögliche Divergenz für Startwert 5
Divergent(?) 99.75 %
Zyklus[1] erreicht von 0.01% Zyklusspanne Min=1 Max=4
Zyklus[2] erreicht von 0.23% Zyklusspanne Min=2 Max=8
Zyklus[3] erreicht von 0.01% Zyklusspanne Min=3 Max=12
*******************************************************************
\showoff
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cramilu
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27
|
Guten Morgen... 😉
Der Weg ist das Ziel!
Systematisch untersuchen, Muster entdecken, steile Thesen
zur Muster-Vorhersage entwickeln, Thesen kaputttesten (Ja:
drei "t" in Folge! Da laut Duden "kaputttreten" zulässig ist,
musste ich das so schreiben.), für zeitweilig unkaputtbare
Thesen größere Zusammenhänge suchen und daraus im
Idealfall neuartige Ideen für Beweise oder Gegenbeweise
entwickeln. So weit, so vermaledeit!
Die MESSige »Exotin«
\(m_{3;4;[-1;+1]}(n)=\left\{\begin{array}{3}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 4\cdot n-1 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=1 \\ 4\cdot n+1 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=2 \\ \end{array}\right.\)
ist bislang derjenige Fund mit dem roboterartigsten Verhalten:
Mutmaßlich für jede Startzahl mündet das Ding irgendwann
in den lediglich zweigliedrigen periodischen Zyklus "[...]3;1;...".
Ihre größere Schwester
\(m_{3;4;[-4;+4]}(n)=\left\{\begin{array}{3}\frac{n}{3} & wenn\;\;\;r=n\mod 3=0 \\ 4\cdot n-4 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=1 \\ 4\cdot n+4 & wenn\;\;\;r=n\mod 3=2 \\ \end{array}\right.\)
verhält sich noch krasser, denn sie kollabiert im Mittel früher
in den zweigliedrigen periodischen Zyklus "[...]12;4;...",
und für Dreierpotenzen als Startzahl fällt sie sogar auf 0!
Dumm dabei: Es sind, wie gesagt, »Exotinnen«. 🙄
Für die regulären MESSies habe ich bereits drei Behauptungen
formulieren können (siehe Beitrag #18).
Zum Divisor \(d=10\) entzogen sich schon zwei mutmaßliche
"Collatz-Kollapsen" noch meiner Behauptungsentwicklungswut:
\(m_{10;16;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{10} & wenn\;\;\;r=n\mod 10=0 \\
16\cdot n+4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 10\neq0 \end{array}\right.\)
\(m_{10;18;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{10} & wenn\;\;\;r=n\mod 10=0 \\
18\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 10\neq0 \end{array}\right.\)
wachsen bei Zwei-Schritte-Betrachtung mit \(\frac{a}{d}=\frac{16}{10}=1,6\)
und gar \(\frac{a}{d}=\frac{18}{10}=1,8\) grob abgeschätzt stärker als »Collatz«
(\(\frac{a}{d}=\frac{3}{2}=1,5\)), kollabieren mutmaßlich aber dennoch.
Und seit gestern wankt nun mein Weltbild noch mehr, denn
\(m_{11;14;8}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{11} & wenn\;\;\;r=n\mod 11=0 \\
14\cdot n+8\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 11\neq0 \end{array}\right.\)
scheint auch "collatz-kollapsig". Und das für einen Divisor
\(d=11\) , der nicht nur teilerfremd zu \(2\) wie zu \(5\) ist, sondern
auch noch prim. Eine Frechheit!
Für mutmaßlich jede Startzahl mündet diese Divisor-Zicke
in den dreizehngliedrigen periodischen Zyklus ("Zicklus"!)
"[...]176;16;264;24;352;32;528;48;704;64;968;88;8;...".
Was, bitteschön, hat denn die \(11\) als Divisor zu bieten,
womit die primen \(3\) und \(7\) nicht aufwarten können?
