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Mathematik » Analysis » Matrixfunktion positiv definit
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Universität/Hochschule Matrixfunktion positiv definit
Bergelmirr
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  Themenstart: 2022-05-27

Hallo, ich lese im Moment ein Paper und kann ein schritt gar nicht nachvollziehen. Es wir behauptet, dass, wenn der Numerische Wertebereich eines linearen Operators (auf einem komplexen Hilbertraum H) in einem komplexen Gebiet \(\Omega\) liegt, also: \[\forall x \in H \exists z \in \Omega : z = \] ,dann gilt dass \(f(\sigma,A)\) positiv definit ist, also: \(n\left<\left(\sigma I -A \right)^{-1}x,x\right> + \overline{n}\left<\left(\sigma I -A^* \right)^{-1}x,x\right> > 0\), wobei \(\sigma\) ein punkt auf dem Rand von \(\Omega\) und \(n\) der nach außen zeigende normalenvektor im Punkt \(\sigma\). Ich hab schon versucht irgendwie rumzurechnen, sodass ich die erste Gleichung anwenden kann, aber das Inverse ist mir immer im Weg. Dachte auch schon eine Neumann Reihe, aber dann bekomme ich die Matrixmultiplikationen auch nicht Weg. Der Operator A ist ja nach Definition auch Kompakt, aber mit Spektralsatz bin ich auch nicht weiter gekommen. Irgendwie fehlt mir ein richtige Ansatz.


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-27

Hi, die linke Seite der Ungleichung ist ein Vektor, es ist unklar, was diese Vektor-Ungleichung bedeuten soll. //edit: geklärt. Was ist das für eine Definition, aus der die Kompaktheit von A folgen soll? Gruß Buri


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-27

\quoteon(2022-05-27 16:31 - Bergelmirr im Themenstart) \(n\left<\left(\sigma I -A \right)^{-1}x,x\right> + \overline{n}\left<\left(\sigma I -A^* \right)^{-1}x,x\right> > 0\), \quoteoff Soll da wirklich $\sigma I-A^*$ und nicht $\bar{\sigma} I-A^*$ stehen? \quoteon(2022-05-27 16:31 - Bergelmirr im Themenstart) Es wir behauptet, dass, wenn der Numerische Wertebereich eines linearen Operators (auf einem komplexen Hilbertraum H) in einem komplexen Gebiet \(\Omega\) liegt, also: \[\forall x \in H \exists z \in \Omega : z = \] \quoteoff Da fehlt irgendwo eine Division durch $\|x\|^2$ oder eine Beschränkung auf $\|x\|=1$. Ist über $\Omega$ und $A$ sonst nichts bekannt? Für den Fall, dass $\Omega$ konvex und $A$ normal ist, scheint mir die Aussage aus der Darstellung, die hier diskutiert wurde, zu folgen. --zippy


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-28

\quoteon(2022-05-27 17:28 - Buri in Beitrag No. 1) die linke Seite der Ungleichung ist ein Vektor, es ist unklar, was diese Vektor-Ungleichung bedeuten soll. \quoteoff Der Normalenvektor einer Kurve in $\mathbb C$ ist nichts anderes als eine komplexe Zahl.


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Bergelmirr
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31 13:43

Zu Buri: Ja, ich hab vergessen zu erwähnen, dass der Rand von \(\Omega\) eine einfach abgeschlossene Kurve ist, dann folgt doch daraus das der Numerische Werte Bereich in dem offenen Gebiet \(\Omega\) liegt, oder liege ich da falsch? zu Zippy: Ja da war ein Tippfehler es soll \(\overline{\sigma}I - A^*\) sein und die norm von x muss 1 sein. \(\Omega\) ist konvex, aber A eigentlich nicht normal. Die Diskussion, die du verlinkt hast ist auch über das selbe Paper, also würde es mich nicht wundern, wenn es daraus folgt, nur habe ich den Zusammenhang noch nicht ganz verstanden, weil das eine über Matrixfunktionen geht.


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