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Universität/Hochschule J Komplexe Zahlen darstellen
WinstonYT
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  Themenstart: 2022-05-12

Hallo Zusammen Ich habe bei der folgenden Aufgabe die Antwort teilweise Richtig. Weiss jemand, was ich falsch gemacht habe bzw. ob ich etwas übersehen habe? Aufgabe 1: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51238_l_sungirjegijeroigjedsdorgffsddfdsdgregdasdasdasdgrgegregsfsdfsgd.PNG Lg Winston


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, der Fehler ist das Argument. Hier ist doch einfach \(a=-2\). Caban hat im nächsten Beitrag natürlich völlig recht. Auch der Betrag ist falsch. PS: schreibt ihr tatsächlich das Argument in der Eulerschen Darstellung in Altgrad? Das kann ich schier nicht glauben. 😮 Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-12

Hallo Überdenke den Betrag von a. Gruß Caban [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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WinstonYT
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12

\quoteon(2022-05-12 23:15 - Caban in Beitrag No. 2) Hallo Überdenke den Betrag von a. Gruß Caban [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff a ist der Radius und der ist doch 2 bzw 2*e^(i*45).


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Caban
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-12

Hallo a ist der Radius von z, nicht von a. Gruß Caban


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WinstonYT
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12

Ja, ich weiss es nicht.


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-12 23:41 - WinstonYT in Beitrag No. 5) Ja, ich weiss es nicht. \quoteoff Welchen Betrag haben denn die eingezeicheten Lösungen? Und welchen Betrag muss dann \(z^4\) haben? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-13

Am einfachsten geht es m.E. so: $z^4 =16$ sähe bekanntlich so aus: $\pgfmathsetmacro\phi{0} \pgfmathsetmacro\r{2} \begin{tikzpicture}[ x=1cm, y=1cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] %KoSy % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} \coordinate[] (O) at (0,0); \coordinate[] (eps0) at (1,0); \coordinate[] (eps1) at (0,1); \coordinate[] (eps2) at (-1,0); \coordinate[] (eps3) at (0,-1); \coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$); \coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$); \coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$); \coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$); \foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{ \draw[red, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=3pt]{$ z_{\k}$}; } \draw[very thin] circle[radius=\r]; % \node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){ $\begin{array}{l} z^4 = 16 \\ ~\Leftrightarrow~ z_k =2 e^{i\frac{2\pi k}{4}} =2 e^{i\frac{\pi k}{2}} =2 i^k =z_k, ~~k=0,1,2,3 \end{array}$ }; \end{tikzpicture}$ Allerdings sind die Zeiger hier um $\frac{\pi}{4}$ gedreht, also wird $\left( z \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} \right)^4 =16 ~\Leftrightarrow~ z^4 \cdot e^{i\pi} =16 ~\Leftrightarrow~ z^4 =16e^{-i\pi} =16e^{i\pi} =-16$ gelöst: $\pgfmathsetmacro\phi{45} \pgfmathsetmacro\r{2} \begin{tikzpicture}[ x=1cm, y=1cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] %KoSy % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} \coordinate[] (O) at (0,0); \coordinate[] (eps0) at (1,0); \coordinate[] (eps1) at (0,1); \coordinate[] (eps2) at (-1,0); \coordinate[] (eps3) at (0,-1); \coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$); \coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$); \coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$); \coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$); \foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{ \draw[blue, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=4.5pt]{$ z_{\k}$}; } \draw[very thin] circle[radius=\r]; % \node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){ }; \end{tikzpicture}$


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WinstonYT
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27

\quoteon(2022-05-13 01:40 - Wario in Beitrag No. 7) Am einfachsten geht es m.E. so: $z^4 =16$ sähe bekanntlich so aus: $\pgfmathsetmacro\phi{0} \pgfmathsetmacro\r{2} \begin{tikzpicture}[ x=1cm, y=1cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] %KoSy % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} \coordinate[] (O) at (0,0); \coordinate[] (eps0) at (1,0); \coordinate[] (eps1) at (0,1); \coordinate[] (eps2) at (-1,0); \coordinate[] (eps3) at (0,-1); \coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$); \coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$); \coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$); \coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$); \foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{ \draw[red, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=3pt]{$ z_{\k}$}; } \draw[very thin] circle[radius=\r]; % \node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){ $\begin{array}{l} z^4 = 16 \\ ~\Leftrightarrow~ z_k =2 e^{i\frac{2\pi k}{4}} =2 e^{i\frac{\pi k}{2}} =2 i^k =z_k, ~~k=0,1,2,3 \end{array}$ }; \end{tikzpicture}$ Allerdings sind die Zeiger hier um $\frac{\pi}{4}$ gedreht, also wird $\left( z \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} \right)^4 =16 ~\Leftrightarrow~ z^4 \cdot e^{i\pi} =16 ~\Leftrightarrow~ z^4 =16e^{-i\pi} =16e^{i\pi} =-16$ gelöst: $\pgfmathsetmacro\phi{45} \pgfmathsetmacro\r{2} \begin{tikzpicture}[ x=1cm, y=1cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] %KoSy % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} \coordinate[] (O) at (0,0); \coordinate[] (eps0) at (1,0); \coordinate[] (eps1) at (0,1); \coordinate[] (eps2) at (-1,0); \coordinate[] (eps3) at (0,-1); \coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$); \coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$); \coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$); \coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$); \foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{ \draw[blue, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=4.5pt]{$ z_{\k}$}; } \draw[very thin] circle[radius=\r]; % \node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){ }; \end{tikzpicture}$ \quoteoff Danke für die Antwort. Wie bist du auf z^4=16 gekommen? Ist das weil: r=2, n=4 und somit z^4=r^4 Lg Winston


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Caban
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Hallo Ja, es ist wegen 2^4=16. Gruß Caban


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