Da mich in erster Linie die nach Tabelle leuchtgrünen
interessieren, werde ich wohl für \(d>11\) als nächstes
eruieren, ob sich für \(d=22\) , \(d=25\) , \(d=44\), \(d=55\)
solche finden lassen...
Unbenommen, gonz, sind Deine Schleifenerkenntnisse
beeindruckend und hilfreich! 🤗
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gonz
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| Beitrag No.23, eingetragen 2022-06-27
|
\quoteon(2022-06-27 10:02 - cramilu in Beitrag No. 22)
[...] scheint auch "collatz-kollapsig". Und das für einen Divisor
d=11 , der nicht nur teilerfremd zu 2 wie zu 5 ist, sondern
auch noch prim. Eine Frechheit!
\quoteoff
Dass es für D=11 A=14 B=8 genau einen Zyklus und gibt und keine Divergenzen, kann ich für Startwerte bis 40.000 bestätigen... ( das Programm läuft noch ).
|
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cramilu
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27
|
Hmm... da weiß ich nun nicht, ob ich lachen oder weinen soll. 😂
Danke erstmal! 😉
EDIT
Ich habe mich entschieden: Ich lache! 😃
cramilu-Vermutung #4
Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) sowie die expandierenden
Folgen \(C_{11;k}(n)\) gemäß nachstehender Vorschrift gebildet:
\(C_{11;k}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2^k\cdot11} & wenn\;\;\;r=n\mod (2^k\cdot11)=0 \\
2^k\cdot(14n+8r) & wenn\;\;\;r=n\mod (2^k\cdot11)\neq0 \end{array}\right.\)
Dann münden alle diese Folgen jeweils für jede Startzahl \(n\)
irgendwann in einen \((13+2k)\)-gliedrigen Zyklus, der jeweils
mit \((2^k\cdot11\cdot16)\) beginnt und mit \(8\) endet.
Beispiel:
\showon
\(C_{11;3}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{88} & wenn\;\;\;r=n\mod 88=0 \\
112n+64r & wenn\;\;\;r=n\mod 88\neq0 \end{array}\right.\)
kollabiert für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den
19-gliedrigen Zyklus \(1408;16;2816;32;5632;64;11264;128;\)
\(16896;192;22528;256;33792;384;45056;512;61952;704;8[;1408;...]\).
\showoff
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gonz
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| Beitrag No.25, eingetragen 2022-06-28
|
Es ist mir _superpeinlich_ aber ich muss zurückrudern, es wurde zwar kein weiterer Zyklus gefunden, aber doch Divergenzen. Die wurden leider erst ausgegeben, wenn der Suchvorgang insgesamt durch ist. Jetzt liest es sich so:
\showon
Folgen mit Collatz Muster - definiert gemäß der Erweiterung
nach Cramilu. Auswertung jeweils der ersten 100000 Startwerte.
D=11 A=14 B=8
Zyklus 1 Min= 8 Max= 968 Len= 13 Startzahl= 1
[88, 8, 176, 16, 264, 24, 352, 32, 528, 48, 704, 64, 968]
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
Done
********************************************************
Zyklusanzahl=1 erste mögliche Divergenz Startwert 755
Divergent(?) 5.25 %
Zyklus[1] erreicht von 94.75%
********************************************************
\showoff
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cramilu
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28
|
Ja... kritisch. Nach meiner Modellierung überschreitet
die Folge bei Startzahl \(755\) mit Folgeglied Nr. 1.610
die Grenze von \(10^{15}\) . Allerdings fängt mein Kontroll-
mechanismus das ab. Was er, wenn, selten tut, und
dann bislang vertrauenswürdig. Demnach erreicht die
Folge danach mit dem Folgeglied Nr. 2.678 die \(176\) .
Ein zweifelsfreier Beleg ist das indes keineswegs!
|
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gonz
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| Beitrag No.27, eingetragen 2022-06-28
|
Dass im Mittel 5.25% der Folgen "divergieren" ist aktuell über die ersten 100.000 Startwerte gemittelt, das könnte ich mal genauer aufspalten, ob da eine Entwicklung absehbar ist...
|
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gonz
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| Beitrag No.28, eingetragen 2022-06-29
|
Ich nehm das gerne als Beispiel für Kurse, die irgendwas mit "Big Data" oder so zu tun haben. Wobei "Big" da natürlich relativ ist.
Die Häufigkeit der "Divergenzen" (dh konkret hier: über 40 Stellen erreicht) nimmt offenbar mit steigendem Startwert zu.
---- NACHTRAG -----
was zu divergieren scheint, muss nicht divergieren. Von den 6134 Startwerten unter 100.000, die 40 Stellen erreichen, gehen 887 nicht bis über 100 Stellen hinauf, und kommen dann doch wieder bei der Schleife an.
---- ACHTUNG AUFGEPASST !!! ------
\showon
100000 => 6134
200000 => 7629
300000 => 7539
400000 => 9017
500000 => 8758
600000 => 8009
700000 => 9297
800000 => 10107
900000 => 8412
1000000 => 10526
1100000 => 9915
1200000 => 8443
1300000 => 11941
1400000 => 9704
1500000 => 8613
1600000 => 11525
1700000 => 12123
1800000 => 8773
1900000 => 9089
2000000 => 11241
2100000 => 12746
2200000 => 10897
2300000 => 8783
2400000 => 9456
2500000 => 11190
2600000 => 12785
2700000 => 13184
2800000 => 10346
2900000 => 9391
3000000 => 8968
3100000 => 10806
3200000 => 12339
\showoff
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gonz
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| Beitrag No.29, eingetragen 2022-06-29
|
Wie hoch die Folgen, die nicht bei aktuell 500 Stellen abgebrochen werden, für D=11 A=14 B=8 laufen, zeigt folgende Übersicht:
\showon
Maximal untersuchter Startwert: 28823
Divergierend, also auf über 500 Stellen laufend: 1266
In den Zyklus einmüdend, nachdem die angegebene Stellenzahl als
Maximalwert erreicht wurde:
Stellenzahl= 1 => 1
Stellenzahl= 2 => 10
Stellenzahl= 3 => 90
Stellenzahl= 4 => 305
Stellenzahl= 5 => 2532
Stellenzahl= 6 => 7706
Stellenzahl= 7 => 2787
Stellenzahl= 8 => 4538
Stellenzahl= 9 => 4282
Stellenzahl= 10 => 816
Stellenzahl= 11 => 978
Stellenzahl= 12 => 328
Stellenzahl= 13 => 1361
Stellenzahl= 14 => 109
Stellenzahl= 15 => 626
Stellenzahl= 16 => 6
Stellenzahl= 17 => 382
Stellenzahl= 18 => 92
Stellenzahl= 19 => 18
Stellenzahl= 20 => 47
Stellenzahl= 21 => 2
Stellenzahl= 23 => 238
Stellenzahl= 25 => 115
Stellenzahl= 28 => 3
Stellenzahl= 29 => 4
Stellenzahl= 30 => 13
Stellenzahl= 31 => 3
Stellenzahl= 33 => 22
Stellenzahl= 35 => 6
Stellenzahl= 36 => 2
Stellenzahl= 43 => 1
Stellenzahl= 45 => 17
Stellenzahl= 47 => 11
Stellenzahl= 50 => 29
Stellenzahl= 70 => 21
Stellenzahl= 75 => 22
Stellenzahl= 90 => 6
Stellenzahl= 138 => 7
Stellenzahl= 185 => 21
\showoff
Dabei habe ich jetzt die 1266 Kandidaten für eine echte Divergenz geloggt, beginnend mit der bekannten 755, und werde die nochmal in mein C-Programm einfüttern, das kann ich besser parallelisieren.
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cramilu
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-29
|
Doch wieder beruhigend.
Auch von mir ein wenig protokollarisches:
Für \(d=11\) , \(a=14\) und \(b=8\) , also \((14n+8r)\) ,
fals nicht durch \(11\) teilbar, erhalte ich an potenziellen
Divergatoren unter den Startwerten bis \(1.200\) die
755, 757, 761, 933, 937, 963, 965, 966, 969, 970,
1075, 1077, 1079, 1081, 1194, 1195 und 1197.
Das erste EXCEL-Gezicke erhalte ich durch Einsatz der
REST()-Funktion für Dividenden \(10^9gonz, die Du in Beitrag #10
verlinkt hattest, hilft mir als Soll-Agenda, weil ich da
jeweils gegenprüfen kann, ob ich für Startwerte bis
\(100\) oder bis \(250\) schon alle erwische.
Was die spätere relationale Erfassung verschiedenster
Schleifen anbelangt, habe ich schon eine grobe[!] Listen-
Struktur mit lauter Integerwerten angedacht:
Schleife := {d,a,b,,,
,,,
,,
<<...statistische Parameter zur Schleifenhäufigkeit für die
ersten 100/10.000/1.000.000 Startwerte...>>}.
Eine Schleife derart zu benennen, dass ihr kleinster Wert
ihr letzter ist, hat sich für mich deutlich bewährt!
Neben der mühseligen zeitaufwändigen Aufbereitung
meiner bislang gewonnenen Daten bereiten mir vor allem
die beiden Folgen für \(d=10\) noch Kopfzerbrechen:
\(m_{10;16;4}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{10} & wenn\;\;\;r=n\mod 10=0 \\
16\cdot n+4\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 10\neq0 \end{array}\right.\)
\(m_{10;18;2}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{10} & wenn\;\;\;r=n\mod 10=0 \\
18\cdot n+2\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 10\neq0 \end{array}\right.\)
(siehe bereits Beitrag #22)
gonz, falls Du Muße hast, kannst Du gerne auch die
versuchen, kaputtzukriegen. 😉
p.s.
In meinem Notizbuch findet sich eine exemplarische Tabelle.
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gonz
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| Beitrag No.31, eingetragen 2022-06-29
|
Hallöchen Cramilu,
und nochmal vielen Dank für das schöne "Rätsel"... Die entsprechende Liste lautet bei mir (Abbruch bei 500 Stellen):
755,757,761,933,937,963,965,966,969,970,1194,1195,1197
Ich frage mich wirklich, ob man nicht immer noch vermuten könnte, dass _doch_ alle Werte in genau den einen Zyklus laufen und damit Deine Vermutung bestätigt würde...
Grüße und einen schönen Abend
Gerhard
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cramilu
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04
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Ein erneuter Zwischenstand:
Der beiden leuchtenden Funde für \(d=16\) und \(d=20\) hatte ich mit
den Vermutungen #2 und #3 (siehe Beitrag #18) vorweggenommen;
der für \(d=11\) hatte mich in Beitrag #24 zur Vermutung #4 geführt.
Die beiden neuerlichen Findlinge für \(d=12\) und \(d=14\) haben mich
abermals überrascht. Das geht doch mit dem Teufel zu! 🤔
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cramilu
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| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Eine der unmittelbar nächsten getesteten Folgen hat
bei insgesamt mutmaßlich nicht-divergentem Verhalten
eine "fette Schleife" zu bieten:
\(m_{15;17;13}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{15} & wenn\;\;\;r=n\mod 15=0 \\
17\cdot n+13\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod 15\neq0 \end{array}\right.\)
Für Startwerte 302, 402, 466, 529, 574, 603, 654, 686,
749, 778, 787, 861, 893, 898, 981, 1019 ff. mündet die
Folgenentwicklung jeweils in eine Schleife bzw. in einen
periodischen Zyklus mit sage und schreibe 1.236 Gliedern:
[1]10.290 ; 686 ; 11.805 ; 787 ; 13.470 ; ... ;
[910]57.111.120.450 ; ... ;
[1.234]135.675 ; [1.235]9.045 ; [1.236]603 [; 10.290 ; ...]
EDIT: Allgemeines
Ich mag für diejenigen Folgen, die sich für mich interessant
verhalten, keineswegs weiterhin das Etikett »konvergent«
verwenden. Erstens bestehen schließliche Folgenmündungen
stets aus mehr als einer einzigen Zahl, und zweitens werden
zumeist mehrere Schleifen hervorgebracht; nicht bloß eine.
Collabil [kollabil] oder - nach dem lateinischen cribrum für
»Sieb« - cribrant [kribrant] fände ich passender.
Für ernstgemeinte Alternativvorschläge bin ich offen.
Dann erscheint mir inzwischen geboten, fünf wesentliche
Abstufungen zu unterscheiden:
1. Streng collabil/cribrant: Genau eine einzige Schleife.
2. Streuend collabil/cribrant: Mehrere, endlich viele Schleifen.
3. Quasi-collabil/cribrant: Einzelne, "verwandte" Divergatoren.
4. Teil-collabil/cribrant: Weniger als 50 % Divergatoren.
5. Divergent / incollabil/incribrant: Über 50 % Divergatoren.
Wobei unter Divergatoren solche Startzahlen zu verstehen seien,
deren Folgenentwicklung deutlich absehbar ins Unendliche führt.
Danach mag ich mich im Folgenden auf solche Schleifen
konzentrieren, welche von zumindest quasi-collabilen
Folgen hervorgebracht werden, denn dass auch jene
beliebig lang werden und dabei beliebig große Einzel-
glieder umfassen können, scheint mittlerweile klar -
man wähle schlicht den Divisor \(d\) genügend groß
und finde dazu ein passendes \(a=d+1,2,3...\)
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cramilu
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
|
Und... zwei Tage "Sommerloch" genutzt:
Die Überraschungen reißen nicht ab, und die durch zumindest
quasi-collabile Folgen hervorgebrachten Schleifen werden
tatsächlich - o Wunder! - auch immer "fetter". 😎
Zitat:
»Mehr, wenn Ihr mich wieder seht -
Ihr müsst unbedingt gucken, wie's weitergeht!«
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cramilu
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| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
|
Und so ungefähr würde ich dann die Schleifen erfassen:
Erst einmal erfassen, wohlgemerkt! Für eine spätere daten-
technische Verwaltung sind dann mindestens drei normalisierte
Datenobjekte wünschenswert: <MESS[Folge]> mit den ersten
fünf Spalten plus sonstigem und <Schleife> mit den Spalten
#7 bis #11 plus sonstigem als Basisobjekte, sowie verknüpfend
etwa <Schleifenvorkommen> mit den Spalten #6, #12 bis
#16 plus sonstigem.
Attribute ad disputandum! Eine erste EXCEL-Spieltabelle findet
sich in meinem Notizbuch...
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cramilu
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-13 02:01
|
Auch wenn mir das inzwischen zur Monografie gerät:
Mit \(d=22\) möchte ich es dann auch vorerst bewenden lassen.
Einige "flatterhafte" Folgen für kleinere Divisoren \(d\) habe ich
noch als divergent expansiv entlarven können, und für \(d=18\)
hat sich mindestens eine weitere streng collabile offenbart.
Außerdem haben sich eine fünfte Vermutung aufgedrängt sowie
zusätzliche Verallgemeinerungen zu den Vermutungen #2 bis #4.
Das alles will indes erst noch ordentlich formalisiert sein...
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gonz
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| Beitrag No.37, eingetragen 2022-07-13 09:01
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Ich habe deine Monographie mit Interesse studiert, bitte dies als Interessenbekundung zu vermerken :)
mit gutgelaunten Grüßen aus Wildemann
Gerhard/Gonz
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gonz
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| Beitrag No.38, eingetragen 2022-07-16 05:34
|
Die "gelben" sind für mich grad von Interesse um nochmal auf die Ergebisse der python Realisierung zu gucken. Im ersten Fall ist es die 141, die wahrscheinlich nicht zurückkehrt.
\showon
\sourceon ASCI
Erweiterte Collatz Muster nach Cramilu
EC-IV Basteley von gonz Vers 1.01.A
Analysiere Folgen mit D = 10 A = 13 und B = 7
Start = 1 Neuer Zyklus erreicht bei 40
Divergent? 0 0.0 %
Stats[1] = 1 100.0 %
Zyklus 1 Min = 4 Max = 4700 Len = 50 Startzahl = 1
Start = 7 Neuer Zyklus erreicht bei 140
Divergent? 0 0.0 %
Stats[1] = 6 85.71 %
Stats[2] = 1 14.29 %
Zyklus 2 Min = 14 Max = 1400 Len = 15 Startzahl = 7
141 Divergiert(wahrscheinlich)
184 Divergiert(wahrscheinlich)
242 Divergiert(wahrscheinlich)
316 Divergiert(wahrscheinlich)
Start = 325 Neuer Zyklus erreicht bei 5580
Divergent? 4 1.23 %
Stats[1] = 274 84.31 %
Stats[2] = 46 14.15 %
Stats[3] = 1 0.31 %
Zyklus 3 Min = 558 Max = 524600 Len = 74 Startzahl = 325
Start = 334 Neuer Zyklus erreicht bei 41290
Divergent? 4 1.2 %
Stats[1] = 281 84.13 %
Stats[2] = 47 14.07 %
Stats[3] = 1 0.3 %
Stats[4] = 1 0.3 %
Zyklus 4 Min = 495 Max = 2756300 Len = 74 Startzahl = 334
\sourceoff
\showoff
Für den vierten "Ausreißer" ist es auch klar: Die 241 ist suspekt.
\showon
\sourceon ASCII
Erweiterte Collatz Muster nach Cramilu
EC-IV Basteley von gonz Vers 1.01.A
Analysiere Folgen mit D = 18 A = 26 und B = 10
Start = 1 Neuer Zyklus erreicht bei 36
Divergent? 0 0.0 %
Stats[1] = 1 100.0 %
Zyklus 1 Min = 2 Max = 66744 Len = 52 Startzahl = 1
Start = 5 Neuer Zyklus erreicht bei 180
Divergent? 0 0.0 %
Stats[1] = 4 80.0 %
Stats[2] = 1 20.0 %
Zyklus 2 Min = 10 Max = 3240 Len = 13 Startzahl = 5
241 Divergiert(wahrscheinlich)
275 Divergiert(wahrscheinlich)
349 Divergiert(wahrscheinlich)
352 Divergiert(wahrscheinlich)
383 Divergiert(wahrscheinlich)
395 Divergiert(wahrscheinlich)
400 Divergiert(wahrscheinlich)
\sourceoff
\showoff
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gonz
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Wohnort: Harz
| Beitrag No.39, eingetragen 2022-07-16 14:01
|
Etwas anders sehen die Verhältnisse hier aus, es gibt nur drei Schleifen, und (soweit ich es sehe) (noch) keine Kandidaten für Divergenz:
\showon
\sourceon ASCII
Erweiterte Collatz Muster nach Cramilu
EC-IV Basteley von gonz Vers 1.01.A
Analysiere Folgen mit D = 20 A = 23 und B = -3
Start = 1 Neuer Zyklus erreicht bei 40
Stats[1] = 1 100.0 %
Zyklus 1 Min = 1 Max = 124789900000 Len = 944 Startzahl = 1
Start = 13 Neuer Zyklus erreicht bei 176160
Stats[1] = 12 92.31 %
Stats[2] = 1 7.69 %
Zyklus 2 Min = 710 Max = 31354872000 Len = 1312 Startzahl = 13
Start = 17 Neuer Zyklus erreicht bei 680
Stats[1] = 15 88.24 %
Stats[2] = 1 5.88 %
Stats[3] = 1 5.88 %
Zyklus 3 Min = 34 Max = 13600 Len = 31 Startzahl = 17
Still alive: Start = 190036
Stats[1] = 105580 55.56 %
Stats[2] = 73277 38.56 %
Stats[3] = 11178 5.88 %
\sourceoff
\showoff
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